天津大学《概率论与数理统计》协方差

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§4.4协方差和相关系数问题

对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布

对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系问题是用一个怎样的数去反映这种联系.

数反映了随机变量X,Y之间的某种关系§4.41协方差反映了随机变量X,Y

之间的某种关系.一.协方差

对于二维随机变量(X,Y),如果存在则称它为X与Y的协方差，记为即:1.协方差的定义22.协方差的常用计算公式：.

若(X,Y)为离散型，若(X,Y)为连续型，协方差和相关系数的计算

43.协方差的基本性质:31)2)3)证:1),2)显然。4）前面已证.二、相关系数

对于二维随机变量(X,Y)称为X与Y的相关系数4对此定义作如下说明1.将随机变量和标准化即令.求cov(X,Y),XY10pqXP10pqYP例1已知

X,Y的联合分布为XYpij1010p0

0q0<p<1p+q=1解10pqXYP例178例2

设(X,Y)具有概率密度求Cov(X,Y).解：例3设(X,Y)~N(1,12;2,22;

),例2则XY=若(X,Y)~N(1,12,2,22,),则X,Y相互独立X,Y不相关10例4设~U(0,2),X=cos,Y=cos(+),

是给定的常数，求XY解例31112若若有线性关系若不相关，但不独立，没有线性关系，但有函数关系132.相关系数满足 1)

的充要条件是存在常数a,b2)证：1)由使5

此式说明相关系数实际上是随机变量X和Y经标准化之后新的随机变量的协方差.

考虑新变量与之和的方差。.2)必要性，设则6由方差性质4),存在常数C，使得下式成立即.得如果可考虑也容易找到常数使得7取充分性,只要将代入.

由此表明，当时，X，Y存在着线性关系，这时如果给定一个随机变量之值，另一个随机变量值便可完全决定。得到8

有线性关系是一个极端，另一极端是场合。3.若X与Y的相关系数则称 X与Y不相关。.例.做n次试验，X、Y分别表示试验成功、失败的次数，则X与Y的相关系数为（）

1；-1；0；2.18

X,Y不相关X,Y相互独立X,Y不相关若(X,Y)服从二维正态分布，X,Y相互独立X,Y不相关19例4设(X,Y)~N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y-1,求

XZ解例420例3

已知设,求解柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式

设X与Y是两个随机变量若存在，证明:考虑实变量t的二次函数则23.(1)理解数学期望和方差的概念,

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