算法12最短路径弗洛伊德Floyd算法

11.问题的提出：已知一个各边权值均大于0的带权有向图，对每一对顶点vi

vj，要求求出vi

与vj之间的最短路径和最短路径长度。2.解决办法方法一：每次以一个顶点为源点，重复执行Dijkstra算法n次——T(n)=O(n³)方法二：弗洛伊德(Floyd)算法2求最短路径步骤初始时设置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存在弧<Vi,Vj>，则对应元素为权值；否则为逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间点后路径变短，则修改之；否则，维持原值所有顶点试探完毕，算法结束3.Floyd算法思想：逐个顶点试探法从图的带权邻接矩阵G.arcs出发，假设求顶点Vi到Vj的最短路径。如果从Vi到Vj有弧，则从Vi到Vj存在一条长度为G.arcs[i][j]的路径，但该路径是否一定是最短路径，还需要进行n次试探。

1.第一次，判别（Vi,V0）和（V0，Vj），即判别(Vi,V0,Vj）是否存在，若存在，则比较（Vi,Vj）和(Vi,V0,Vj）的长度，取长度较短的为从Vi到Vj的中间顶点序号不大于0的最短路径。

2.第二次，再加一个顶点V1，如果(Vi,…,V1）和(V1,…,Vj）分别是当前找到的中间顶点序号不大于0的最短路径，那么(Vi,…,V1,…,Vj）就有可能是从Vi到Vj的中间顶点序号不大于1的最短路径。将它和已经得到的从Vi到Vj之间顶点序号不大于0的最短路径相比较，取较短者为从Vi到Vj的中间顶点序号不大于1的最短路径。

3.第三次，再加一个顶点V2，继续进行试探。

V2V3V0V1123456890123012301240092350801608888D(-1)=

D(-1)为有向网的邻接矩阵

第一步:以D(-1)为基础，以V0为中间顶点，求从Vi到Vj的最短路径。该路径或者为从Vi到Vj的边,或者为(Vi,V0)+(V0,Vj)。

D(0)[i][j]=

min{D(-1)[i][j],

D(-1)[i][0]+D(-1)[0][j]}47D(0)=

D(0)[i][j]为从Vi到Vj的中间顶点序号不大于0的最短路径长度.V0V2V3V0V112345689

以D(0)为基础，以V1为中间顶点，求从Vi,到Vj的最短路径。该路径或者为从Vi到Vj的边,或者为从Vi开始通过V0或V1到达Vj的最短路径。

D(1)[i][j]=

min{D(0)[i][j],

D(0)[i][1]+D(0)[1][j]}0123012301240092350801608888A(-1)=47D(0)=1036D(1)=V0V1V0V1V2V3V0V112345689

以D(1)为基础，以V2为中间顶点，求从Vi,到Vj的最短路径。或者为从Vi到Vj的边,或者为从Vi开始通过V0,V1,V2到达Vj的最短路径。

D(2)[i][j]=

min{D(1)[i][j],

D(1)[i][2]+D(1)[2][j]}0123012301240092350801608888A(-1)=47A(0)=1036D(1)=D(2)=12

910V0V1V20123012301240092350801608888A(-1)=47A(0)=1036A(1)=D(2)=12

910D(3)=V2V3V0V112345689

以D(2)为基础，以V3为中间顶点，求从Vi,到Vj的最短路径。或者为从Vi到Vj的边,或者为从Vi开始通过V0,V1,V2,V3到达Vj的最短路径。

D(3)[i][j]=

min{D(2)[i][j],

D(2)[i][3]+D(2)[3][j]}

9

11

8V3V2V0V1

D(3)[i][j]即为从Vi到Vj的最短路径长度.9ACB264311041160230初始：路径：ABACBA

BCCA046602370加入B：路径：ABABCBA

BCCA

CAB0411602370加入A：路径：ABACBA

BCCACAB046502370加入C：路径：AB

ABCBCA

BCCA

CAB例题：10例ACB264311初始：041160230length=011202300path=加入A：0411602370length=011202310path=加入B：046602370length=012202310path=加入C：046502370length=012302310path=114.论点：A(-1)[i][j]是从顶点vi到vj,中间顶点是

v1的最短路径的长度,A(k)[i][j]是从顶点vi到vj,中间顶点的序号不大于k的最短路径的长度,A(n-1)[i][j]是从顶点vi到vj的最短路径长度。证明：归纳证明，始归纳于s(上角标);(1)归纳基础：当s=-1时，A(-1)[i][j]=Edge[i][j],vi到vj,不经过任何顶点的边，是最短路径。(2)归纳假设：当s<k时，A(s)[i][j]是从顶点vi到vj,中间顶点的序号不大于s的最短路径的长度;(3)当s=k时，12

ijkA(k-1)[i][k]A(k-1)[k][j]A(k-1)[i][j]因为：A(k)[i][j]=min{A(k-1)[i][j]，

A(k-1)[i][k]+A(k-1)[k][j]}由归纳假设知：A(k-1)[i][j]:是i到j的最短路径(标号不高于k-1)；A(k-1)[i][k]:是i到k的最短路径(标号不高于k-1)；A(k-1)[k][j]:是k到j的最短路径(标号不高于k-1)；所以：A(k)[i][j]是i到j的最短路径(标号不高于k)。

13图用邻接矩阵存储edge[][]存放最短路径长度path[i][j]是从Vi到Vj的最短路径上Vj前一顶点序号5.算法实现voidfloyd(){

for(inti=0;i<n;i++)//矩阵dist与path初始化

for(int

j=0;j<n;j++){//置A(-1)dist[i][j]=Edge[i][j];

path[i][j]=-1;}//初始不经过任何顶点

for(intk=0;k<n;k++)//产生dist(k)及path(k)for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n;j++)if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j]){

dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];

path[i][j]=k;}//缩短路径,绕过k到j

}//floyd

146.算法分析：设最内层循环体为基本操作，算法有三层循环