2023学年安徽省池州市东至高考冲刺模拟数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国

的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级

共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发

明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有()

A.69人B.84人C.108人D.115人

2.函数y=sin|%|+x在xw[-2乃,2句上的大致图象是()

+3v

3.已知x>0,y>0,x+2y=3,则----的最小值为()

xy

A.3-2V2B.2V2+1C.V2-1D.V2+1

2

4.已知双曲线-马=l(b>0)的一条渐近线方程为y=2&x,%,6分别是双曲线。的左、右焦点，点尸

在双曲线C上，且附=3,则|P闯=()

A.9B.5C.2或9D.1或5

5,若直线2x+4y+m=0经过抛物线y=2f的焦点，则加=()

11

A.-B.——C.2D.-2

22

6.已知非零向量£,5满足1司=区|，贝（1"卜+2可=|2〃-5卜是“小户的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：

22

7.已知直线/：H-y-3左+1=0与椭圆+方=l（a>b>°）交于A、8两点，与圆。2：（X—3）2+（y—1）2=1

交于C、。两点.若存在使得/=而，则椭圆C的离心率的取值范围为（）

8.新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业

的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（）

我国新闻出版产业和数字出版业营收增长情况

□械字出版业营业收入（亿元）

□新词出版业营业收入（亿元）

A.2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加

B.2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍

C.2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍

D.2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一

9.函数/*）=包B+三等^在［―2%,（））。（0,2汨上的图象大致为（

)

X20

y2

10.已知双曲线彳1CaX),Z?>0)的左、右焦点分别为EF,以OF(。为坐标原点)为直径的圆。交

双曲线于4B两点，若直线AE与圆C相切，则该双曲线的离心率为()

AV2+3V60272+763V2+2V6宜3V2+V6

A.-------B.-------C.--------D.-------

2222

11.在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示.将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向

外的最大突出(图中CO)有15cm,跨接了6个坐位的宽度(A8),每个座位宽度为43cm,估计弯管的长度，下面的

结果中最接近真实值的是()

A.250cmB.260cmC.295cmD.305cw

12.设i是虚数单位，若复数4+乳(aeR)是纯虚数，则a的值为()

2+1

A.-3B.3C.1D.-1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

99

13.已知正项等比数列｛4｝中，a2•%=^,a7»a9=—,则a13=.

14.在直角坐标系中，已知点A(0,l)和点8(-3,4),若点C在NAOB的平分线上，且|。心|=3而，则向量反

的坐标为.

15.若(2—x)=a。+q(1+x)+a,(1+x)-+•••+/(1+x)>贝！|%+q+々+•■■+士+U三_，4=

16.过圆/+/+2x—4y=0的圆心且与直线2x+3y=0垂直的直线方程为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

_—元2+/7V_3

17.(12分)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-------------,

(1)求f(X)的最小值；

(2)对任意xe(0,+8),/(x)Ng(x)都有恒成立，求实数a的取值范围；

I7

(3)证明：对一切XG(0,+OO),都有］nx>F-一成立.

eex

18.(12分)某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同

性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生"二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%,

统计情况如下表：

同意不同意合计

男生a5

女生40d

合计100

(1)求a，d的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由;

(2)将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4位学生进行长期跟踪调

查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为X,求X的分布列及数学期望.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸伏2淮)0.150.1000.0500.0250.010

攵02.0722.7063.8415.0246.635

19.(12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切.

(1)求圆的方程；

(2)设直线ax-y+5=0(a>0)与圆相交于A,5两点，求实数a的取值范围；

(3)在(2)的条件下，是否存在实数“，使得弦48的垂直平分线/过点尸(-2,4),若存在，求出实数a的值;

若不存在，请说明理由.

20.(12分)已知AABC中，内角所对边分别是。,仇。,其中。=2,c=6.

(1)若角A为锐角，且sinC=y±，求sinB的值；

3

(2)设/(C)=esinCeosC+3cos2。，求/(C)的取值范围.

（乃、\x-lOcos0

21.（12分）已知直线/的极坐标方程为。比〃。一不=6,圆C的参数方程为，八.八（。为参数）.

I3）［y=lOsinff

（1）请分别把直线/和圆C的方程化为直角坐标方程；

（2）求直线/被圆截得的弦长.

22.（10分）在AABC中，内角A&C的对边分别为a,Z7,c,且8cos?史£—2cos2A=3

2

（1）求A;

（2）若a=2,且AABC面积的最大值为石，求AABC周长的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

先求得100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此利用比例，求得500名学生中对四大发明只能说出

一种或一种也说不出的人数.

【详解】

在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有100-45-32=23人，设对四大发明只能说出一种或一种也说

不出的有x人，则些=型，解得x=115人.

23x

故选：D

【点睛】

本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题.

2.D

【解析】

讨论x的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.

【详解】

当工20时，y=sinx+x9贝（］y'=cosx+l20,

所以函数在［0,2句上单调递增，

令g(x)=cosx+l,贝(Jg'(x)=—sinx,

根据三角函数的性质，

当xw[O,»|时，g'(x)=-sinx<0,故切线的斜率变小，

当xe[»,2句时，g'(x)=—sinx〉O,故切线的斜率变大，可排除A、B；

当x<0时，y=-sinx+x,贝！|y'=-cosx+liO,

所以函数在[-2乃,0]上单调递增，

令/z(x)=-cosx+l,〃'(x)=sinx,

当xw[-2肛一句时，〃'(x)=sinx>0,故切线的斜率变大，

当xe[-乃,()]时，〃'(x)=sinx<0,故切线的斜率变小，可排除C,

故选：D

【点睛】

本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.

3.B

【解析】

3=立史也，+1+益之1+2m=1+2夜，选B

xyxyyx\yx

4.B

【解析】

根据渐近线方程求得6,再利用双曲线定义即可求得尸产2.

【详解】

由于2=20,所以〃=2及，

a

又归周一|尸段|=2且附上。-。=2,

故选：B.

【点睛】

本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题.

5.B

【解析】

计算抛物线的交点为代入计算得到答案.

【详解】

^=2%2可化为*2=2.），焦点坐标为故/〃=—，.

-2'I8J2

故选：B.

【点睛】

本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.

6.C

【解析】

根据向量的数量积运算，由向量的关系|。+2行|=|2。-彼|。a%=0oa，可得选项.

【详解】

■[2I（2*7,

\a+2b\-\2a-b\<^>|a+2^|=|2a-^|<=>a+4a-b+4b=4a-4a-b+b,

...等价于20=OO£_L5，

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.

7.A

【解析】

由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到A3坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率A与A,8坐标的关系，由

此化简并求解出离心率的取值范围.

【详解】

设4（不认）,3（孙％），且线/：6-y-3左+1=0过定点（3,1）即为G的圆心,

玉+/=%+=2x3=6

因为恁=。耳，所以<

31+%=汽+%=2*]=2,

依曹晨工所以〃（D="一动

又因为

所以上匚&=—与.±±且，所以％=一零式—2,—1],

2L

x]-x2ay}+y2a」

所以Ml养所以宁d所以（—>合

故选：A.

【点睛】

本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而

不求”的目的，大大简化运算.

8.C

【解析】

通过图表所给数据，逐个选项验证.

【详解】

根据图示数据可知选项A正确;对于选项B：1935.5x2=3871<5720.9,正确；对于选项C：16635.3xl.5>23595.8,

故C不正确；对于选项D：23595.8x1«7865>5720.9,正确.选C.

3

【点睛】

本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单.

9.A

【解析】

首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得；

【详解】

解：依题意，/（_》）=啊;0+£^*止上=皿+正2丝=〃为，故函数/（X）为偶函数，图象关于）‘轴

-x20x20

对称，排除G

rr29qr"

而/（乃）=一女<0,排除B；/（2万）=（>>（）,排除D.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.

10.D

【解析】

Qz>

连接C4,AF,可得但。=三，在AAC尸中，由余弦定理得Ab,结合双曲线的定义，即得解.

【详解】

连接C4,AF,

则|0C|=|C4|=|CE|=],|0目=c,

所以但C|=+，|FC|=]

在Rt^EAC中，|A目=>/2c,cosZACE=g,

故cosZAC77=—cosZACE=—,

3

在AAC户中，由余弦定理

AF2=GV+CF2-2CACFcosNACF

可得AF=X5C.

3

根据双曲线的定义，得岳一旦c=2a,

3

_c_2_6_3>/2+V6

所以双曲线的离心率,=工=~V6=3夜-#=-2—

3"

故选：D

【点睛】

本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

11.B

【解析】

为弯管，A3为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧AB所在圆的半径为「，从而可得弧所对的圆心角，再利

用弧长公式即可求解.

【详解】

如图所示，AB为弯管，AB为6个座位的宽度,

D

0

则AB=6x43=25Scm

CD=15cm

设弧A8所在圆的半径为广，则

r2=(r-CD)2+AC2

=(r-15)2+1292

解得r«562cm

129

sinZAO。==#0.23

562

可以近似地认为sinxax,即NAOD^O.23

于是ZAOBaO.46,AB长a562x0.46a258.5

所以260cm是最接近的，其中选项4的长度比AB还小，不可能，

兀

因此只能选8,260或者由cos尤a0.97,sin2xq0.45n2x<—

6

TC

所以弧长<562x2*294.

6

故选：B

【点睛】

本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题.

12.D

【解析】

整理复数为b+ci的形式，由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解.

【详解】

5i5z（2-z）/、

由题，"+?77="+（2+，）（2"）"+2，+】=（。+1）+2，,

因为纯虚数，所以。+1=0,则a=-1,

故选:D

【点睛】

本题考查已知复数的类型求参数范围，考查复数的除法运算.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

3

13.-7T-

2'2

【解析】

3

利用等比数列的通项公式将已知两式作商，可得4=2,再利用等比数列的性质可得4=矿，再利用等比数列的通

项公式即可求解.

【详解】

99

由。2・4=彳，％・%=乎，

/.\10]

所以生2&=q5.q5=,解得i二彳.

«212/2

9,3

a2*a4-^4-a3»所以。3=百，

所以%=.。=1"出=3

3

故答案为：彳彳

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式以及等比中项，需熟记公式，属于基础题.

14.（-3,9）

【解析】

点C在ZAOB的平分线可知OC与向量丝+雪共线，利用线性运算求解即可.

\OA\\OB\

【详解】

因为点C在NAOB的平线上，

所以存在六(0,”)使诙=4(赢+瑞卜(0,1)+«一|,£|=1|九|沙

而|诙|=J(_|㈤2+(|㈤2=3而，

可解得a=5,

所以元=(—3,9),

故答案为：(-3,9)

【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算，利用向量的坐标求向量的模，属于中档题.

15.12821

【解析】

令x=0,求得4+q+4+…+%>+%的值•利用[3—(l+x)J展开式的通项公式，求得％的值.

【详解】

令x=0,得%+4+…+%=27=128.[3—(1+x)了展开式的通项公式为C；37-1—(l+x)J,当r=6时，为

C>3i(l+x)6=21(l+x)6,即4=21.

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查赋值法求解二项式系数有关问题，属于基础题.

16.3x-2y+7=0

【解析】

根据与已知直线垂直关系，设出所求直线方程，将已知圆圆心坐标代入，即可求解.

【详解】

x2+/+2x-4y=0圆心为(-1,2),

所求直线与直线2x+3y=0垂直，

设为3x-2y+C=0,圆心(一1,2)代入，可得C=7,

所以所求的直线方程为3x-2y+7=0.

故答案为：3x-2y+7=0.

【点睛】

本题考查圆的方程、直线方程求法，注意直线垂直关系的灵活应用，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)--(2)(-oo,4J⑶见证明

e

【解析】

(D先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据函数单调性确定最小

值取法；(2)先分离不等式，转化为对应函数最值问题，利用导数求对应函数最值即得结果；(3)构造两个函数，再

利用两函数最值关系进行证明.

【详解】

(1)1(x)=lnx+l=0.1x=J

e

当xe(0」)时，，(x)<0,/(x)单调递减，当xe(L+8)时，/'(功>0"(无)单调递增，所以函数f(x)的最小值

ee

位1、1

为f(一)=——；

ee

(2)因为x>0,所以问题等价于a<2加+r+3=21ax+3在xe(0,+8)上恒成立，

XX

3

记f(x)=21nx+x+—,则，

因为(x)=2+i一3=("+3)'-1),

XXX

令-(x)=0得x-=—3舍，

♦.■工«0,1)时«%)<0,函数3)在(0,1)上单调递减；

•.•%€。,心)时，(力>0,函数3)在(1,+00)上单调递增；

，['(x)]min='(1)=4•即

即实数a的取值范围为(-。。,4].

_v2

(3)问题等价于证明——，xe(0,+8).

ee

由⑴知道/(x)=xlru的最小值

设0(X)=W-2,XW(O,+8^I]“(X)=[^,令”(X)=0得X=1,

eee

时“(x)>0,函数0(x)在(0,1)上单调递增；

%€(1,+0。)时“(%)<0,函数0(%)在(1,+00)上单调递减；

所以｛。(》)］四=。(1)=—!，

e

1x2x2

因此打通之一一之二一一，因为两个等号不能同时取得，所以Y四>二一一，

eeeee

i9

即对一切xe(O,W),都有山三成立.

eex

【点睛】

对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端

是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离

参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.

18.(1)"20/=35,有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；⑵详见解析.

【解析】

(1)根据表格及同意父母生“二孩”占60%可求出。，d,根据公式计算结果即可确定有97.5%的把握认为是否同意父

母生“二孩”与“性别”有关(2)由题意可知X服从二项分布，利用公式计算概率及期望即可.

【详解】

(1)因为100人中同意父母生“二孩”占60%,

所以a=60—40=2(),4=40—5=35

文⑵由列联表可得上

而/»也2>5.呢硼=2.5%

所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关

②①由题知持，，同意，，态度的学生的频率为言3

即从学生中任意抽取到一名持，，同意，，态度的学生的概率为g.由于总体容量很大,

故X服从二项分布，

即T-fi(4.3.中r=无)=0管0I(七=O,123.旬从而X的分布列为

X01234

N/Mmtt

»viaaa

X的数学期望为EQ)=4xg=£

【点睛】

本题主要考查了相关性检验、二项分布，属于中档题.

53

19.(2)(x-2)2+y2=2.(2)(―,+oo).(3)存在，。=一

124

【解析】

(2)设圆心为M(/«,0),根据相切得到」〃L29|=5,计算得到答案.

5

(2)把直线ox-y+5=0,代入圆的方程，计算△=4(5a-2)2-4(a2+2)>0得到答案.

(3)/的方程为y=—：(x+2)+4,BPx+ay+2-4a=0,过点M(2,0),计算得到答案.

【详解】

(2)设圆心为M(附0)(/nGZ).由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5,

所以A"2*』即|4,"-29|=2.因为，"为整数，故，”=2.

5

故所求圆的方程为G-2)2+^=2.

(2)把直线ax-y+5=0,即y=ax+5,代入圆的方程，消去y,

整理得(层+2)好+2(5a-2)x+2=0,

由于直线ar-y+5=0交圆于A,B两点，故△=4(5a-2)2-4(a2+2)>0,

即22a2-5a>0,由于a>0,解得a>»,所以实数a的取值范围是(工,+oo).

1212

(3)设符合条件的实数a存在，则直线/的斜率为

a

/的方程为y=(x+2)+4,BPx+ay+2~4<z=0,

a

由于/垂直平分弦A3,故圆心M(2,0)必在/上，

33,5、3

所以2+0+2-4a=0,解得a=：.由于了6G，+8，故存在实数a=：

44<12J4

使得过点尸(-2,4)的直线/垂直平分弦A区

【点睛】

本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.

20-⑴粤”⑵*|+百•

【解析】

(1)由正弦定理直接可求sinA,然后运用两角和的正弦公式算出sinB；

711

(2)化简/(C)=百sin|2C+—|+—,由余弦定理得COSC利用基本不等式求出

32lab4

cosCz1,确定角C范围，进而求出/(C)的取值范围.

2

【详解】

(1)由正弦定理，得:

sinAsinC

.,asinC2

sinA=---=—

3

」.sinC<sinA,且A为锐角

.•.cosC=^,cosA=^

33

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

(2)/(C)=弓sin2c+3xl+cos2