2022江西省新余市高三上学期期末数学（理）试题（解析版）

2022届江西省新余市高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1．设（是虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用复数的除法运算、共轭复数的定义可计算出的值.【详解】，，则，故选：B.【点睛】本题考查复数的计算，考查复数的除法、共轭复数的相关计算，考查计算能力，属于基础题.2．已知集合，集合，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由对数函数及指数函数的性质可化简集合，利用交集的定义即求.【详解】由题意得，即，根据对数函数的单调性得，解得，所以集合，解不等式得，故集合，所以.故选：B．3．青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于的人数，结合茎叶图判断可得；【详解】解：根据程序框图可知，该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于的人数，由茎叶图可知视力小于等于的有5人，故选：B4．若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题中条件，根据诱导公式，以及二倍角的余弦公式，和同角三角函数基本关系，直接化简求解，即可得出结果.【详解】因为，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查由三角函数求三角函数值，熟记二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系，以及诱导公式即可，属于基础题.5．已知平面向量，满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，可得化简结合已知条件和数量积公式可求出，再利用同角三角函数的关系求出的值【详解】由于，所以，，所以，所以，故选：D6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征，函数的大致图象为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和值域逐项判断可得答案.【详解】函数的定义域为，且，，所以函数为偶函数，排除BC选项；当时，，则，排除D选项.故选：A.7．直线被过点和，且半径为的圆截得的弦长为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设圆心为，由过点、和半径为可得圆的方程，再利用圆心到直线的距离、半径、弦长的一半构成的直角三角形可得答案.【详解】设圆心为，则由题意可得，解得或，所以圆心为或所以圆方程为或，则圆心到直线的距离为或，则弦长.故选：B.8．某地市场调查发现，的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经该地市场监管局抽样调查发现，在网上购买的家用小电器的合格率为，而在实体店购买的家用小电器的合格率为.现该地市场监管局接到一个关于家用小电器不合格的投诉电话，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别计算出在网上与实体店购买的家用小电器不合格的概率，即可得到答案.【详解】在网上购买的家用小电器不合格的概率为，在实体店购买的家用小电器不合格的概率为，故这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率为.故选：C.9．已知双曲线的左、右焦点分别为、，圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A，B，四边形的周长Р与面积S满足，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意四边形是为矩形，根据双曲线的定义结合周长和勾股定理可得，从而得出答案.【详解】由双曲线的定义可知，又，，可知四边形是平行四边形，所以联立解得，，又线段为圆的直径，由双曲线的对称性可知四边形为矩形，所以四边形的面积，又因为，即，解得，由，得，即，即.故选：C.10．已知三内角的对边分别为，且，若角的平分线交于点，且，则的最小值为A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，易得，再利用得到，即，然后利用“1”的代换并结合基本不等式可得到答案.【详解】由及正弦定理，得，因为，，所以，即，因为，所以.如图，，所以，所以，即，∴，当且仅当，，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，涉及到基本不等式求最值，考查学生的数学运算求解能力，是中档题.11．在棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是正方形BB1C1C的中心，M为C1D1的中点，过A1M的平面与直线DE垂直，则平面截正方体ABCD—A1B1C1D1所得的截面面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】确定平面即为平面，四边形是菱形，计算面积得到答案.【详解】如图，在正方体中，记的中点为，连接，则平面即为平面．证明如下：由正方体的性质可知，，则，四点共面，记的中点为，连接，易证．连接，则，，平面，所以平面，又平面，则．同理可证，，，则平面，所以平面即平面，四边形即平面截正方体所得的截面．因为正方体的棱长为，易知四边形是菱形，其对角线，，所以其面积．故选：B【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.12．设A，B是抛物线C：上两个不同的点，О为坐标原点，若直线OA与OB的斜率之积为-4，则下列结论正确的有（

）①②③直线AB过抛物线C的焦点④面积的最小值是2A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，得出韦达定理代入，可判断③；从而根据抛物线的性质可知，可判断①；再表示出的面积可判断④；对于②取，可判断；从而得出答案.【详解】取，，满足，从而，故②错误；由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，联立，整理得，则，.因为，所以，所以直线的方程为，则直线过点，因为抛物线的焦点为，所以直线过焦点，故③正确；则由抛物线的性质可知，故①正确；由上可得直线的方程为，则，原点到直线的距离，则，故④正确.故选：A二、填空题13．已知，则的展开式中的常数项是___________.【答案】15【分析】由积分公式可求出的值，代入则二项式已知，写出展开式的通项即可求出常数项【详解】∵,∴展开式的通项为,令,可得,∴常数项为.故答案为:14．设满足约束条件，则目标函数的最大值是__________.【答案】3【解析】画出可行域，根据斜率型目标函数最值的求法，求得的最大值.【详解】画出可行域如下图阴影部分所示，目标函数，表示可行域内的点和点连线的斜率，由图可知，其最大值为.故答案为：15．等比数列的公比，，则使成立的正整数的最大值为________.【答案】【分析】由计算可得出，分析可知是以为首项，公比为的等比数列，根据等比数列的求和公式化简可得出，解出的取值范围，结合可得出正整数的最大值.【详解】解：由等比数列的公比满足，，可的，可得，则，且，由为等比数列，则，则是以为首项，公比为的等比数列，则原不等式等价为，因为，则，把，代入整理得，所以，，则，由，则的最大值为.故答案为：.16．已知恰有三个不同零点，则a的取值范围为______.【答案】【分析】变形得到，设，，讨论得到方程有唯一根或无解时不成立，有两解时，直线，与的交点恰有三个，计算得到答案.【详解】令，变形得：，令，得，，故，当，，在上单调递增；当，，在上单调递减，且，故在时有最大值.当有唯一根或无解时，原方程最多两解，不符题意；当有两根时，或，规定，要使原方程有三个解，则直线，与的交点恰有三个，即转化为的两根，，则，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.三、解答题17．已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式（2）若数列是等差数列，且，，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【分析】（1）当时，求得，当时，递推作差得，即，得到数列是首项为1，公比为3的等比数列，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）求得，得到，利用分组求和，即可求解．【详解】（1）当时，，所以，当时，因为，所以，两式作差得，即，因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，故；（2）令，则，，所以数列的公差，故，所以，所以.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列的“分组求和”的应用，其中解答中根据数列的通项和前n项和之间的关系，求得数列的通项公式，再利用等差、等比数列的前n项和公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18．如图，在三棱锥中，已知，是的中点．（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】(1)由等腰三角形的性质得,,进而得平面,故平面平面(2)由边角关系得,故以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系,利用坐标法求解即可.【详解】（1）因为，是的中点，所以，同理可得，因为，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）设，因为，所以，又，所以，所以．如图，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设平面的法向量为，则，即，令，可得，，所以平面的一个法向量为．易知平面，所以平面的一个法向量为，所以，所以二面角的正弦值为．【点睛】本题考查线面垂直的证明，二面角的求解，考查空间想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力，是中档题.常见的二面角的求解方法有：①几何法——即找出二面角的平面角，再根据几何关系求解；②利用空间向量求解.19．2020年10月16日，是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC-801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如下表：质量指标值质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件，求事件发生的概率；（2）若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值的件数的分布列及数学期望；（3）若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表：质量指标值利润（元）试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：，）.【答案】（1）0.973；（2）分布列见解析，；（3）能盈利，当时，每件产品的平均利润达到最大【解析】（1）先由频率分布直方图求出1件产品为废品的概率，再利用二项分布的概率公式即可求解；（2）分别求出、、的频率，再计算出对应抽出的人数，的所有可能取值为0，1，2，求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望；（3）先根据频率分布直方图，确定每个范围内产品利润取值对应的概率，进而求出每件产品的利润，再利用导数求出一件产品利润的最大值，即可判断能否盈利，也可得出每件利润最大时的值.【详解】（1）设事件的概率为，则由频率分布直方图可得，1件产品为废品的概率为，则.（2）由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，的频率为；的频率为；的频率为.故利用分层抽样抽取的7件产品中，的有4件，的有2件，的有1件.从这件产品中任取件产品，质量指标值的件数的所有可能取值为，，，，，，所以的分布列为012所以.（3）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润（元）的关系如下表所示（）：质量指标值利润0.050.10.150.40.3故每件产品的利润.则，令得，故当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以当时，取得最大值，为.所以生产该产品能够盈利，当时，每件产品的利润取得最大值元.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是读懂频率分布直方图，每个小矩形的面积代表每一组的频率，准确利用分层抽样的特点，计算出质量指标值的有件，第三问的关键是读懂题意，求出每件产品的平均利润与的关系，利用导数求最值.20．已知椭圆的上顶点为P，右顶点为Q，直线PQ与圆相切于点.(1)求椭圆C的方程；(2)若不经过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，且＝0，求证：直线l过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】(1)根据题意，求得直线的方程，得到，得出的值，即可求得椭圆的方程；(2)当直线l的斜率存在时，设的方程为，联立方程组，根据判别式和根与系数的关系，求得和，结合，求得的值，即可得到答案.【详解】(1)由题意，圆的圆心坐标为，又由点，可得，所以直线的斜率，所以直线的方程为，即，可得点，即，所以椭圆C的方程为.(2)当直线的斜率不存在时，显然不满足条件.当直线的斜率存在时，设的方程为，联立方程组，消去y整理得，，得.①设，则.②由，得，又由，所以，③由②③得(舍)，或，满足①.此时的方程为，故直线过定点.【点睛】求解直线过定点问题的基本思路：1、把直线或曲线方程中的变量当作常数看待，把方程一断化为零，既然过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部为零，得到一个关于的方程组，方程组的解所确定的就是直线或曲线过定点；2、由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式或斜截式方程，则可根据方程的形式，判定直线过定点问题.21．已知函数，为的导函数.（1）证明：在内存在唯一零点.（2）当时，，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）判断导函数在的单调性，结合零点存在定理进行证明即可；（2）因为在上恒成立，至少需要，成立，进而获得，又由（1）知在上单调递减，在上单调递增，根据单调性最后证明时，在上恒成立即可.【详解】证明：因为，所以.记，则.当时，；当时，.在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增.因为，，，所以存在唯一，使得，即在内存在唯一零点.解：由（1）可知当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.因为当时，恒成立，则至少满足，，即，①当时，，，满足；②当时，，而，满足.即当时，都有.又当，时，，从而当时，对一切恒成立.故的取值范围为.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．22．已知直线在平面直角坐标系中经过点，倾斜角，在直角坐标系中，若以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆的极坐标方程为.(1)写出直线的参数方程，并把圆的极坐标方程化为直角坐标系下的普通方程；(2)设与圆相交于A，B两点，且A，B的中点为M，求PM的长及.【答案】(1)（为参数），(2)【分析】（1）根据直线过定点P和倾斜角