变分法读书报告

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刘悬弓D组131041216

1.变分法的起源

变分法是17世纪末进展起来的一门数学分支，主要是古典变分法，它理论完整，在力学、光学、物理学、摩擦学、经济学、宇航理论、信息论和自动控制论等诸多方面有广泛应用。20世纪中叶进展起来的有限元法，其数学基础之一就是变分法。

变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的一般微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法终于寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或微小值。有些曲线上的经典问题采纳这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时光从点A到达不直接在它底下的一点B。在全部从A到B的曲线中必需微小化代表下降时光的表达式。

变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻觅函数的极大和微小值时，在一个解附近的极小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能辨别是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

变分法在理论物理中十分重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元办法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中讨论材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。最优控制的理论是变分法的一个推广。

同样的材料可以浮现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于全部极值泛函问题。微分几何中的测地线的讨论是很明显的变分性质的领域。微小曲面（肥皂泡）上也有无数讨论工作，称为Plateau问题。

2.变分问题类型

固定边界的变分问题，可动边界的变分问题，条件极值变分问题和参数形式的变分问题。

1.古典变分问题举例

1：最速降线问题（BrachistoroneorcurveofSteepestdescent）问题。这是历史上出的第一个变分法问题，1696年约翰·伯努利提出的。

设O、P是沿平面上不在同向来线上的两点，在全部衔接O、P两点的平面直线中，求出一条曲线，使仅受重力作用且初速为零的质点从A到B沿该曲线运动时所需时光最短。

以O为原点建立平面指标坐标系，设P点的坐标11(,)xy，曲线方程设为()yyx=，10xx≤≤，且满足端点条件(0)0y=，11()yxy=。

设(,)Mxy为曲线()yyx=上随意一点，由能量守恒定律得

212

mgymv=

则

v=

又

v====

dt=

0tC=+?0,0,0

xtC==∴=所需时光为

0T=?2短程线（测地线：Geodesic）问题：光洁曲面f(x,y,z)=0上给定000(,,)Axyz和111(,,)Bxyz两点，求衔接这两点的一条最短曲线。

衔接这两点的曲线方程为

(),(),yyxzzx==01xxx≤≤

则其满足

(,,)0fxyz=（1）

长度为0xxL=?

短程线问题即求上式在约束条件（1）下的最小值问题—条件最小值问题。

3等周问题：在平面上给定长度为L的全部不相交的光洁封闭曲线中，求出一条能围成最大面积的曲线。

设封闭曲线的参数方程为

(),(),xxtyyt==01ttt≤≤（1）

中式()xt，()yt延续可微，且0101()(),()(),xtxtytyt==其长度为

0ttL=?

（2）

所围成的面积为

12LAxdyydx=-?（3）等周问题就是在满足等周条件（2）的全部曲线（1）中，求使积分（3）取得最大值的曲线。

（2）最简泛函的变分问题求解

设函数1

0[()](,,')xxJyxFxyydx=?的极值曲线()yyx=一端固定，另一端在直线1xx=上移动，则另一端必满足自然边界条件1'|0xxFy==

若极值曲线()yyx=的端点在已知曲线()yx?=上移动，则变分1xδ与1yδ有关。

若设函数1

0[()](,,')xxJyxFxyydx=?的极值曲线()yyx=左端固定，另一端在已知曲线()yx?=上移动，则另一端在直线1xx=处必满足

1'[('')]|0

y

xxFyF?=+-=（3）条件极值的变分问题4：试求泛函220

1''2Jydx=?的最小值。这里()yyx=满足端点(0)1y=，'(0)1y=，(2)0y=，'(2)0y=。

解：引入两个变量1y，2y，令1yy=，2'yy=于是泛函变为

220

1''2Jydx=?（1）约束条件为

2'0yy-=（2）

做辅助函数

222210

1['(')2Jyyydxλ*

=+-?（3）泛函（3）的欧拉方程组为20()0(')0ddxdydxλλ?--=????-=??

即2'0''0yλλ=??-=?（4）由式（4）得323

0dydx=积分得

22yax

bx

c=++式中,,abc是积分常数，由于21''yyy==，故

32122

abyxxcxd=+++于是有3213211712437122

yxxxyxx?=+++????=++??

最后求得最小值为

2202213(3)224

Jxdx=-=?3应用

物理学中泛函极值问题的提出促进了变分学的建立和进展，而变分学的理论成绩则不断渗透到物理学中。

P.de费马从欧几里得确立的光的反射定律动身提出了光的最小时光原理：光芒永久沿用时最短的路径传扬。他原先疑惑光的折射定律，但在1661年费马发觉从他的光的最小时光原理能够推导出折射定律，不仅消退了早先的疑惑，而且越发坚信他的原理。拉格朗日把变分法用到动力学上。他引进广义坐标q1,q2,…qn动能T是q=(q1,q2,…,qn)的函数,q表示广义速度。他又假定力有位势

V，V是q的函数,又假定T+V是常量,即系统无耗散,令L=T-V，称为作用量，拉格朗日的最小作用原理是说真切的运动使作用量取微小值。通过欧拉方程，拉格朗日建立他的运动方程，据此推出了力学的主要定律，并解决了一些新的问题。这些工作都记载在他在1788年出版的《分析力学》一书中。

二.直接法

各种变分法的最后求解都可归结为解欧拉方程的边值问题。然而在一些特别状况之下欧拉方程才干求出精确解，在大多数状况下，欧拉方程的精确解无法求

出，因此需要另外的求解办法。1990年8月，其次届国际数学家代表大会在巴黎进行，希尔伯特在会上作了“数知识题”的报告，提出了23