双曲线中焦点三角形的探索

212122S22b212122S22b双曲线中焦点三角形的探索基本条件：该三角形一边长为焦距，两边的差的约对值为定值。|PF2|2|F22：角由定得cosFPF1||PF|1

结合定，有||21

||22

||PF||a112

2

|PF||1xy性质一、设若曲线方为

（，，F1,F2别为它左右焦点P为曲上一则：若

则

2

cot

；特别，当901

S时，有

2

。|PF|||r证明记2

，由曲的义得r2

(r)

eq\o\ac(△,在)eq\o\ac(△,)12

r中，余定得：

2

rr12

c)

2

.r配方：2

2

2rr12

rr12

42即

4a

2

rr11

c

2

.rr12

221

)b1

由任意三角形面积公得：S

PF

rrsin2

1cos

222sin

2

2

2

.

cot.cot别地当，PF

2x同理证在曲线

（，）中式然成立，而记22从而b12121212，而记22从而b12121212例若是双曲线36FPF2面积.

FPF，、2是焦点，且

求eq\o\ac(△,，)y法双线

ab6,

|r,|PF|122

点在双上，r由双线定得：2

arrrreq\o\ac(△,1)2，余定得：1

c).rr方，：

2

r1

400rr256.

rr14412

PF

rrsin2

336.2在双线36

，而

PF

36cot考题欣赏（2010全国卷）已知F、为双曲线22的左右焦，点在上，12∠

F1

F2

=

60

则P到x的离(A)

(C)

3

(D)

6【答】（2010全国卷）知F、为曲线的左右点，点在上，1∠P=60，|PF|||12(C)6(D)8||PF|2F2【答】【析】由定理得∠FPF=22|PFPF|PFFF2PFPFcos6002PFPF22PFPF11122bPFPFPF222rc1122bPFPFPF222rca1PF2|PF||PF|12

4【析由点三角形面积公式得：

PF

60013PFPF60PFPF222|PF||PF412y性质推论在曲线

（，中，右焦点分为、，当点PFFP是曲左上意点，若

，则

bcacos

.特地，当F12

时，有

ba

PFF。当点是双曲线支上任意点，若（则

b2sin|PF||PF|ri、当左支上一点时，记22

rr（2

由双线的义得rr,r

a

，eq\o\ac(△,在)eq\o\ac(△,)2

rcrccos中，余定得：12代得

2

rccos1

ra)1

2

.br求得

。

rFFsin112

1b2

sin

b2csinacos

得证别地当，

ba|PF||PF|rii、当为右支上一点时记1

r（2

，由双曲线的定义得r

2ar

a

，eq\o\ac(△,在)eq\o\ac(△,)2

rc中，余定得：

2

rcos1

2

2

.21中，22中，得64，中，21中，22中，得64，中，rc代得

2

rccos1

r)1

2

.br求得。

rFFsin112

122c

bcsincos

得证y例（1）若是双曲线6436FPFeq\o\ac(△,求)eq\o\ac(△,)面积.

，2且

，y2x2（2若双线FPF△2面积.

FPFF右支上一，、是其焦且

，求（）法一在双曲线

ab6,

而

记|r,|PF|122

点在双上，r2.r由曲线定义得：21

req\o\ac(△,在)

rcrccos由余弦：12r1

2

rcos60)2.1r解：

r2

320

.解法二在双线

ab6,

b

，

PF

bcacos

860

180

3y2x2（）法一在双曲线

abc

5,

而

记22解：，证明：定由正22解：，证明：定由正|,|PF|122

点在双上，rra2r由双线定得：eq\o\ac(△,在)eq\o\ac(△,)12

rcrccos中，余定得：12r1

2

5rcos)1

2

.r()1

PF

r2

3()20解法二在双线36

ab6,

b

，S

2

cos60

20315PF性质二双曲线的焦点角PF1F2中，1tan当点在双曲线支上时，有

e

;当点在双曲线支上时，有2e|FP||P||F|1sin由等比理，上式转化为

||F||FF|11siic2222cossin