品读新课标 把握结构化 论文

品读新课标把握结构化关键词：结构化双重性整理化简合并同类数式通性课程内容结构化，具体包括：（1）内容的选择，最想说的是，如若在“平行线分线段成比例”前，安排“等距的平行线等分线段”，效果会大不同。（2）内容的组织，重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径。重视数学结果的形成过程，处理好过程与结果的关系；重视数学内容的直观表述，处理好直观与抽象的关系；重视学生直接经验的形成，处理好直接经验与间接经验的关系。（3）内容的呈现，注重数学知识与方法的层次性和多样性，根据学生的年龄特征和认知规律，逐渐拓展和加深课程内容，适应学生的发展需求。看过几位大咖方家对新课标的解读视频，在课程内容结构化的解读中，专家们对前三学段课程内容的联系、衔接，表述得都很精到，但对第四学段的鲜有涉及，这里略谈一点关于第四学段“数与代数”方面的粗浅看法。“数与代数”是数学知识体系的基础之一，是学生认知数量、数量关系、探索数学规律、建立数学模型的基石，是学生感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体，通过学习，可以帮助学生从数量的角度，清晰准确地认识、理解和表达现实世界，进而形成抽象能力、推理能力和模型观念，发展几何直观和运算能力。一、关于数数是对数量的抽象，表示物（体）的个数（值）或事物的顺序。（一）有理数 1.有理数的认识小学数学主要学习算术数（正有理数）的认识与运算，对于负数，只是借助零下温度的表示，说明因为相反意义量的存在，其出现的适用性，并没有讲解数系扩充的必要性，也没有对负数本质进行探讨。尽管初中阶段负数的引入，仍是借助相反意义的量，但讲述了数系的扩充及必要性，特别强调了基准（点）的规定，便于学生理解负数的本质：比零（有时特指规定的标准）小，这样就可以通过比较大小对有理数进行排序。初一讲了有理数的表示、大小比较、运算，但并没有讲述它的本质，只是由“万1物皆数”知道，它总可以表示为分数。后来因为“无理”数的出现它才得“有理”之名，相对于无限不循环，它的实质是有限或无限循环（可公度）。数系扩大到有理数必须明确两点：（i）每个数都由两部分组成：性质符号+绝对值，有了性质符号，就相当于取了学名，既有名更有了“姓”；（ii）加减法是统一的。添加了性质符号，说明数更精细了；加减统一，说明数更简洁了。 2.有理数的运算

至于有理数的运算，比算术数只是多了“性质符号”的确定，所以每种运算法则的第一句，都是讲如何确定性质符号，确定好符号后，剩下的就是算术数（绝对值）的计算了。特别之处：减法没有直接的运算法则，需转化为加法。加减统一后，“减”也是“加”，“加”中有“减”，异号两数相“加”时，确定好性质符号后，是把绝对值相“减”（抵消），这样加减法巧妙地融合统一了。 （二）实数1.实数的认识

有理数虽然先出现，但后于无理数才有“名”吧？在初二尽管把数系扩充到实数，但其实质在整个中学阶段都没讲清楚，只能形象地解释为：实数能够把数轴填“实”（连续）的数，即是说实数和数轴上的点一一对应。 2.实数的运算

初中阶段所接触到的无理数，最多的是开不尽的方根。实数运算中的有理数部分前文已述，无理数（主要是根式）部分等同“式”的运算。（后文展开） 二、关于代数“代数”简言之，代替数（值）。为什么要代替数？因为接触到的数量及其关系不再具体，用确切的已表示不了了；用什么代替数？字母或含有字母的式子；代替以后又能干吗？认识更广泛的数量及其关系，且研究数量关系及其变化规律。对应的代数学有三大任务：“代数式”表示数量，并借助它表示数的运算规律及数量间的和、差、倍、分关系；“方程、不等式”研究数量间“等”与“不等”的关系；“函数”研究数量间对应变化关系，进而把握变化过程中隐含的规律。（一）代数式1.代数式的认识

“代数式”用扩充法解释，代替“数（值）”的“式子”。 首先，它用来表示非确切的数量。既然是表示数量的“数值”，自然应看成“结果”，其中不再有运算符号，这是它的本质（功能）意义；但从其产生过程看：2它是用运算符号把数和字母连接而成的式子，理所当然地又得看做是“算式”，这是它的结构（算理）意义。即是说：代数式是依据不同算理得来、且应看作结果的式子，所以兼具“算式—结果”的双重性，它是“一体两性”的。利用这种“双重性”，可以很直白地解释“加减法的辩证统一”。如：“3－4”，看作算式，应读作“3减4”，但它与“3+（-4）”的结果是一样的，由此，减法转化成加法，完成加减法的辩证统一；再看作结果，就应读作：“3与负4的和”，没有读出运算符号，直接看成“加”的结果，即为省略了加号的“和”。多项式意义中的“和”字，即是此意。“和”是加法的结果，既然运算符号省略了，所以式中的符号都为性质符号，各项的系数不言自明。如果在这时讲一下乘法对加法的分配律，后面就可以不用再定义“去括号”、“添括号”法则了，如：-（a-b+c），即“负1倍的和”，把“-1”分配进去就可以去掉括号了，反过来，添“负的”括号中，相当于把“和”扩大了“-1”倍，为保证结果不变，放进括号中的每一项都必须变号！依据代数式的“双重性”，理解乘方、开方更清晰。解读“an”，看作算式时，读作：“a的n次方”，表示n个a相乘的（简便）算式；看作结果时，读作：“a的n次幂”，表示n个a相乘的积（结果）。如此解读，对于乘方意义、幂的运算（特别是幂的符号的确定），能一目了然。再如a（a≥0)，看作算式是开（平）方运算，是给非负的a开平方，并只取算术平方根；看作结果是（平）方根，表示非负a的算术平方根，（最终结果要保证最简）。课本对“开方”与“方根”的循环解释：“开方”求方根的运算；“方根”开方求得的结果，也印证了该式的“双重性”。比如，“把3开平方及3的平方根”，都表示为±3，显见代数式“一体两性”的特性。 代数式的双重属性，是它最精要的特性，应该开宗明义地交代清楚，就规定为“双重性”可行？这样学生对代数式的本质及运算（化简），就会通透明了了。 代数式作为特殊的语言文字，其读、写自然应该更规范、精练。首先，关于“加减”的，有两种读法，但化为“省略加号的和”最为直白。再看乘除的，如“3×X”，省略乘号，得结果，可读作“3X”，但对于“-3x2”，就应该读作：“负3倍的x2”，像“（-2）2与－22”，分别读作“-2的2次方”与“负的2的2次幂”，就容易感知它们的区别，系数不能写成带分数形3 1 1

式，看2a，其中的2与是“加”的关系，而系数与字母间是“乘（倍）”的2 2

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2 2关系，还原为2+×a，明显不准确，故而写成a才科学。 代数式的“结果”属性要求其中不再有运算符号，“和”式中的“+、-”都读作“正、负”；不允许使用“÷”号，应写成比式，若给以明文强调，学生才会自觉自如地用分数（式）表示数量。对于“（am）n”，应读作“a的m次幂的n次方”，n次方表示n个am相乘，进而得到amn。 2.代数式的运算

代数式是“一体两性”的，其“结果”属性要求最后的呈现，一定是不能再简。因而要把本身是“算式”的东西，整理化简到最简！显见，代数式运算的实质就是整理“化简”，不能化简的“算式”本身就是“结果”。 遵循规范、精准的读写，会清晰代数式运算的“始”与“终”，从“一体两性”的角度去解读，会把握得更透彻！如“3X+5X”，读“加”即“和”是8X，而“2a2－3a”虽也是加减，但不是同类，不能进一步合并化简，随即看成“和”，即为最终结果。可见，代数式的加减也是统一的。像前文提到的实数运算，其加减也是如此，有理与无理不同类，同是无理也不一定同类，只有同类的才能合并，不能合并时直接看作结果。数的加减是相同“计数单位”上“数值”的合并，代数式的加减也是合并同类（同类的项、同类的根式、同分母的分式，都可视作相同单位？），并注意区别：同类合并时，是系数相加，相同的“单位”不变；而单项式自乘时，是系数相乘，其后的同底数幂相乘，是“单位（底）”不变，而把指数相“加”。代数式加减的实质是合并同类，有理式乘除中，单项式的乘除是基础，其余的（单×多、多×多、多÷单）可利用分配律转化。同底数幂乘法与幂乘方的区别：对应的指数运算比幂运算低一级。积商的乘、开方也可分配？ “数与式”是代数的基本语言，“数式通性”既指表示数量的一致性，又指运算和推理的相通性，且“式”的结果更具一般性。我们知道，在一、二级之间，因为一般与特殊关系，在没有“隔”级的情形下，其间有分配律，即:m(a-b+c)=am-bm+cm,(am+bm+cm)÷m=am÷m+bm÷m+cm÷m，可以阐释为：不隔级时，“高的级”能够打破括号的优先权。为了内容一致性，4a an考虑可以把它扩展到二、三级之间，如（ab)n=anbn、()n=b bn、nab=nanb、nab=nbna，是否也可以叙述为高一级运算的直接分配？强调隔级不行！如（a+b）2是“和”平方，由于一、三之间隔着二级，就不能简单地直接分配。对于公式（a±b）2=a2+b2±2ab，不妨根据其结构特征,从左到右直接定义为“多项式（和）平方公式”：除了等于其中每一项的平方“和”外，还要再加上它们（各项）两两乘积的2倍，且多项式中的项数可以不受限制，（而和为两项，指数变化时就是二项式定理）。对于(a+b)(a-b)=a2-b2,不如直接命名为“同异公式”（或许有更贴切的叫法），而把“完全平方”“平方差”这两个名称专门给因式分解中的对应变形。因式分解是一种“以退为进”的变形，是为了分式的约分化简，而把多项式逆向转化为整式乘积形式，因为只有“因”式才能约分。上文提到，代数式可以无所不能的表示各种不同的数量及关系，反过来，有时同一数量关系还可以用不同的形式表示，如：x比y大3，就可以表示为（1）x-y=3（2）x=y+3（3）y=x-3，其中的（1）式是一个标准的二元一次方程，（2）、（3）都可以看成函数式，由此可见方程与函数的本质统一：相应的式子对应同一数量关系，区别是研究的范围不同：方程研究某一点时的对应关系，不等式研究某一范围内的对应关系，函数研究整体（定义域内）的对应变化关系。 （二）方程（组）／不等式（组）

方程（组）／不等式（组）是研究数量之间“相等”/“不等”关系的重要数学模型，曾被看作是代数研究最主要的内容。由于多次重复，学生对“模型”一词可能不再生疏，但真正运用它去解决问题，大多数学生还会感到“无所适从”，部分老师及资料（包括教材）都在教导学生：解决问题的关键是寻找“等量关系”。而当学生不能自如地表示“数量”时，自然就看不到“数量”，怎么可能轻易地找出问题中的“等量关系”呢？首先，要明确运用模型的基础前提是：用代数式表示数量，一开始设定表示未知数的字母，旋即看作“已知”，进而借此表示相关数量，且确保相关的数量都能够自如地表示出来；其次，要明晰代数式的双重性，特别是“结果”属性，从一开始设定表示未知数的字母，到用含有字母的代数式，所有表示数量的代数式，都要清楚它们表示的是哪一数量，只有知道的“已知”数量越多，才容易列5出反映主旨关系的等式。“代数”这一光辉思想，就像带着“光芒”一样，照见我们看到更多的“已知”数量及等量关系。至于解方程（组）／不等式（组），不否认，经过大量的模仿训练，学生也能机械的求解，但若问其所以然，学生却浑然不知。真正素养的滋润，应该引导学生感知到其实质是：根据等式/不等式的性质，对标终极形式（解或解集的形式）、进行有目的的定向变形，即类似于转魔方的游戏。有些变形的名称，本身就点明了目的，如解方程中的“去分母”、“去括号”、“系数化为1”，而“移项”的目的：是把未知项、已知项分别集中，（代数“algebra”一词来源于阿拉伯数学家阿尔·花拉子米的著作，文中“al-jabr”（拉丁文‘aljebra’）一词的含义是“还原与对消”，“移项”其实是其“等效”变形，但更简洁。）“合并同类项”的目的是：化为最简形式。学生明白了每种变形的作用，才会根据所给不同形式，采用相应的变形，向着终极目标（的形式）奔去。遇到分式方程，自然会想到：通过“去分母”，把分式方程转化为整式方程。遇到高次方程（初中阶段就是二次），通过开（平）方、分解降次，有了“转化”的意识，学生会自觉地感知到：解高次的思路是降次；解多元的思路是消元。有了类似的迁移，学生才能变机械“解题”为真正地“解决问题”，进而习得分析的能力、创新的意识，化育得到相应的素养，。（三）函数函数部分，以锐角三角函数为例，锐角三角函数是从研究直角三角形中，边之间的不同比，随着某个锐角的变化而变化抽象得来的。但由于其解析式为超越式，学生弄不清谁是自变量，谁是因变量，看不出谁是谁的函数。其实，锐角是自变量，边之间的对应比值是因变量，比值是锐角的函数。锐角三角函数为什么又可以脱离具体的直角三角形来研究呢？因为相似三角形对应边成比