2017届四川省雅安市高三下学期第三次诊断考试数学（文）试题（解析版）

2017届四川省雅安市高三下学期第三次诊断考试数学（文）试题一、选择题1．设全集，集合，那么为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：由补集的定义可知：.本题选择B选项.2．复数的共轭复数是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】，所以共轭复数为3．已知向量，，若与垂直，则（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】试题分析：因为两向量垂直，所以，即，代入坐标运算：，解得：，所以．【考点】向量数量积的坐标运算4．设命题：，，则为（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】解：全称命题的否定为特称命题，则：命题：，的否定为：，.本题选择C选项.5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：该几何体是一个底面半径为1、高为4的圆柱被一个平面分割成两部分中的一个部分，故其体积为.本题选择D选项.6．已知程序框图如图，如果上述程序运行的结果为，那么判断框中应填入（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是12，以后所乘的数依次减少1，由于132=11×12，故判断框中应填k⩽10？或者k<11？.本题选择D选项.7．把函数的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向右平移个单位，这是对应于这个图象的解析式为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：函数的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变得到，再把图象向右平移个单位，得到.【考点】三角函数图像变换.8．某小卖部为了了解热茶销售量（杯）与气温（）之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：由表中数据算得线性回归方程中的，预测当气温为时，热茶销售量为（）A.70B.50C.60D.80【答案】A【解析】解：由题意可知：，，将及样本中心点（10，40）代入线性回归方程可得：，∴时，.本题选择A选项.9．已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解答：由题意,三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱ABC−A1B1C1,底面ABC为直角三角形,把直三棱柱ABC−A1B1C1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为，则三棱柱ABC−A1B1C1外接球的表面积是.本题选择A选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.10．若的内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：由得，得，又.∴，则.故选C.【考点】解三角形.11．对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】当时，得任意实数均满足题意，当时，，又当且仅当取得等号，故12．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且当与抛物线相切时，点恰好在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】设点，，所以切线方程为：，因为过点A，所以代入得不妨取，则点P，又点B且，点恰好在以、为焦点的双曲线上，所以，所以，故点睛：本题解题关键是要明确各个点的位置，先通过题意分析要先求出切线方程，求出切点，然后根据双曲线的几何定义便可得到离心率，做此类题型时要做到量的关系明确，同时曲线相关定义要熟悉.二、填空题13．变量，满足约束条件，则目标函数的最小值__________．【答案】4【解析】由约束条件作出如下可行域：化目标函数为，当直线经过点B（1,1）时，直线的截距最小，所以14．__________．【答案】【解析】试题分析：原式，故答案为.【考点】（1）诱导公式；（2）两角差的正弦.15．已知函数,若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】试题分析：当时，，当时，，函数在上递减，在上递增，所以在处取得最小值，且，所以最小值点的坐标为，若方程有两个不相等的实根，则函数与有两个不同交点，而是过原点的直线，则应大于点与原点连线的斜率，且小于直线的斜率，即，故答案为.【考点】分段函数的图象与性质、数形结合判断方程根的个数.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、数形结合判断方程根的个数，属于难题.已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．16．直线与圆相交于两点、.若，则（为坐标原点）等于是__________．【答案】【解析】解：取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN，∵c2=a2+b2，∴O点到直线MN的距离，x2+y2=16的半径r=4，∴Rt△AON中,设∠AON=θ,得，cos∠MON=cos2θ=2cos2θ−1=，由此可得：.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．三、解答题17．在等差数列中，，⑴求数列的通项公式；⑵设数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和【答案】(1)(2)当时，,当时，．【解析】试题分析：(1)设等差数列的公差是，由已知求出首项与公差，即可求出数列的通项公式；(2)由数列是首项为，公比为的等比数列，结合(1)的结果，求出的通项公式，再利用等差数列与等比数列的前项和公式求解即可.试题解析：⑴设等差数列的公差是．由已知∴∴，得，∴数列的通项公式为⑵由数列是首项为，公比为的等比数列，∴∴∴∴当时，，当时，.【考点】等差等比数列.18．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为.（1）请完成上面的列联表：若按的可靠性要求，根据列联表的数据，能否认为“成绩与班级有关系”；（2）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到10号的概率.附：【答案】（1）有的把握（2）【解析】试题分析：(1)首先写出列联表，利用公式求得，因此有的把握认为“成绩与班级有关系”.(2)利用题意可知该事件为古典概型，然后利用古典概型公式求得.试题解析：（1）优秀非优秀总计甲班104555乙班203050合计3075105根据列联表中的数据，得到因此有的把握认为“成绩与班级有关系”.（2）设“抽到10号”为事件，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为，则所有的基本事件有、、、…、，共36个.事件包含的基本事件有，，，共3个，19．如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，.（1）求证：平面；（2）求四面体的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得线线平行，然后利用线面平行的判断定理证得线面平行即可；(2)将△DEF看作底面，利用棱锥的体积公式计算可得：四面体的体积.试题解析：（1）证明：设，取中点，连结，，所以，因为，，所以，从而四边形是平行四边形，因为平面，平面，所以平面，即平面（2）因为平面平面，，所以平面.因为，，，所以的面积为，所以四面体的体积.20．已知椭圆：（）的短轴长为2，离心率为，直线：与椭圆交于，两点，且线段的垂直平分线通过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）当（为坐标原点）面积取最大值时，求直线的方程.【答案】（1）（2）或或【解析】试题分析：（1）由已知可得解出即可（2）设，，联立方程写出韦达定理，由，，．求出表达式然后根据函数，.求得面积最大值从而确定直线方程试题解析：（1）由已知可得解得，，故椭圆的标准方程为．（2）设，，联立方程消去得．当，即时，，．所以，．当时，线段的垂直平分线显然过点因为,所以，当时，取到等号.则:当时，因为线段的垂直平分线过点，所以，化简整理得．由得．又原点到直线的距离为．所以而且，则，.所以当，即时，取得最大值．综上的最大值为，此时直线:或或点睛：先根据定义列出相关等式，求解方程即可，对于直线与椭圆的综合，要熟悉弦长公式，，然后联立方程写出表达式，根据函数特征求出最值从而确定参数的值得出结果.在做此类题型时计算一定要认真仔细.21．已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）.（1）求的解析式及函数的单调区间；（2）是否存在常数，使得对于定义域内的任意，恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）递减区间为和，增区间为.（2）【解析】试题分析：(1)利用切线的斜率求得即可确定函数的解析式，然后结合函数的导函数和定义域即可确定函数的单调递减区间为和,函数的的单调增区间为.(2)问题等价于，分别讨论和两种情况可得：.试题解析：（1），，由题意有：即：，，由或，函数的单调递减区间为和由，函数的的单调增区间为.（2）要恒成立，即①当时，，则要：恒成立，令，则，再令，则，所以在单调递减，，，在单调递增，，②当时，，则要恒成立，由①可知，当时，，在单调递增，当时，，，在单调递增，，综合①，②可知：，即存在常数满足题意.22．选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的倾斜角；（2）设点，直线和曲线交于，两点，求.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由消去参数，得，由，得，化为普通方程即可得斜率求倾斜角（2）由(1)知，点在直线上，可设直线的参数方程为(为参数)，即(为参数)，而，联立方程求解试题解析：(1)由消去参数，得，即曲线的普通方程为由，得，()将代入()，化简得，所以直线的倾斜角为(2)由(1)知，点在直线上，可设直线的参数方程为(为参数)，即(为参数)，代入并化简，得，，设、两点对应的参数分别为、，则，，，所以点睛：熟练参数方程和极坐标方程化普通方程，同时要注意直线参数方程中t的几何意义：直线上任意一点到直线定点的距离.23．选修4-5：不等