文档：空间向量在解题中的应用

空间向量在解题中的应用空间向量作为解决空间几何问题的重要工具，以其独特的数形结合和坐标运算，使之得到广泛的应用。以向量的代数运算去解决立几中的许多问题，是传统方法无以比拟的，它避开了抽象的空间想象能力和作辅助线的困难。下面分类探讨如何利用空间向量法解立体几何问题。一、利用向量证明点共线或点共面问题立体几何中的点共线或点共面问题，可用几何的方法证明，也可用向量的方法证明。用向量的方法证明时不需要考虑添加辅助线的问题，仅用向量的代数运算即可得出结论。要证明点P与点A、B共线，只需证明，或证明对空间任一定点O，有即可。要证明点P与不共线的三点A、B、C共面，只需证明，或证明对空间任一定点O，有即可。例1如图，已知平行六面体，E、F、G、H分别是棱、、、的中点。求证：E、F、G、H四点共面。分析：为了证明方便可选择一组基向量，不妨取，，，求向量，或，或能用向量线性表示即可。证明：取，，，则所以与向量共面。即E、F、G、H四点共面。评注：利用向量证明三点共线、四点共面等问题，关键在于适当地选取基向量，另外在向量运算过程中一定要细心，否则容易出错。二、利用向量解决平行与垂直关系问题平行与垂直关系是立体几何中两种重要的位置关系。它们都可以用向量的方法解决。以下用表示平面的法向量。1、直线与平面平行与垂直的判定(1)，(2).2、平面与平面平行与垂直（1）（2）例2如图，已知正三棱柱，是的中点，求证：平面．分析：要证明立体几何中的线与面平行只需通过证明线与平面内某条线平行即可。或证明线与平面的发向量垂直。证明：建立如图所示的空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则，，．设平面的一个法向量为，则所以不妨令，则．由于，得．又平面，平面．评注：通过证明直线与平面的法向量垂直来证明直线与平面平行是常用的方法，当直线与平面内的某条直线平行不好找，且平面的法向量又容易求出时常常用这种方法。三、利用向量解决空间角问题空间角主要是直线和直线所成的角，直线和平面所成的角以及二面角。这些角用几何的方法大部分都需要添加辅助线，比较难于解决。用向量则不需要添加辅助线，直接通过向量的代数运算即可得出结论。1、求异面直线的夹角设两异面直线所成的角为分别是的方向向量，注意到异面直线所成角的范围是，则有．特殊情形：,即异面直线a垂直于b。例3如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线AC与BC1分析：通过建立空间直角坐标系，利用坐标运算，直接代入上面的公式即可求出结论。解：以D为坐标原点，建立如图空间坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,1)则，即AC与BC1的夹角为。评注：在本题中，建立空间直角坐标系，得出点及线段向量的坐标是解题的关键。例4已知正方形和矩形所在平面互相垂直，．试在线段上确定一点，使得与所成的角是．分析：本题是一个开放性问题，可通过建立空间直角坐标系，设出P点的坐标，根据满足的条件求出P点的坐标。解：如图，建立空间直角坐标系，则．设，得．又和所成的角是，．解得或（舍去），即点是的中点．评注：采用传统的平移法求异面直线所成角的大小，免不了要作辅助线和几何推理．这里运用向量法，没有了这些手续，显得便当快捷．2、求直线与平面所成的角直线与平面所成的角即直线和它在平面内的射影所成的角。直线a与平面所成的角为，为直线a的一个方向向量，是平面的法向量（如图），易知：，特殊情形：当，则直线a与平面垂直。例5如图，在三棱椎P-ABC中，平面ABC，D，E，F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB=AC=1，PA=2，求直线PA与平面DEF所成角的大小.分析：建立空间直角坐标系，利用坐标运算及公式可求直线和平面所成的角。解：以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系易知：A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），，，设是平面DEF的一个法向量，则即，取x=1,则，设PA与平面DEF所成的角为，则评注：求线面角关键在于：找到平面的一个法向量，法向量与直线所在的向量夹角的互余的角，即为所求的角。3、求二面角的大小二面角是立体几何中的重点，年年都考查。在求二面角时，若能作出二面角的平面角最好，若不好作出二面角的平面角，用纯几何的方法就不好解决，最好选用向量的方法来解决。如图，设是两相交平面α、β所成的平面角，是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，易知。特殊情形：当时，平面垂直平面β。例6如图，在正三棱柱A1B1C1—ABC中，D，E分别是棱BC、的中点，求二面角的大小。分析：求二面角的大小，可通过求两个平面的法向量的夹角得出结论。解：以A为原点，建立如图的空间直角坐标系，易知各点坐标A(0,0,0),B(,1,0)，B1(,1,0),E(0,2,1),则，设是平面的一个法向量，则，令则，，设是平面一个法向量，则，令则设二面角为，则评注：求二面角的关键在于找到两个平面各自的一个法向量，这两个法向量所夹的角的互补角即为所求的角。四、利用空间向量求距离空间中的距离主要有两点间的距离，异面直线的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，两平行平面的距离等。其中两点间的距离直接利用两点间距离公式求解，异面直线的距离难度降低了，主要是求点到平面的距离。这些距离都可转化为向量解决。1、异面直线间的距离如图，d是异面直线a与b的距离，是直线a与b的一个法向量A、B分别是直线a,b上的点，显然，又。例7如图，正四棱锥的高，底边长。求异面直线和之间的距离.ABCDABCDOS解：如图，以正方形ABCD的中点O为坐标原点，OS所在的直线为z轴建立空间直角坐标系。则A，B，C，D，S。，。令向量，且，则，，，，。异面直线和之间的距离为：。评注：求异面直线的距离，关键在于求出异面直线的一个公共法向量和与两异面直线相交的线段的向量。2、求点到平面的距离如图，我们易知：点A到平面的距离而，（其中是平面的一个法向量）。例8在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，分别为的中点，求点到平面的距离．分析：通过建立空间直角坐标系，利用点到平面的斜线段向量在平面法向量上射影的绝对值得到。解：取中点，连结，，，且．平面平面，平面平面，平面，．如图，建立空间直角坐标系，则，所以，．设为平面的一个法向量，则不妨令，则，．点到平面的距离为．评注：求点到平面的距离，关键是找到平面的一个法向量及这点与平面内一点构成的向量。我们利用这公式，不仅可解决点到平面的距离，还可推广到直线与平面的距离，平行平面间的距离问题：（1）若平面（其中是直线a的方向向量，是平面的法向量）；（2）平面平面(其中、分别为平面的法向量)。ACACBPEF例9如图，已知边长为的正三角形中，、分别为和的中点，面，且，设平面过且与平行。求与平面间的距离。分析：关键是求平面的法向量，在平面的法向量上射影的模即为所求，可应用向量法或向量的坐标运算。解：设、、的单位向量分别为、、，选取{，，}作为空间向量的一组基底。易知，===，设是平面的一个法向量，则，，即，直线与平面间的距离为=评注：当直线与平面相交时，直线到平面的距离为0；当直线与平面平行时，直线上任一点到到平面的距离都相等，都是直线到平面的距离。因此，直线到平面的距离可转化为点到平面的距离来解决。AAAA1DCBB1C1D1例10如图，在棱长为的正方体中。求平面与平面间的距离。分析：求两平行平面的法向量，然后求在法向量上射影的模即可。解：建立如图所示的直角坐标系，设平面的一个法向量，则，即，，平面与平面间的距离。评注：两平行平面的距离等于其中一平面上任一点到另一平面的距离，所以两平行平面的距离可转化为点到平面的距离来解决。五、综合问题例11在三棱锥中，是边长为4的等边三角形中，平面平面，为的中点。（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值；（Ⅲ）求点到平面的距离。分析：通过分析知，是，以为原点，建立如图空间直角坐标系，利用向量的坐标运算得出结论。解：（Ⅰ）易知是，以为原点，建立如图空间直角坐标系，则，（Ⅱ）是平面的一个法向量，，则，即，取可得，设是平面的一个法向量