2021-2022学年天津市北辰区高二上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年天津市北辰区高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线的倾斜角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【分析】根据给定方程求出直线的斜率即可求得倾斜角作答.【详解】直线的斜率，由斜率的定义得直线的倾斜角为，所以所求倾斜角为.故选：A2．在空间直角坐标系中，已知，，则的模为（

）A．1 B． C． D．3【答案】B【分析】利用空间向量的模长公式即可求解.【详解】解：，，则所以故选：B.3．若方程表示圆，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用一般方程表示圆得的不等式求解【详解】由题，则解得故选：A【点睛】本题考查圆的一般方程，是基础题4．过点，的直线的斜率等于1，则m的值为（

）A．1 B．4 C．1或3 D．1或4【答案】A【分析】解方程即得解.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查斜率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.5．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆方程得，由椭圆定义可求得结果.【详解】由椭圆方程知：，则由椭圆定义知：点到另一个焦点的距离为.故选：B.6．已知圆的一条直径的端点分别是，，则此圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据圆心为直径两端点的中点，得到圆心坐标；再利用两点间距离公式求得半径，从而得到圆的标准方程．【详解】直径两端点为

圆心坐标为圆的半径，圆的方程为：.故选：A.【点睛】求解圆的标准方程，关键是确定圆心和半径，属于基础题．7．已知x，y满足，求的最小值为（

）A．2 B． C．8 D．【答案】C【分析】利用两点间的距离公式结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：表示点与直线上的点的距离的平方所以的最小值为点到直线的距离的平方所以最小值为：故选：C.8．已知椭圆，点在椭圆上，且，其中为坐标原点，则点的坐标为A． B． C． D．【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题意得，设，由，则，所以，与椭圆方程联立，解得，即点的坐标为，故选A.【解析】椭圆简单的几何性质.方法点睛：本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用、向量垂直与向量的数量积的关系，着重考查了学生的推理与计算能力，属于中档试题，本题的解答中，设出点的坐标，由，转化为，利用向量的数量积的运算所以，再与椭圆的联立方程组，即可求解点的坐标.9．在四面体中给出以下四个结论，则说法错误的是（

）A．若，则可知B．若Q为的重心，则C．若，，则D．若四面体各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算结合重心的性质以及向量模长的计算逐项判断即可.【详解】解：对A，，则，整理得，即，等价于，所以，故A正确；对B，Q为的重心，则，，整理得：，故B正确；对C，，，所以所以整理得：即所以即，故C正确；对D，四面体各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，所以四面体的各个面均为正三角形则，，，两两之间的夹角均为所以又因为所以，故D错误.故选：D.【点睛】方法点睛：求空间向量模长的方法①坐标法：，则；②直接法：通过对已知条件进行化简直接得到向量的模长；③利用进行求解.二、填空题10．设，分别是两个不同平面，的法向量，当，时，与的位置关系为___________.【答案】平行【分析】根据法向量的位置关系即可判断平面，的位置关系.【详解】解：，分别是两个不同平面，的法向量，且，则即两个平面的法向量平行所以平面，平行故答案为：平行.11．已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则__________.【答案】8【分析】根据椭圆方程列方程，解得结果.【详解】因为椭圆的长轴在轴上，焦距为4，所以故答案为：8【点睛】本题考查根据椭圆方程求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.12．已知圆的圆心到直线的距离为2，则a的值为___________.【答案】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：圆即所以圆心坐标为由圆心到直线的距离为2可得解得：故答案为：.13．设为椭圆的左､右焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为___________.【答案】【分析】由给定条件探求出PF2⊥x轴，由此求出的长，再借助椭圆定义即可得解.【详解】依题意，，右焦点，如图，因线段的中点在y轴上，而O是线段，于是得PF2//y轴，即PF2⊥x轴，由得，则有，于是有，，所以的值为.故答案为：14．若直线始终平分圆的圆周，则的最小值为___________.【答案】【分析】根据直线平方圆得出直线经过圆心，再利用基本不等式“”的秒用即可求解.【详解】解：圆化为所以圆心为因为直线始终平分圆的圆周所以点在直线上代入整理得所以当且仅当，即，时取等号所以的最小值为.故答案为：.15．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面上的射影是的重心G则与平面ABD所成角的余弦值为___________.【答案】【分析】利用空间向量法先根据G是的重心求出，再利用向量法求线面角即可.【详解】解：直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，所以、、两两垂直故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系设，，D，E分别是与的中点，则，，，所以因为G是的重心所以所以，因为点E在平面上的射影是的重心G所以是平面的法向量所以，解得所以，设与平面所成角为所以所以故答案为：.【点睛】方法点睛：求线面角的方法①几何法，根据线面角的定义在空间图形上直接作出线面角的平面角；②等体积法，利用等体积法先求出直线在平面外一点到平面的距离，进而求出线面角的平面角；③空间向量法，建立空间直角坐标系进行求解.三、解答题16．（1）已知坐标平面内两点，.当为何值时，直线的倾斜角为锐角？（2）已知直线.若直线不经过第四象限，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用直线的斜率大于零时倾斜角为锐角即可求解；（2）根据直线不经过第四象限得到直线的斜率和纵截距均大于等于零即可求解.【详解】解：（1），所以因为直线的倾斜角为锐角所以解得：所以当时，直线的倾斜角为锐角（2）直线即因为直线不经过第四象限所以，解得所以的取值范围为.17．如图，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，E，F，G分别是线段，，的中点(1)求证：平面平面；(2)求点到直线的距离；(3)求点到平面的距离.【答案】(1)证明过程见解析；(2)；(3).【分析】（1）取的中点，连接，结合线面垂直的判定可证明平面，进而证得面面垂直；（2）先求出的三边长，再利用正余弦定理求出的面积，然后根据等面积法即可求解；（3）过点作于，可以证得点到平面的距离为，再利用等面积法即可求解.(1)证明：取的中点，连接，，如图所示因为E，F，G分别是线段，，的中点所以所以、、、四点共面因为为中点，四边形为正方形所以因为是直角三角形所以又因为平面平面，交线为所以平面又平面所以又所以平面又因为平面所以平面平面(2)解：在题中图形里面连接，，，，如图所示因为四边形为正方形，所以由（1）知平面，平面所以所以因为F，G分别是线段，的中点所以在正方形中，由（1）知，，且所以平面又因为E，F分别是线段，的中点所以所以平面又平面所以又所以所以在中，，，由余弦定理得：所以所以设点到直线的距离为则，解得：所以点到直线的距离为.(3)解：在（1）图中过点作于，如图所示由（2）知，平面，且平面所以又因为所以，又且所以平面即点到平面的距离为因为，则又、分别为、的中点所以所以所以点到平面的距离为.18．已知椭圆经过点，左焦点，直线与椭圆交于，两点，是坐标原点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若面积为1，求直线的方程.【答案】（1）（2）【分析】(1)由焦点坐标求出的值，再由椭圆经过点，代入点坐标求出的值，继而求出椭圆方程(2)联立直线方程与椭圆方程，求出的表达式，再运用点到直线距离公式求出高的表达式，结合题意中的面积计算出的值，继而得到直线方程【详解】（1）依题意可得解得，右焦点，，，所以，则，所以椭圆的标准方程为．（2）设，，，，由得，则△由△得，则，所以因为到的距离，所以得，直线的方程为．【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系、椭圆中三角形面积问题，在求解过程中需要联立直线方程与椭圆方程计算出结果，需要一定的计算量19．直三棱柱中，，E，F分别是，BC的中点，，D为棱上的点.(1)证明：；(2)是否存在一点D，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由.【答案】(1)证明过程见解析；(2)存在一点，且为中点，理由见解析.【分析】（1）利用空间向量法证明即可；（2）利用空间向量法分别将平面与平面的法向量表示出来，再由夹角的余弦值即可求出的位置，进而判断是否符合题意.(1)证明：因为，所以又因为直三棱柱中，且所以平面又平面所以所以、、两两垂直故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系由题知，所以，，，，，设，且且即则，所以，又所以所以(2)解：存在一点，且为中点，理由如下由（1）知，平面的一个法向量设平面的法向量为，，则，令，则，所以因为平面与平面的夹角的余弦值为所以即解得：或（舍去）所以当为中点时，符合题意.20．已知圆的圆心为A，点是圆A内一个定点，点C是圆A上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点D.(1)求动点D的轨迹E的方程；(2)给定点，设直线l不经过点P且与轨迹E相交于M，N两点，以线段为直径的圆过点P.证明：直线l过定点【答案】(1)(2)证明过程见解析.【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到点符合椭圆的定义；（2）设直线方程与椭圆联立，利用韦达定理结合向量的数量积运算即可求解.(1)解：如图所示，由题知，圆的圆心为，半径，因为在线段的垂直平分线上，则又所以又半径所以故动点D的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，，则所以动点D的轨迹