2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题4数列求和

专题6.4 数列求和【考情分析】1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式;2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法。【重点知识梳理】知识点一求数列的前n项和的方法(1)公式法①等差数列的前n项和公式n(a、+a) ,n(n—1)Sn= 2 =〃%+ 2d②等比数列的前n项和公式(i)当q=1时，Sn=na1；(五)当q(五)当q旦时，S=冬干电n 1一qa「ag

lq(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn=1002—992+982—972+...+22—12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.知识点二常见的裂项公式(1)(1)n(n+1)1 1—nn+1.(2)(2)1(1(2n—1)(2n+1) 2k2n—12n+1)'⑶Q?肃=\"+1-赤•【典型题分析】高频考点一分组转化求和【例1】（2020•天津卷）已知高频考点一分组转化求和【例1】（2020•天津卷）已知｛a｝为等差数列，｛b｝为等比数列,na=b=1,a=5(a-a),b=4(b-b).(I)(II)5 4 3 5 4 3求｛a｝和｛b｝的通项公式；nn记｛a｝的前n项和为S，求证：SS,<S2(ngN*)；（ni）对任意的正整数n（ni）对任意的正整数n，设。=n曳二生,n为奇数，aa …一，｛i,,、，一一nn+2 求数列｛c1的前2n项和.an=, n为偶数.bn+1【答案】(I)an=n,bn=【答案】(I)an=n,bn=2n-1；（Ii）证明见解析；（ni）【解析】（I）设等差数列｛a｝的公差为d,等比数列｛b｝的公比为q•n由q=1,a5=5(a4-a3)，可得d=1.从而｛aj的通项公式为a”=n.由b=1,b=4(b-b),又在0，可得q2-4q+4=0,解得q=2从而｛b｝的通项公式为b=2n-1c n（n+1）（I）证明：由（I河得Sn二二1故SS=-n(n+1)(n+2)(n+3)nn+2 4S2n+11=1(n+1)(n+2)241从而SSn+2-S；+1=-2(n+1)(n+2)<0,所以snsn+2<S'、/ … _(3an-2)bn_(3n_2)2n-1_2n+1 2n-1，naa n(n+2)n+2nan—1当n为偶数时，c二六二丁nb 2nn+1对任意的正整数n，有k=12kk=1 k=11 3=—+—4425+—+432kk=1 k=11 3=—+—4425+—+432n-3+ +4n-11n1 3 5由①得XC= +7+ +4 2k42 43 44k=12n-3 2n-1+--^ + 4n 4n+13nn 1 2由①②得£c= +——+4 2k 4 42k=12( 1、-1—-•-2 2n-1 41 4n)1 2n-1+—— = - 4n 4n+1 1 4 4n+1——4(1——、 …,丁41 4n )1 2n-1 2 2 11 2n-1 1 5 6n+5由于--——----- =-——x-—- X—=- 1 1 4 4n+1 3 3 4n4 4n 4 12 3x4n+11——4n从而得：£k=1_5因此，£c=£kk=1k=1C2k-1+£。2kk=1所以，数列"｝的前2n项和为【方法技巧】分组法求和的常见类型(1)若an=bn士的，且｛bn｝,｛cn｝为等差或等比数列，可采用分组法求｛an｝的前n项和.，n为奇数，(2)通项公式为a”=｛n*/申物 的数列，其中数列｛b〃｝,｛c”｝是等比或等差数列，可采用分组法求n[cn,n为偶数 nn和.【变式探究】(2019.天津高考)设'n｝是等差数列，'n｝是等比数列。已知a=4,b=6，b=2a-2,b=2a+41 1 2 2 3 3.

1,2k<n<2k+1,b,n—1,2k<n<2k+1,b,n—2k,k其中kgN*.c1c—1,c=<

tc1 1n(I)设数列n满足、-1刀的通项公式;艺ac (ngN*)(ii)求i=1 ''【答案】(I)a=3【答案】(I)a=3n+1 b='3x2n(II)ac(i) 2" 2"-1)=9x4n—1(ii)艺ac(ngN*艺ac(ngN*)-27x22n-1+5x2n-1-n-12(ngN*)iii=1【解析】(I)设等差数列｛“n1的公差为d，等比数列｛bn1的公比为q.]6q—2(4+d)-2—6+2dI6q2—2(4+2d)+4—12+4d依题意得〔a—4+(n—1)x3=3n+1 b=■6x2n-i=3x2n所以，'n1的通项公式为an―3n+1,｛”的通项公式为L"2"(c-1)=a(b-1)=(3x2n+1)(3x2n-1)=9x4n-1所以，数列2n所以，数列2n2n-1 a的通项公式为2n■-1)=9x4n-12n光ac工ra+光ac工ra+a(c-1)]-£a+£a(c-1)ii iii i 2i2i(ii)i=1 i—1 i―1 i—1x22n-1+5x2n-1)+9x4-4'-n1-4―27x22n-1+5x2n-1-n-12(ngN*)高频考点二错位相减求和【例2】(2020•新课标口)设｛an｝是公比不为1的等比数列，&为a2,a3的等差中项.(1)求｛Q｝的公比;n(1)求｛Q｝的公比;n(2)若a=1,求数列｝的前几项和.1 n【答案】(1)-2；(2)S=J(1+3〃)(-2)”n9【解析】(1)设｛〃｝的公比为夕，。为的等差中项,n 1 2 3\o"CurrentDocument"2a-a+a.aw0,「./+q—2=0,1 2 3 1.・qW1•q——2..(2)设｝的前〃项和为S,a =(—2)〃-1,• n W1 nS—1x1+2x(—2)+3x(—2)2++一2)〃-1,(T)n—2S—lx(—2)+2x(-2)2+3x(-2)3+ —1)(—2)«-i+n(—2)«,②n♦・♦①一②得，3s=1+(-2)+(-2)2++(-2)«-i-n(-2)«n1—(—2)〃1一(—2)1—(1+3几)(—2)〃_1_(1+32(—2)，TOC\o"1-5"\h\zn 9【举一反三】(2020•新课标ni)设数列｛叫满足%=3,an+i=3an~4n.(1)计算％,%，猜想｛为｝的通项公式并加以证明；(2)求数列｛2〃%｝的前为项和S〃.\o"CurrentDocument"【答案】(1)a=5,〃=7,a=2n+l,证明见解析；(2)S=(2〃—l)2+i+2.2 5 n n【解析】\o"CurrentDocument"(1)由题意可得〃=3〃一4=9-4=5,a=3a-8=15-8=7,2 1 3 2由数列｛〃｝的前三项可猜想数列｛〃｝是以3为首项，2为公差的等差数列，即。=2n+l

n n n证明如下：当〃时，4=3成立;

假设n=k时，ak=2k+1成立.那么n—k+1时，ak]=3aJ4k=3(2k+1)—4k—2k+3=2(k+1)+1也成立.则对任意的neN*，都有%=2n+1成立;(2)由(1)可知，a-2n=(2n+1>2nS=3x2+5x22+7x23+ +(2n-1>2n-1+(2n+1>2n，①2S=3x22+5x23+7x24++(2n-1>2n+(2n+1>2n+1，②由①—②得：一S—6+2xQ2+23++2n)—(2n+1>2n+1n22x(1—2n-1) 「-、--—6+2x —(2n+])•2n+1=(1—2n)•2n+1—21—2即S=(2n—1)•2n+1+2.【举一反三】(2019•高考天津卷)设｛aj是等差数列，｛%｝是等比数列，公比大于0.已知4=b1=3,b2=a3，b3=4a2+3.(1)求｛a/和］b〃｝的通项公式；In为奇数，⑵设数列｛c〃｝满足C=1b,n为偶数.求a1c1+a2c2+…+a?f2n(nGN*)•n[3q[3q=3+2d,13q2=15+4d,解得【解析】(1)设等差数列｛an｝的公差为d，等比数列｛bn｝的公比为q.依题意，得d=3,<故a=3+3(n—1)=3n,b=3义3n-1=3n.q=3, n n所以｛an｝的通项公式为an=3n,｛bn｝的通项公式为bn=3n.(2)a1c1+a2c2+…+a2<c2n=(a1+a3+%+.•.+a2n-1)+(a2b1+a4b2+a6b3+…+a2nb),n(n—1) ],“_, . . , 、=nx3+ x6+(6*31+12义32+18*33+…+6n*3n)=3n2+6(1*31+2*32+…+n*3n).记T=1义31+2*32+…+nx3n，①n则3Tn=1x32+2x33+...+n义3n+1,②(2n—1(2n—1)3n+1+32所以由C1+a2c2+…+a2nc2n=3n2+6T=3n2+3义(2n—1)3n+1+32(2n—1)3n+2+6n2+9

2(nGN*).3(1—3n)②一①得，2Tn=—3—32—33—…—3n+n*3—— — +n*3…【方法技巧】(1)如果数列｛与｝是等差数列，｛幺｝是等比数列，求数列｛an.幺｝的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数歹U｛bn｝的公比，然后作差求解.(2)在写出“SJ与“公丁的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn—qSn”的表达式.(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.同时要注意等比数列的项数是多少.【变式探究】(2020•河南省郑州市模拟)已知数列｛an｝中，4=1,an>0,前n项和为Sn,若an=\瓦+--.国二(nGN*,且n>2).(1)求数列｛an｝的通项公式；(2)记cn=an-2an，求数歹ij｛cn｝的前n项和Tn.【解析】(1)在数列｛an｝中，an=Sn—Sn―1(n>2)①，因为an=厩+--JS匚②，且an>0，所以①+②得-厩一\S3=1(n>2),所以数列｛•成｝是以=3=1为首项，公差为1的等差数列，所以、；S=1+(n—1)x1=n，所以Sn=n2.当n>2时，a=S—S==n2—(n—1)2=2n—1，nn n—1 、 /当n=1时，%=1，也满足上式，所以数列｛an｝的通项公式为an=2n—1.(2)由(1)知，an=2n—1，所以cn=(2n—1)x22n-1，则7；=1*2+3*23+5义25+...+(2n—1)x22n-1，4Tn=1x23+3x25+5x27+...+(2n—3)x22n-1+(2n—1)x22n+1，两式相减得，一3Tn=2+2(23+25+...+22n-1)—(2n—1)22n+1，8(1—22n—2)=2+2x14 —(2n—1)22n+110,<5J=—3十乜一2nJ22n+1，crtsI (6n—5)22n+1+10所以Tn= 9 .高频考点三 裂项相消求和

, r b【例3(2020•浙江卷)已知数列｛an｝,｛bn｝,｛cn｝中，4=b1=c1=L;=a+1-an，cn讨二1,c,neN*).n+2(I)若数列U｛bn｝为等比数列，且公比q>°，且b1+b2=6b3,求q与an的通项公式；(II)若数列｛勿｝为等差数列，且公差d>0，证明：c+c++c<1+-.n 1 2 nd1 4n-1+2【答案】(I)q=,a=---.；(II)证明见解析.2n3【解析】(I)依题意b=1,b=q,b=q2,而b+b=6b,即1+q=6q2,由于q>0,所以解得q=11 2 3 1 2 3 2所以b=-1.n2n-1所以b=—，故c=斗L.c=4・c，所以数列｛c｝是首项为1,公比为4的等比数列，所n+22n+1 n+1 1nn nn+1以c=4n-1.所以a-a=c=4n-1(n>2,neN*).n+1 nn,， ， 4n-1+2TOC\o"1-5"\h\z所以a=a+1+4+—+4n-2= .n1 3(II)依题意设bn=1+(n-1)d=dn+1-d，由于%二b~n n+2所以£-=Tn=1(n>2,neN*)cn-1 b+1_c c-故c_c c-故c=n—,-n-F•

nc cn-1 n-2bb一•f•cbb14 3,—3,-2•c=-n-1,-n-2,-n-3•cc1bbb2 1 n+1 n n-1bb 1+d(bb 1+d(1二12二 -bb1dIbbn+1t1+11(>A)

nn+1所以c1+所以c1+c2+(1、

1+-bn+1由于d>01=1,由于d>01=1,所以z?1 n+1(IV所以1+二1-

ld)\1bn+l1+7【举一反三】【2019・浙江卷】设等差数列｛"J的前几项和为S〃，“3=4,"4=83,数列出」满足:a一人〃eN*,S+b,S+b,S+b4斤a「生自对每个 nnn+ln〃+2 〃成等比数列.(I)求数列'J'｛"J的通项公式;+c<eN*.nC=+c<eN*.n(ID记”证明：Cl+C2+a=2(zi-l)b=n\n+l)【答案】(I)〃 ，n ；(II)【答案】(I)【解析】(D设数列｛"J的公差为d,由题意得a+2d=4,Q-\-3d=3a+3d解得0,"=2从而，=2n-2,neN*从而，=2n-2,neN*=几2一小所以〃由SJ"jS用+%,S.+2+bn成等比数列得(s+8»=(s+8)(s+b)n+ln nnn+2n.b=-(S2-SS)解得八dn+ln"+2b所以b所以=n2+n,neN*(II)我们用数学归纳法证明.2n-22〃(〃+l)(II)我们用数学归纳法证明.2n-22〃(〃+l)n-1 7 eN*n(n+l)(i)当儿二1时，Cp0<2,不等式成立；n=kQgN*) c+c++c<(ii)假设 时不等式成立，即12k那么，当〃二女+1时，

24k+2\k+24k+2\k+<2\；k+-^=2=2、k+2(\；m—、工)=2x171kk+1+v'k即当n=k+1时不等式也成立.根据⑴和(ii),不等式ci+c2