初中数学十大解题方法

2222222222222222下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。、方所谓配方就是把一个解析式利恒等变形的方法其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式通过配方决数学问题的方法叫配方法其中用最多的是配成完全平方式配法是数学中一种要的恒等变形的方法的应用十分非常广泛在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。例：用配方法解方程+4x+1=0过配，得到)A．(x+2)

2

=5B．(x－2)=5C．(x－2)=3D．(x+2)

2

=3【分析】配方法：二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，二次项系数不为，则可先提取二项系数，将其化为后再计算。【解】将方程+4x+1=0，移向得：x+4x=－，配方得：x+4x+4=－1+4，即(x+2)

2

=3；因此选D。、式解因式分解就把一个多项式化几个整式乘积的形式式分解是恒等变形的基础作为数学的一个有力工具一数方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。例：多项式x因式解（）（x+3），m值（）AB2C0D．1【分析】法（x-1x+3）法式应系相m值。【解】x+mx-3果x-1（

2222222222xx-1x+3xx-1x+3，m=2；此B、元换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法通把未知数或变数称为元所换元法就是在一个比复杂的数学式子中新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。例：已(x2+y2+1)(x+y+3)=8，则x2+y2

的为）．或．．或【分析】解题时把x

2

当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单【解】设

2

，≥，则原方程变形得，简得：，解得：，2又∴∴22值为只能是．因此选．、别法韦定一元二次方程ax（、、属于a）的判别，eq\o\ac(△,)-4ac，仅用来判定根的性质而作为一种解题方法在数式变形解方组，不式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

22222222韦达定理除了已知一元二次方程的一个根另一根已两个数的和与积求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。注：=b-4ac＜，程无实数根，即无解；②△-4ac=0，方程有两相等的实数根；③eq\o\ac(△,)-4ac0方程有两个不相等的实数根。例：当为么时关x的方(m

2x

2(mx

有根【分析】题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分和m≠两情形讨论。

m

＝【解】当

m

＝即

时，

2(

≠，程为一一次方程，总有实根；当

m

≠即

时，方程有根的条件是：△＝

28m

≥，得

≥

52∴当

≥

52

且

时，方程有实根。综上所述：当≥

52

时，方程有实根。、定数在解数学问题时若先判断所求结果具有某种确定的形式中含有某些待定的系数而后根据题设条件列出关于待定系数的等式解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系从解答数学问这种解题方法称为待定系数法是中学数学中常用的方法之一。例题：例.已知数y＝

mx3

的最大值为7，最小值为－1，此函数式。

nn【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数、n的值已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法【解】函数变形为：－m)x2－4x＋(y＝0，x∈R,由知得y－m≠0∴△－43)2－4(y－m)(y－n)≥0即y－(m＋n)y＋(mn－12)①不等式①的解集(-1,7)，则－、7方程－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两，m代入两根得：m05xxxx∴y＝或者＝22

解得：或

m此题也可由解集(-1,7)而设(y－7)≤0,y－7，然后与不等式①比较系数而得：

m6

，解出m、n而求函数式y。、造在解题时我常常会采用这样方法通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方(组、个等式、一个函数、一个等价命题，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。例：如，△ABC中∠B=2∠C，BAC平线于D。证AB＋BD＝AC【分析】若遇到三角形的角平分线时，常构造等腰三角形，借助等腰三角形的有关性质，往往能够找到解题途径。

【解】延长CB到，使BF=AB，接AF，则BAF为腰三角形，且F=1.再根据三角形外角的有关性质，得出ABD=∠F,即∠∠∠，而∠ABD=2∠，以C=∠∠，△AFC为等腰三角形，即

，又可eq\o\ac(△,得)eq\o\ac(△,)FAD为腰三角形,因，即＋BD＝。、证反证法是一种间接证法是先提出一个与命题的结论相反的假设后这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法法可以分为归谬反证法结的反面有一种穷举反证法(结论的反面不只一种。反证法证明一个命题的步骤，大体上分为(1)反；归；结。反设是反证法的基础了确作出反设握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：/不；存不存在；平行不平行于；垂直/不垂直于；等不等于；大(小于不(小；都是不都是；至少有一个一也没有；至少有n个至有n一1)个至多有一个至有两个唯至少有两个。归谬是反证法的关键导出矛盾过程没有固定的模式必须从反设出发否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。例：若P是两异直l、外任一，则()A．过点P有且仅有一条直线与、都行B．点有且仅有一条直线与、都直C．点P有且仅有一条直线与、都交．点P有仅有一条直线与、m都异面【分析】对A，若存在直线n，使n∥l且∥则有∥m，与、异面矛盾；对于C，过点P与、m都交的直线不一定存在，反例如图l∥α；于，过点与、m都面的直线不唯一．

【答案】、积平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理用于计算面积且它来证明平面几题有时会收到事半功倍的效果用积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。用归纳法或分析法证明平面几何题困在添置辅助线积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来通运达到求证的结果所用面积法来解几何题几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。例：如2，是线AB上的一点eq\o\ac(△,，)ACD、BCE都是边角，、BD相交。求：∠。图证：点C作CP⊥，⊥，足分别为、。因为△、△BCE都等边三角形，所以，CE=CB，∠∠，所以∠∠所以△≌DCB所以AE=BD，可得所以OC平∠

即∠∠、何换在数学问题的研究中常常运用换法把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射数学中所涉及的变换主要是初等变换一看来很甚至于无法下手的习题借助几何变换法繁为简，化难为易另方面也将变换的观点渗透到中学数学教学中将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。几何变换包括）平移旋转）对称例：1.平移变图形中的某一个线段或者一个角移动到一个新的位置使图形中分散的条件紧密地结合到一起。一般有种法：平已知条件平所求问题，把所求问题转化，其实就是向证明。几何题多数都是逆向思考的。例：三形ABC中，BD=CE,证AB+AC于AD+AE。是型平条问。【解】我们把三角形AEC平到如图所示的FBD位。这里用了的件设与FD交于P这样，容易构造两个全等的三角形由PA+PD大于ADPF+PB大于BF两式相加PA+PB+PD+PF大AD+BF又因为BF=，AC=FD所以AB+AC大于AD+AE2.旋转换

把平面图形绕旋转中,旋转一个角，使分散的条件集中在一.例如,等腰角角ABC,AB=AC,∠为斜边上点∠证BM^2+CN^2=MN^2

【解】要证容易想到勾股定但BM,CN,MN都不在同一个三角形上所我就设法将BM,CN,MN移到同一三角形上。考虑到是腰三角形，且是直角角形，ABM绕逆时针旋转90.使AB与AC重得到△则△NCD为角三角形只需证明MN=ND即可因为∠所BAM+NAC=45，即∠又因为所以△≌△所以MN=ND，在直角△中，有ND^2=NC^2+DC^2，以BM^2+CN^2=MN^23.对称换通作关于一直线或一点的对称图，把图形中的图形对称到另一个位置上，使分散的条件集中在一起。当出现以下两种情况时，经常考虑用此变换出了明显的轴对称、中心对称条件时出现了明显的垂线条件时。例ABC∠ACD为边角形已∠DBC=2∠DBA，∠。【解】由对称可知，BAE全等于，⊥所以BE=BD,AE=AD,∠∠因为∠所∠∠在BC上点F，使BF=BE又因为∠BAC=90，⊥所以DEBC，∠ADE=∠DAC=60所以ADE是边三角形DE=AD=DC因为EF关于BD对所以DF=DE=DC设∠DBA=a则∠DBF=2a因为BF=BD，所以（180-2a）由于DF=DC，以DCF=90-a∠（）=30+a因为∠ACB=90，，所以∠

10.客观性的题法选择题是给出条件和结论求据一定的关系找出正确答案的一类题型择的题型构思精巧形式灵活可以比较全地考察学生的基础知识和基本技能而增大了试卷的容量和知识覆盖面。填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点同是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。（1）接演直接从命题给出的条件出，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。（2）证：题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确