浅谈函数奇偶性、周期性、对称性的关系 论文

浅谈函数奇偶性、周期性、对称性的关系摘要：本文通过对函数奇偶性、周期性、对称性的研究，加深学生对函数的理解并发现其共性和个性。研究过程中所体现的函数的代数特征和几何特征，有助于培养学生数形结合思维。函数这三种性质相关联时在高考中经常出现，通过举例，为学生更好的掌握函数提供参考。关键词:函数，奇偶性，周期性，对称性一、函数的奇偶性、周期性和对称性的含义1.奇偶性一般地，设函数 f(x)的定义域是A，如果对任意的xA,有xA,且f(x)f(x),那么称函数f(x)为奇函数。设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的xA,有xA,且f(x)f(x),那么称函数f(x)为偶函数。2.周期性一般地，对于函数yf(x),xD,如果存在一个非零常数T,使得对任意的xD，都有xTD且满足f(xT)f(x),那么函数yf(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期。3.对称性对称情况通常可以分为两种类型，一种为轴对称，另一种为中心对称。前者是如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形；后者是把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。二、函数的奇偶性、周期性和对称性的结论1.奇偶性（1）f(xa)f(ax)f(x)为偶函数；（2）f(xa)f(ax)f(x)为奇函数；2.周期性（1）f(xa)f(xa)f(x)是周期为2a的函数；（2）f(xa)f(xa)f(x)是周期为4a的函数；1（3）f(xa)1f(x)是周期为2a的函数；f(x)（4）f(xa)1f(x)是周期为2a的函数；f(x)3.对称性（1）f(ax)f(ax)f(x)的图象关于直线xa对称；（2）f(ax)ff(ax)f(x)的图象关于点(a0,)对称；(x)的图象关于直线xab对称;（3）f(ax)f(bx)2（4）f(ax)kf(bx)f(x)的图象关于点(ab,k)对称；22总结：学生在周期性和对称性结论的运用时，容易混淆。在这里我通常告诉学生记忆口诀“同号考周期，异号考对称”来掌握。也就是当函数方程中的自变量x同号时，考查的是函数周期性，自变量x异号时，考查的是函数对称性。三、函数的奇偶性、周期性和对称性间的联系1.奇偶性 对称性（1）设f(xa)为偶函数，则f(x)的图象关于直线xa对称。证明： f(xa)为偶函数 f(ax)f(ax),故f(x)的图象关于直线xa对称（2）设f(xa)为奇函数，则f(x)的图象关于点(a0,)对称。证明： f(xa)为奇函数 f(ax)f(ax),故f(x)的图象关于点(a0,)对称总结：若 f(x)为偶函数,这里可以令tax,偶函数 f(t)f(t)则f(ax)f(ax);而若 f(xa)为偶函数，这里令g(x)f(xa),偶函数g(x)g(x),则f(ax)f(ax)。奇函数同理也可以这样分析。2.对称性 周期性（1）设函数f(x)的图像关于xa和xb对称（ab），则f(x)为周期函数，2且2|ab|为其一个周期。证明： f(x)关于xa对称,则f(ax)f(ax) f(x)f(2ax)又 f(x)关于xb对称,则f(bx)f(bx) f(x)f(2bx) f(2ax)f(2bx),即f(x)f(x2b2a) f(x)为周期函数，且2|ab|为其一个周期（2）设函数f(x)的图像关于(a0,)和(b0,)对称（ab），则f(x)为周期函数，且2|ab|为其一个周期。证明： f(x)关于(a0,)对称,则f(ax)f(ax) f(x)f(2ax)又 f(x)关于(b0,)对称,则f(bx)f(bx) f(x)f(2bx) f(2ax)f(2bx),即f(x)f(x2b2a) f(x)为周期函数，且2|ab|为其一个周期（3）设函数f(x)的图像关于xa和(b0,)对称，则f(x)为周期函数，且4|ab|为其一个周期。证明： f(x)关于xa对称,则f(ax)f(ax) f(x)f(2ax)又 f(x)关于(b0,)对称,则f(bx)f(bx) f(x)f(2bx) f(2ax)f(2bx),即f(x)f(x4b4a) f(x)为周期函数，且4|ab|为其一个周期总结：在由对称性推出周期性的教学中，可以联系三角函数的图象，相邻两条对称轴的距离是三角函数的1周期，相邻两个对称中心的距离是三角函数的122周期，相邻一条对称轴和一个对称中心的距离是三角函数的1周期。43.奇偶性+对称性周期性（1）设函数f(x)为偶函数，关于xa对称，则f(x)是T2a的周期函数。证明：f(x)关于xa对称3f(ax)f(ax)f(x)是T4a的周期函数。又f(x)为偶函数f(ax)f(xa)f(ax)(xa)故f(x)是周期为2a的函数（2）设函数f(x)为奇函数，关于xa对称，则f证明：f(x)关于xa对称)关于xa对称。(ax)f(ax)又f(x)为奇函数f(ax)f(xa)f(ax)f(xa)故f(x)是周期为4a的函数4.奇偶性+周期性对称性（1）设函数f(x)为偶函数，周期T2a,则f(xf证明：f(x)是T2a的周期函数)关于（0,a）对称。(x)f(2ax),f(x)f(2ax)又f(x)为偶函数f(x)f(x),f(2ax)f(x)f(x)关于xa对称（2）设函数f(x)为奇函数，周期T2a,则f(xf证明：f(x)是T2a的周期函数(x)f(2ax),f(x)f(2ax)又f(x)为奇函数f(x)f(x),f(2ax)f(x)f(x)关于（0,a）对称4f5.对称性+周期性对称性、奇偶性xab对称。（1）设函数f(x)关于xa对称，周期Tb,则f(x)关于证明：f(x)关于xa对称(x)f(2ax)f(x)是Tb的周期函数为偶函数。f(x)f(2bx),f(2ax)f(2bx)故f(x)关于xab对称（2）特别地，在（1）中令b2a,其他条件不变，则f(x)f证明：f(x)关于xa对称(ax)f(ax)f(x)是T2a的周期函数f(xa)f(xa),f(ax)f(xa)故f(x)为偶函数四、函数的奇偶性、周期性和对称性的应用例1（2014高考全国卷文第12题）奇函数f(x)的定义域为R，若f(2)为偶函数，且f)1(1，则f(8)f(9)（）f(D．1x2对A．2B．1C．0分析：由f(2)为偶函数得到f(x2)x2)（f(x)关于称），而f(x)为奇函数,不难得到函数周期T8。f(x)的定义域为R，f()1f(8)f(9)f(0)f)1(1,选D。该题思路是：奇偶性+对称性周期性例2（2021高考全国甲卷理第12题）设函数5为奇函数，f(2)为偶函数，当x2,1[]时，f(x)ax2b．若f(0)f(3)6，则f(9)（）2A．9B．3C．7D．54242对称）分析：由f()1为奇函数得到f(x)1f(x)1（f(x)关于0,1()f(2)为偶函数得到f(x2)f(x2)（f(x)关于x2对称）令x1,f(0)f(2)4ab,f(3)f)1(aba2令x0,f()1(0b2不难得到函数周期T4,f(9)f(1)f(3)5，选D。2222该题思