线性代数实践教师班第讲

线性代数实践教师班第讲第1页，共34页，2023年，2月20日，星期六7.1矩阵运算的规则在MATLAB入门中已讲过的，不再重复。由于其乘法不符合交换律，有些公式不能乱用；单列向量与单行向量的左右两种乘法要加区别，而且往往有特别的用途。例如向量长度（范数）的计算；例如二维坐标网格的生成；

X=ones(21,1)*[-10:10],Y=[-10:10]’*ones(1,21)矩阵的乘幂An,eA和(I-A)-1的级数展开，都要求A是方阵。第2页，共34页，2023年，2月20日，星期六矩阵乘法不满足交换律有许多我们习惯的公式，其中隐含地包含了交换律，这些公式在矩阵运算中也不能直接使用。比如：正确的做法是展开时不交换次序第3页，共34页，2023年，2月20日，星期六平面上网格坐标系的产生第4页，共34页，2023年，2月20日，星期六用列矩阵乘行矩阵生成网格坐标这两个矩阵都是21行21列的，都有441个元素，如何快捷地输入呢？这时可以用到列乘行的乘法运算。可用下面的语句：h10:10;lhlength(h) %输入均分行向量%用全么列乘均分行生成XXones(lh,1)*h%用均分列乘全么行生成YYh‘*ones(1,lh)第5页，共34页，2023年，2月20日，星期六7.2初等变换乘子矩阵的生成行交换E1gen(n,i,j)：使n行矩阵中的第i,j两行交换functionE=E1gen(n,i,j)n=size(A);E=eye(n);E(i,i)=0;E(j,j)=0;E(i,j)=1;E(j,i)=1;乘子矩阵E2gen(n,i,k),使n行矩阵中的第i行乘以kfunctionE=E2gen(n,i,k)n=size(A);E=eye(n);E(i,i)=k;E3gen(n,i,j,c)使n行矩阵中的第i行乘以k加到第j行上functionE=E3gen(n,i,j,k)n=size(A);E=eye(n);E(j,i)=k;第6页，共34页，2023年，2月20日，星期六初等变换乘子矩阵示例E=E1gen(8,4,6)E2=E2gen(8,4,6)E3=E3gen(8,4,6,5)例如E3=E3gen(3,1,3,4)第7页，共34页，2023年，2月20日，星期六例7.2.4求消元所需的乘子矩阵要消去下列矩阵的A(2,1),求乘子矩阵E3在第二行加以第一行乘A(2,1)/A(1,1)3，故令BE3gen（A,1,2,3）第8页，共34页，2023年，2月20日，星期六行阶梯生成等价于矩阵左乘因此，整个行阶梯形式U的生成过程，可以看作把原矩阵左乘以一系列的初等变换矩阵E1和E3。把这些初等矩阵的连乘积写成Ex，设其逆为L:

从而有 L*UA

（7.10）就是说，A可以分解为一个准下三角矩阵L和一个上三角（即行阶梯）矩阵U的乘积。MATLAB提供了三角分解的函数lu，它的调用方法是：

[L,U]lu(A)第9页，共34页，2023年，2月20日，星期六lu分解是求行阶梯的一个方法用lu函数求出的U实际上就是A的行阶梯形式（不是简化行阶梯形式）。所以，求简化行阶梯形式用rref函数，而求行阶梯形式可以用lu函数。不过，它和我们用消元运算所得U的数据不一定相同，尽管得出的阶次和阶梯形状相同。但因为行阶梯形式可以有无数种，用不同步骤算出的结果也不同。只有变成简化行阶梯形式，才能进行比较，看它是不是惟一的。第10页，共34页，2023年，2月20日，星期六7.3行列式的定义和计算两种定义方法：1。按全排列求和定义，其中tj为第j种排列的逆序数。第11页，共34页，2023年，2月20日，星期六行列式第2种定义方法2。按解的分母项，从低阶到高阶用归纳法定义

二阶：三阶：第12页，共34页，2023年，2月20日，星期六两种定义方法的比较第一种定义的两个数学难点‘全排列’和‘逆序数’，是绝大多数工科学生一生不会用的。第二种定义方法自然地得出了行列式按行（或按列）展开的公式。美国教材都用第二种定义方法。两种方法都不能用来计算，因为其计算效率都极低，25×25矩阵要算上万年。第8章将指出，行列式的几何意义是面积或体积，可否从这方面探索，因为它的用途很单一，就是判断奇异性，连正负号都不必关心。第13页，共34页，2023年，2月20日，星期六行列式的计算方法计算行列式的最好方法还是行阶梯法，可以利用lu分解

[L,U]lu(A)把A分解为一个准下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。因为det(L)1，所以U和A的行列式相等。det(A)det(U)而三角矩阵U的det(U)很好求。只要把U的主对角线元素连乘就可得到它的行列式。此法所需的乘法次数仅为定义1法的10-23

第14页，共34页，2023年，2月20日，星期六行列式计算实例7.3.1程序如下[l,u]lu(A), dudiag(u) Dprod(du) 结果为du10 –4.8 10.625 9.4824

1.2349D5.9720e0035972第15页，共34页，2023年，2月20日，星期六7.4矩阵的秩和矩阵求逆按定义，矩阵的秩是矩阵A中行列式不等于零的最高阶子式的阶次。是用以衡量联立方程中有效方程数目的指数。按照定义来计算矩阵的秩，可能遇到的问题也是子矩阵的数量很大，每个矩阵的行列式计算又非常麻烦，其计算量也将是不可接受的天文数字。计算矩阵的秩的最好方法仍然是行阶梯法，如第6章所述，行阶梯化简后非全为零的行数，就是该矩阵的秩。用MATLAB函数rrank(A)可以检验A的秩，rank函数对A是否是方阵没有要求，即可以有m≠n。第16页，共34页，2023年，2月20日，星期六矩阵求逆对于nn方阵A，当rn时，称A是满秩的，若rn，必有det(A)0，称A是欠秩的或奇异的。奇异矩阵不可以求逆。矩阵求逆的最简单方法也是行阶梯化简，其方法是设定一个由A和I组成的增广矩阵C[A,I]，求C的简化行阶梯形式UCrref([A,I])，得出UC

[I,V]。V就显示出这个逆矩阵的内容。第17页，共34页，2023年，2月20日，星期六例7.6求逆矩阵示例求A的逆阵解：程序ag706。A[3,0,3,6;5,1,1,5;3,1,4,9;1,3,4,4];C[A,eye(4)]U0Crref(C)VU0C(:,5:8)第18页，共34页，2023年，2月20日，星期六程序运行结果右边四列就是其逆阵：矩阵求逆命令：V=inv(A),

第19页，共34页，2023年，2月20日，星期六用inv函数求逆求A的逆阵程序ag707为：A=[-16,-4,-6;15,-3,9;18,0,9],V=inv(A)运行结果：Warning:Matrixisclosetosingularorbadlyscaled.Resultsmaybeinaccurate.RCOND=6.042030e-018.第20页，共34页，2023年，2月20日，星期六条件数—衡量奇异程度的量在用数值方法计算矩阵的逆时，由于计算中的误差，人们不大可能得到理想的零合理想的全零行，所以矩阵是否奇异，并不是那么绝对的。为了评价矩阵接近‘奇异’的程度，采用了‘条件数’（ConditionNumber）作为常用的衡量指标。它永远大于1。其数值愈接近于1，计算误差愈小；MATLAB中，条件数用cond(A)计算，它达到104以上时，求逆的误差就可能相当可观。像现在，条件数达到1016（注：条件数是逆条件数RCOND的倒数），结果是根本不能用的。第21页，共34页，2023年，2月20日，星期六7.5用矩阵‘除法’解线性方程如果mn，则线性代数方程

Axb

（7.21）中的A是方阵，设det(A)≠0，则它的逆阵存在。将上式左右同乘以inv(A)，由于inv(A)*AI，得到

xinv(A)*b（7.23）MATLAB创立了矩阵除法的概念，因为inv(A)相当于将A放到分母上去，所以可以把上式写成

xA\b

（7.24）‘\’就称为左除，因为inv(A)是乘在b的左方。第22页，共34页，2023年，2月20日，星期六左除’\’解线性方程的扩展左除‘\’的功能远远超过了矩阵求逆函数inv，inv(A)函数要求A必须是方阵，所以（7.23）式只能用来解‘适定’方程，而（7.24）式并不要求A为方阵，在A是mn阶且mn（欠定）时，它只要求A与b的行数相等且A的秩为m。所以（7.24）式也可以用来解欠定方程，在下例中可以看出。此外，运算符‘\’还能用来解超定方程，第23页，共34页，2023年，2月20日，星期六左除’\’解欠定方程例7.8用矩阵算法解例6.5.1A[3,4,3,2,1;0,6,0,3,3;4,3,4,2,2;…1,1,1,0,1;2,6,2,1,3];b[2;3;2;0;1];x=A\b得到x=inf，无解。改用行阶梯方法找有效行。左除要求的是系数矩阵的行数与秩相同，B[A,b],r=rank(B),[UB,ip]rref(B);U0UB(1:r,1:5);dUB(1:3,6);xU0\d第24页，共34页，2023年，2月20日，星期六本例运行结果r=3,及 它是此欠定方程的一个特解。第25页，共34页，2023年，2月20日，星期六7.6.1

网络的矩阵分割和连接在电路设计中，经常要把复杂的电路分割为局部电路，每一个电路都用一个网络‘黑盒子’来表示。‘黑盒子’的输入为u1，i1，输出为u2，i2，其输入输出关系用矩阵A来表示（如图7.1所示）：A是22矩阵，称为该局部电路的传输矩阵第26页，共34页，2023年，2月20日，星期六两个网络的串联两个串接的子网络。第一个子网络包含电阻R1，第二个子网络包含电阻R2，列出第一个子网络的电路方程为：由得矩阵方程第27页，共34页，2023年，2月20日，星期六两个网络的串联（续）由第二网络：写成矩阵方程为：整个电路的传输矩阵为两者的乘积第28页，共34页，2023年，2月20日，星期六7.6.2

用逆阵进行保密编译码在英文中有一种对消息进行保密的措施，就是把英文字母用一个整数来表示。然后传送这组整数。这种方法是很容易根据数字出现的频率来破译，例如出现频率特别高的数字，很可能对应于字母E。可以用乘以矩阵A的方法来进一步加密。假如A是一个行列式等于±1的整数矩阵，则A

1的元素也必定是整数。而经过这样变换过的消息，同样两个字母对应的数字不同，所以就较难破译。接收方只要将这个消息乘以A

1就可以复原。第29页，共34页，2023年，2月20日，星期六7.6.3

减肥配方的实现设脱脂牛奶的用量为x1个单位（100g），大豆面粉的用量为x2个单位，乳清的用量为x3个单位，表中的三个营养成分列向量为：使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，得到

第30页，共34页，2023年，2月20日，星期六7.6.4

弹性梁的柔度矩阵设简支梁如图7.3所示，在梁的三个位置分别施加力f1，f2和f3后，在该处产生的综合变形为图示的y1