天津大学《概率论与数理统计》连续随机变量

当x<0时,F(x)=0;当0≤x≤1时,

当x>1时,F(x)=1；.例:一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。2X7解:若则为不可能事件若由题意（k为某一常数）为确定k，取x=2，则2023/4/222.由题意 是必然事件，于是：若8又故综上所述，即得X分布函数为：201它的图形为一条连续曲线2023/4/223.

另外，连续的分布函数都可写成变上限积分形式。此例其它即恰是非负函数在区间上的积分，在这种情况下，我们称X为连续随机变量。92023/4/224.则称X为连续型随机变量，其中函数称为X的概率密度函数，简称概率密度.2.4连续型随机变量的概率密度一、一维连续型随机变量及概率密度

定义:如果对于随机变量的分布函数 存在非负函数 使对任意实数有10二.概率密度函数的性质（1）（2）1

介于密度曲线与ox轴之间的图形面积等于12023/4/225.证:(3)（4）若 在点处连续，则11注：1）对连续型随机变量X，它取任一定值的概率为零。即对X的任一可能值因为：2023/4/226.(4).若f(x)在点x处连续，则有因为，当f(x)连续时,F(x)可导,所以在f(x)的连续点处，F’(x)=f(x)(积分上限函数定理)【注】i)对F(x)不可导的点x处，f(x)在x的函数值可任意给出..2）对连续型随机变量,利用概率密度可得随机变量X在任何一个区间上的取值概率.且X落在开区间（a,b）内的概率，和落在内的概率相等。即12几何意义如图所示即随机点X落在任意一区间上的概率就等于概率密度在该区间上的积分.abc2023/4/228.例1:

设连续型随机变量X的分布函数为其中a>0，试求：

（2）（3）分布密度f(x)。（1）常数A，B；13解:（1）因为在

上连续，故有

即解得：2023/4/229.（2）（3）142023/4/2210.四、设连续型随机变量X的分布函数为：求（1）常数A、B、C；(2)X的概率密度函数；（3）。.设随机变量X的分布函数：计算例2解例12023/4/2212.2023/4/2213.练习解(1).三、三个重要的连续型随机变量的分布（1）均匀分布若连续型随机变量X具有概率密度则称X在区间（a,b）上服从均匀分布记为15利用公式可得分布函数为：及的图形分别如图示abab12023/4/2215.例2.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车.设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率1545解：设A={乘客候车时间超过10分钟}，X表示乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60).(2)指数分布(Exponentialdistribution)

.xF(x)0xf(x)0.例:设某种电子元件的寿命(单位:小时)服从参数为0.001的指数分布.(1)求该电子元件寿命超过200小时的概率.(2)已知该电子元件已经使用了300小时，求它还能再使用200小时的概率为多少？-----指数分布具有无记忆性.例题假定一个顾客在饭店等待服务的时间服从指数分布，且平均等待时间为5分钟.那么一个顾客等待时间超过10分钟的概率为多少？假定这个顾客已经等了10分钟，那么他或她还要等10分钟的概率是多少？解：设顾客等待时间为随机变量X，由题意知顾客等待时间超过10分钟的概率为已经等待10分钟，还要再等10分钟的概率2023/4/2220.

某些元件或设备的寿命服从或近似服从指数分布，指数分布具有一个有趣的性质“无记忆性”。即：18证：由条件概率公式又2023/4/2221.例:

设X服从参数 的指数分布，求方程 无实根的概率（关于x的二次方程）。解得解:

要方程无实根，必须满足19由于X的分布密度为所以2023/4/2222.例:假定自动取款机对每位顾客的服务时间(单位:分钟)服从的指数分布.如果有一顾客恰好在你前头走到空闲的取款机.求你(2)等待时间在3分钟至6分钟之间的概率.(1)至少等候3分钟;20解:

以X表示你前面这位顾客所用服务时间.为X的分布函数.则所求的概率为:(1)(2)2023/4/2223.3、正态分布

正态分布是最常见的也是最重要的一种分布，其分布具有“中间大，两头小”的特点，如调查一群人的身高，测量某加工件的长度，这些量都服从正态分布。212023/4/2224.22其中，是常数，且 ，则称X服从正态分布，简记

定义:

如果随机变量X的概率密度函数为（1）有以下性质：（2）1)曲线关于 对称;2)当 时，取最大值:3)当 时，4)曲线在 处有拐点; 5)曲线以轴为渐近线，其图形如图示.2023/4/2225.当值固定时，值的大小影响图形的高、矮、胖、瘦越小，图形越高、越瘦；越大，图形越矮、越胖。如果固定值，则图形沿ox

轴平移，而不改变其形状，可见正态分布的概率密度曲线 的位置完全由参数所定，称为位置参数。236)参数的几何意义称为形状参数2023/4/2226.

对随机变量 ，当 时，称此随机变量X服从标准正态分布，记为 (3)标准正态分布其概率密度函数为24

的值可查表易知：2023/4/2227.定理：

证：25于是对任意区间 有2023/4/2228.例

:设（1）求（2）求a使解:262023/4/2229.例7

设随机变量X服从正态分布N(μ1,σ12)，随机变量Y服从正态分布N(μ2,σ22)。且则必有（）A2023/4/2230.X落在区间 内的概率只与有关而与 无关。特别当=1，2，3时，可查表求得27证：例:设 证明X落在 内的概率只与有关而与无关。2023/4/2231.可见服从正态分布 的随机变量X之值基本上落在区间内，而几乎不落在之外，在实际应用中称为 原则。0.68260.95440.9974282023/4/2232.求例:

设 ,且已知解:由29得查表得：又由查表得：解得:2023/4/2233.例:

公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机率在0.01以下来设计的，设男子身高 其中 即 问：车门高度应如何确定？解:

设车门高度为Hcm，按设计要求即30而查表得即所以设计车门高度应为184cm。2023/4/2234.例2.4.7一般可以认为各种考试成绩服从正态分布。假定在一次公务员资格考试中，只能通过考试人数的

5%，而考生的成绩

X近似服从

N(60

,100)

，问至少要多少分才可能通过这次初试？解.

分析，假定通过考试的成绩至少要为d

分，即必须有

P{X

≥d}≤0.05P{X

≤d}≥0.95。

根据定理2.4.1，

———~N(0

,1)

X–60

102023/4/2235.因此

0.95≤P{X≤d

}=(———)查正态分布表，有，(1.64)=0.9495，(1.65)=0.9505；□d–60

10所以———≥1.65，即d

≥76.5，至少要76.5分才可能通过资格考试。d–60

10思考3

假定某城市个人月收入(RM