数学期望均值的定义市公开课金奖市赛课一等奖课件

一.数学盼望(均值)定义第一节数学盼望与方差直观理解，数学盼望就是一个随机变量所有也许取值加权平均值，权就是这些也许值相应概率。比如，1.假定发生意外概率是0.001，则在购买保险15,000人中，平均起来有多少个人需要补偿？2.统计资料表明强烈地震间隔服从参数430(天)指数分布，则平均多长时间发生一次强震？第1页第1页1.离散随机变量数学盼望假如X分布律P{X=xk}=pk

,k≥1满足：∑k≥1

|xk

pk|＜+∞则定义离散随机变量X数学盼望是

E

X=∑k≥1

xk

pk

2.连续随机变量数学盼望假如X密度函数p(x)满足：则定义连续随机变量X数学盼望是第2页第2页例4.1.1一位著名射击教练将从两个候选人中挑选一人作为他队员，甲还是乙成绩更加好？成绩(环数)8910甲概率0.10.30.6乙概率0.20.50.3解.以X、Y分别表示甲、乙射击一次结果，显然X数学盼望(甲射击一次平均成绩)是

E

X=8×0.1+9×0.3+10×0.6=9.5(环)，同理，乙射击一次平均成绩是

E

Y=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1(环)。□第3页第3页解.以X记这个项目投资利润。平均利润为：

E

X=5×0.3+0×0.6+(–10)×0.1=0.5，而同期银行利息是10×0.02=0.2，因此从盼望收益角度应当投资这个项目。□利润50–10概率0.30.60.1例4.1.2假设某人有10万元，假如投资于一项目将有30%也许赢利5万，60%也许不赔不赚，但有10%也许损失所有10万元；同期银行利率为2%，问他应当如何决议？第4页第4页例4.1.3在古典概率模型中设计了下列一个赌局：每个人从有3张假币10张100元纸币中随机地抽出4张。假如全是真，则赢得这400元；假如这4张中至少有一张假币，只输100元。问这种规则是否公平，或者说你是否愿意参与？解.分析，公平合理规则必须是双方平均获利都等于0以X记每局赌博中庄家获利(可认为负)，则X所有也许取值是–400与100。第5页第5页显然X分布律为：

xk–400100

pk——因此，X数学盼望，即庄家在每局赌博中平均赢利为：

E

X=(–——)+(——)=—。

这种赌博对庄家有利，平均一局他将净赚16.67元□

1566

40050050663思考2假如一天有12个人参与这种赌博，庄家平均赢利又是多少？第6页第6页例4.1.4在例题2.4.4中假定乘客在公交车站等车时间

X(分钟)服从参数5指数分布，

p(x)=0.2e

–0.2x，x

＞

0

问这个人平均等车时间是几分钟？解.平均等车时间即是数学盼望E

X，因此□即平均需要等待5分钟。第7页第7页二.数学盼望基本性质即，设a、b是两个常数，则有：E(a+bX)=a+bE(X)

；1.随机变量线性变换盼望等于盼望线性变换2.随机变量和盼望等于盼望和对任意n个随机变量X1、X2、…、Xn，都有：

E(X1+X2+…+Xn)=E

X1+E

X2+…+E

Xn

第8页第8页4.随机变量函数盼望公式3.独立随机变量乘积盼望等于盼望乘积假如X1、X2、…、Xn互相独立，则有：

E(X1×X2×…×Xn)=E(X1)×E(X2)×…×E(Xn)(1)假如离散随机变量X含有分布律：P{X=xk}=pk

,k≥1，则随机变量Y=g(X)数学盼望是：

E

Y=E[g(X)]=∑k≥1

[g(xk)pk]第9页第9页(2)假如连续随机变量X含有密度函数p(x)，则随机变量Y=g(X)数学盼望是：

E

Y=E[g(X)]=(3)假如连续随机向量(X1，X2，…，Xn)含有联合密度函数p(x1,x2,…,xn)，则随机变量

Y=g(X1,X2,…,Xn)数学盼望是

E

Y=E[g(X1,X2,…,Xn)]第10页第10页例4.1.5在前面例题4.1.3赌局里，假如一天有12个人参与赌博，则庄家总赢利是随机变量

Y=X1+X2+…+X12，每个Xi独立同分布。解.假如要用数学盼望定义计算庄家平均赢利，需要求出Y分布律。利用数学盼望性质，由于E

Xi=50/3，因此庄家总利润平均来说有200元。□补充更准确模型应当假定天天参赌人数服从参数

泊松分布，此时庄家平均利润是×E

X

第11页第11页练习4.1.6在例题2.2.1中讨论了汽车过十字路口问题。通过每个路口概率是q，X是初次停止时通过路口数。

X01234

pk

p

pq

pq2

pq3

q4假定一个游戏要求，通过k道关口将取得价值10k(0≤k

≤4)元奖品。问一个参与者取得奖励平均来说价值多少？第12页第12页三.方差定义方差是一个随机变量在它数学盼望附近取值分散程度，方差越小阐明取值越集中于盼望。1.对随机变量X，假如(X–E

X)2数学盼望存在，即E(X–E

X)2

＜+∞

，则称它是X方差，记为DX或者Var(X)。

方差平方根(DX)1/2称为X原则差或均方差思考E|X–E

X|能不能描述X

在盼望附近取值分散程度？第13页第13页2.方差计算公式①按照定义，DX=E(X–E

X)2；②惯用公式，D

X=E(X2

)–(EX)2；③按照随机变量类型：(1)对于离散随机变量

D

X=∑k≥1

pk(

xk–E

X)2，(2)对于连续随机变量

D

X=方差总是非负常数，而盼望能够是任意实数第14页第14页3.数学盼望与方差概率意义方差越小，阐明随机变量取值越集中在盼望附近，或者也能够理解成，这个随机变量就越稳定。数学盼望是一个随机变量取值平均，方差是随机变量在这个平均值附近取值分散程度。理论上能够证实，随机变量X方差为0充足必要条件是，这个随机变量取值为一个常数概率是1。即，D

X=0P(X=E

X)=1第15页第15页例4.1.7射击教练将从他下列两名队员中选择一人去参与比赛，应当是甲还是丙更适当？成绩(环数)8910甲概率0.10.30.6丙概率0.20.10.7解.这里甲、丙两人平均成绩都是E

X=E

Y=9.5需要比较方差，简朴计算后能够得到：

D

X=0.45，D

Y=0.65因此应当选择甲队员去参与比赛。□第16页第16页练习4.1.8续例4.1.1，甲乙射击技术下列：需要利用分布律计算两个概率：P(X＞Y)，以及P(Y＞X)。

X概率89100.30.10.6Y概率89100.20.50.3已经知道平均来说，甲成绩比乙好。

假如只射击一次，谁成绩也许更加好一些？第17页第17页四.方差基本性质与数学盼望性质比较：E(a+bX)=a+bE(X)平移改变随机变量盼望，但不会改变方差1.随机变量线性变换方差公式即，设a、b是两个常数，则有：D(a+bX)=b2DX；第18页第18页随机变量中心原则化思考正态分布有一个形式上相近性质，假如X~N(,2

)

，则(X–)/~N(0,1)假设X盼望，方差2都存在，则

Y=———称为是X中心原则化。“中心原则化”即是通过线性变换把一个随机变量盼望转化为0，方差转化为1。

X–

第19页第19页2.独立随机变量和方差等于方差和假如X1、X2、…、Xn互相独立，则有：

D(X1+X2+…+Xn)=D

X1+D

X2+…+D

Xn与数学盼望性质比较：任意随机变量和盼望等于盼望和；独立随机变量乘积盼望等于盼望乘积3.任意两个随机变量和方差公式D(X

+Y

)=D

X+D

Y+2E[(X–E

X)(Y–E

Y)]

第20页第20页例4.1.9计算二项分布B(n,p)盼望与方差□解.假如按照定义，则需要计算

E

X=∑kn=0[k×Cnkpkqn–k]

D

X=∑kn=0[(k–E

X)2×Cnkpkqn–k]注意到二项分布能够分解成两点分布和：假如X~B(n,p)，则X=X1+X2+…+Xn，这里每个Xi独立同分布于参数p两点分布。显然有E

X1=p，D

X1=pq(q=1–p)因此二项分布盼望与方差是

E

X=np，D

X1=npq。第21页第21页五.切比雪夫(Chebyshev)不等式切比雪夫不等式阐明，对任意随机变量X，它在盼望附近取值概率有一个下界。假如X盼望，方差2都存在，则对于任意一个实数＞0，有：P{|X–|≥

}≤——；或者等价地，P{|X–|≤

}≥1–——。

2

2

2

2第22页第22页1.切比雪夫不等式准确度在不等式中分别