有限单元法概论

有限单元法概论第1页，共27页，2023年，2月20日，星期六第4章有限元方法概论有限元方法（FiniteElementMethod)

有限元方法是力学、数学物理学、计算方法、计算机技术等多种学科综合发展和集合的产物,是一种数值模拟分析方法.

利用有限元方法几乎可以对任意复杂的工程结构进行分析，获取结构的各种机械性能信息、对工程结构进行设计和评判，对工程事故进行分析。第2页，共27页，2023年，2月20日，星期六§4.l有限单元法的思路及发展一.基本思想：

先化整为零，再集零为整。

即将原结构划分为许多小块(单元），用这些离散单元的集合体代替原结构．用近似函数表示单元内的真实场变量，从而给出离散模型的数值解。能灵活处理和求解各种复杂问题,应用广泛

第3页，共27页，2023年，2月20日，星期六技术路线1）标准化（理论研究：任意复杂问题标准化分解，单元建模有限种标准单元）2）规范化（前处理：CAD几何、力学建模、求解，后处理显示:）3）计算机化（标准程序、模块）4）应用的规模化、普及性（可求解大型计算问题）第4页，共27页，2023年，2月20日，星期六二、有限单元法发展过程如何处理

例如：中国古代就有离散化的思想，求圆周率

自然离散（如桁架）对象的离散化过程分为两种

逼近离散（对连续体）连续体离散体第5页，共27页，2023年，2月20日，星期六第6页，共27页，2023年，2月20日，星期六发展历程1）1941年，累尼科夫（A.Hrennikoff）首次提出用构架方法求解求解弹性力学问题——离散元素化——仅限杆系结构。2）1943年，柯兰特（Courant）在求解扭转问题将截面分成若干三角区域，在各三角区域设定翘曲函数——有限单元法的萌芽3）1955年，德国的J.H.Argyris——一组能量原理与矩阵分析——奠定理论基础第7页，共27页，2023年，2月20日，星期六4）1956年，特纳（Turner）、克拉夫（Clough）、马丁（Martin）、托普（Top）等将钢架分析中的位移法扩展到弹性力学平面问题，并用于飞机的结构分析和设计,系统地研究了离散杆、梁、三角单元刚度表达式，求得平面应力问题的正确解。5）1960年，克拉夫（R.W.Clough）在处理剖面弹性问题时，发表“平面应力分析的有限元法”论文——论文中首先使用“有限单元法”(theFiniteElementMethod)的名称。6）70年代后，迅速发展，扩大应用范围。(固体力学中的位移场,应力场分析,电磁场振动性分析、温度场流体力学的流场)第8页，共27页，2023年，2月20日，星期六§4.2有限单元法的特点一、特点（1）概念简单，容易理解。（2）适应性强，应用范围广泛。

1）对于复杂几何形态构件的适应性。（划分空间有一、二、三维，形状二维有三角形、四边形，三维单元有四面体、六面体等）

2）对各种构型问题都有适应性。（杆件问题、弹塑性、粘弹性问题、动力问题，流体力学、热力学、电磁学，复杂非线性问题）第9页，共27页，2023年，2月20日，星期六（3）采用矩阵形式表达，有利于计算机引入,具有计算的高效性.（4）需编程，前后处理较麻烦。二、有限单元法分类位移法：易于实现自动化，应用范围广。力法:单元插值函数难求混合法第10页，共27页，2023年，2月20日，星期六§4.3有限单元法分析过程概述结构离散化单元分析整体分析变形体单元类型选择单元划分结点编码选择位移函数分析单元力学特征集成整体结点载荷向量集成整体刚度方程引入边界求解第11页，共27页，2023年，2月20日，星期六一、结构离散化

就是将结构分成有限个小的单元体，单元与单元、单元与边界之间通过结点连接．由单元、结点、结点连线构成的集合称为有限单元模型，是有限单元分析计算的对象。离散化步骤(1）单元类型的选择：包括单元形状、单元结点数与结点自由度数等三个方面。单元形状如图A所示：（a）三角形三节点单元，(b)矩形四节点单元(c)四边形单元，(d)三角形六节点单元，（e）曲边单元。基本的单元类型见表1-2第12页，共27页，2023年，2月20日，星期六图A第13页，共27页，2023年，2月20日，星期六图B悬臂梁有限元模型第14页，共27页，2023年，2月20日，星期六第15页，共27页，2023年，2月20日，星期六第16页，共27页，2023年，2月20日，星期六(2）单元划分（i）网格的加密：网格划分越细，结点越多，计算结果越精确。（ii）单元形态应尽可能接近相应的正多边形或正多面体。如图1-1，1-2第17页，共27页，2023年，2月20日，星期六图C第18页，共27页，2023年，2月20日，星期六(iii)单元结点应与相邻单元相连接，不能置于相邻单元边界上，如图1-3示．(iv)同一单元由同一种材料构成．(v)网格划分应尽可能有规律，以利于计算机自动生成网格．(3)结点编码：整体结点编码和单元节点编码。第19页，共27页，2023年，2月20日，星期六二、单元分析(1)选择位移函数

对结构离散化成单元的集合体后,对于单个单元,可以遵循某些基本准则，用较之以整体为对象简单得多的方法设定一个简单的函数为位移的近似函数,称为位移函数.一般为多项式形式,有广义坐标法和插值法.(2)分析单元的力学特征

(i)单元应变转换矩阵[B]：

单元应变矩阵反映出单元节点位移与单元应变之间的转换关系，由几何学条件导出.第20页，共27页，2023年，2月20日，星期六

(ii)单元应力矩阵[S]：

单元应力矩阵反映出单元结点位移与单元应力之间的转换关系，由物理学条件导出.(iii)单元刚度矩阵[K]e

单元刚度矩阵反映出单元结点位移与单元节点力之间的关系,由平衡条件导出，所得到的转换关系式称单元刚度方程第21页，共27页，2023年，2月20日，星期六三、整体分析（1）集成整体结点载荷向量{R}

结构离散——结点传递力——

结点载荷作用力（集中力、体积力、表面力）

——形成等效节点载荷——节点编码——节点载荷向量。第22页，共27页，2023年，2月20日，星期六（2）集成整体刚度方程[K]

集合所有的单元刚度方程就得到总体刚度方程。

式中[K]——总体刚度；

——整体结点位移向量

——整体节点载荷向量（3）引进边界约束条件，解总体刚度方程求出结点位移分量（位移法有限元分析的基本未知量）。第23页，共27页，2023年，2月20日，星期六§4.4有限单元法的应用应用范围：

杆状构件、弹性力学平面问题、空间问题、板壳问题、静力平衡、稳定问题、动力问题、波动问题、流体力学、热力学、电磁学，复杂非线性问题研究对象:

弹性材料、弹塑性、粘弹性、粘塑性复合材料。第24页，共27页，2023年，2月20日，星期六有限单元法在机械工程中的应用（1）静力学分析：分析机械结构承受静载荷作用下的应力、应变和变形情况（2）模态分析：分析结构的固有频率和振型。（3）动力学分析：包括谐响应分析和瞬态动力学分析，用于分析结构在随时间呈正正弦规律或任意规律变化的载荷作用下的响应。（4）热应力分析：分析结构因温度分布