2017届四川省资阳市高三4月模拟考试数学（文）试题（解析版）

2017届四川省资阳市高三4月模拟考试数学（文）试题一、选择题1．设全集U＝R，集合，则图中阴影部分所表示的集合为A.或B.或C.D.【答案】D【解析】解：由题意可知：，题中阴影部分表示的集合为：2．已知等差数列中，，则，则数列的公差为A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】解：由等差数列的性质可知：.本题选择A选项.3．在集合中随机取一个实数m，若的概率为，则实数a的值为A.5B.6C.9D.12【答案】B【解析】解：由几何概型可得：.本题选择B选项.4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意可知：该几何体上半部分为半球，下半部分为正方体，且正方体的面内切于半球的截面，且正方体的棱长为2，，该几何体的体积为：.本题选择D选项.5．双曲线E：(，)的一个焦点F到E的渐近线的距离为，则E的离心率是A.B.C.2D.3【答案】C【解析】解：由双曲线方程的性质可知，双曲线的焦点到渐近线的距离为，据此可得：.本题选择C选项.6．定义在上的函数满足则A.3B.2C.D.【答案】A【解析】解：由函数的解析式可知，当时，函数是周期为的函数，则：.本题选择A选项.7．已知MOD函数是一个求余函数，记表示m除以n的余数，例如．右图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出的值为A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】解：由流程图可知，该流程图计算输入值除去自身的约数的个数，的非自身约数：，共个，即输出值：.本题选择C选项.8．已知函数（其中）图象的一条对称轴方程为，则的最小值为A.2B.4C.10D.16【答案】B【解析】解：由三角函数的性质可知，当时：，取可得的最小值为.本题选择B选项.9．已知，，下列不等式成立的是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由指数函数单调递减可得：，选项错误；由幂函数单调递增可得：，选项错误；，选项错误；本题选择D选项.点睛：利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．10．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面，以下结论正确的是A.若，∥，m，n是异面直线，则相交B.若，，∥，则∥C.若，∥，m，n共面于β，则m∥nD.若，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线【答案】C【解析】解：正方体中，取为棱，平面为，满足选项中的条件，但是，选项错误；取为棱，平面为，满足选项中的条件，但是，选项错误；取为棱，平面为，满足选项中的条件，但是，选项错误；本题选择C选项.11．抛物线的焦点为F，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为A.10B.11C.12D.【答案】B【解析】解：由抛物线的几何性质可知：当垂直于抛物线的准线时三角形的面积最小，最小值为：.本题选择B选项.点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．12．如图，在直角梯形中，，∥，，，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的最大值为A.B.C.2D.【答案】B【解析】解：以点为坐标原点，方向为轴，轴正方向建立直角坐标系，如图所示，设点的坐标为，由意可知：，据此可得：，则：，目标函数：，其中为直线系的截距，当直线与圆相切时，目标函数取得最大值.本题选择B选项.点睛：本题同时考查平面向量基本定理和线性规划中的最值问题.求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，值最小；当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．二、填空题13．已知i是虚数单位，复数z满足，则_____．【答案】；【解析】解：由题意可知：，则.14．某厂在生产某产品的过程中，产量（吨）与生产能耗（吨）的对应数据如表所示．根据最小二乘法求得回归直线方程为．当产量为80吨时，预计需要生产能耗为_____吨．x30405060y25304045【答案】59.5；【解析】解：由题意可知：，回归方程过样本中心点，则：，即：，当时，可预计需要生产能耗为：吨.点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键．(2)回归直线方程必过样本点中心．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．15．设命题：函数的定义域为R；命题：当时，恒成立，如果命题“p∧q”为真命题，则实数的取值范围是________．【答案】；【解析】解：由题意可知，命题均为真命题，为真命题时：，解得：，为真命题时：在区间上单调递减，在区间上单调递增，，故：，综上可得，实数的取值范围是：.16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日．（结果保留一位小数，参考数据：，）【答案】2.6．【解析】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列，其，公比为，其前项和为．莞（植物名）的长度组成等比数列，其，公比为，其前项和为．则，令，化为：，解得或（舍去）．即：.所需的时间约为日.三、解答题17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若，的面积为，求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）3【解析】试题分析：(1)利用题意求得的值，然后结合即可求得的大小；(2)利用面积公式得到的值，然后结合余弦定理得到的值即可.试题解析：（Ⅰ）由已知得，化简得，整理得，即，由于，则，所以．（Ⅱ）因为，所以．根据余弦定理得，即，所以b＋c＝3．18．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网＋”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．(Ⅰ)求图中的值；(Ⅱ)已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2:1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的两人中至少有一名女生的概率．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：(1)利用频率分布直方图小长方形的面积之和为，据此求解的值即可；(2)利用题意列出概率空间中的所有事件，然后利用古典概型的公式计算概率即可.试题解析：（Ⅰ）由，解得．（Ⅱ）满意度评分值在[90，100]内有人，其中女生2人，男生4人．设其中女生为，男生为，从中任取两人，所有的基本事件为(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a1,b4)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(a2,b4)，(b1,b2)，(b1,b3)，(b1,b4)，(b2,b3)，(b2,b4)，(b3,b4)共15个，至少有1人年龄在[20，30)内的有(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a1,b4)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(a2,b4)共9个．所以，抽取的两人中至少有一名女生的概率为，即为19．如图，在三棱柱中，底面△ABC是等边三角形，且平面ABC，为的中点.(Ⅰ)求证：直线∥平面A1CD；(Ⅱ)若，E是的中点，求三棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：(1)构造辅助线，由∥DF利用直线与平面平行的判断定理证得线面平行即可；(2)将三棱锥转化顶点，利用求解面积即可.试题解析：（Ⅰ）连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点，又为的中点，所以∥DF，又平面A1CD，又平面A1CD，所以∥平面A1CD．（Ⅱ）三棱锥的体积．其中三棱锥的高h等于点C到平面ABB1A1的距离，可知．9分又．所以．点睛：证明线面平行问题的答题模板(一)第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；第二步：证明线线平行；第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行；第四步：反思回顾．检查关键点及答题规范．求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．20．如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，直线l：y＝2上的点和椭圆上的点的距离的最小值为1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)已知椭圆的上顶点为A，点B，C是上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线与的斜率分别为，．①求证：为定值；②求△CEF的面积的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①详见解析②【解析】试题分析：(1)由题意求得的值，结合椭圆焦点位于轴上写出标准方程即可；(2)①中，分别求得的值，然后求解其乘积即可证得结论；②中，联立直线与椭圆的方程，利用面积公式得出三角形面积的解析式，最后利用均值不等式求得面积的最小值即可.试题解析：（Ⅰ）由题知，由，所以．故椭圆的方程为．（Ⅱ）①证法一：设，则，因为点B，C关于原点对称，则，所以．证法二：直线AC的方程为，由得，解得，同理，因为B，O，C三点共线，则由，整理得，所以．②直线AC的方程为，直线AB的方程为，不妨设，则，令y＝2，得，而，所以，△CEF的面积．由得，则，当且仅当取得等号，所以△CEF的面积的最小值为．点睛：对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值．圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．21．已知函数，其中.(Ⅰ)当a＝－1时，求证：；(Ⅱ)对任意，存在，使成立，求a的取值范围.（其中e是自然对数的底数，e＝2.71828…）【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：(1)写出时的函数解析式，然后由导函数求得原函数的单调性，最后求得最大值：即可证得题中的结论；(2)将问题转化为，利用导函数的相关结论讨论最值得到关于实数的不等式即可求得最终结果.试题解析：（Ⅰ）当a＝－1时，（x＞0），则，令，得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．故当时，函数取得极大值，也为最大值，所以，所以，，得证．（II）原题即对任意，存在，使成立，只需．设，则，令，则对于恒成立，所以为上的增函数，于是，即对于恒成立，所以为上的增函数，则．令，则，当a≥0时，为的减函数，且其值域为R，符合题意．当a＜0时，，由得，由得，则p(x)在上为增函数；由得，则p(x)在上为减函数，所以，从而由，解得．综上所述，a的取值范围是.22．选修4－4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．(Ⅰ)求曲线与交点的平面直角坐标；(Ⅱ)点分别在曲线，上，当最大时，求的面积(为坐标原点)．【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）【解析】试题分析：(1)分别求得两圆的标准方程，然后联立两方程即可求得(2)利用几何性质首先确定三角形面积最大时的方程,然后结合点到直线的距离公式求解三角形的高，据此即可求得三角形面积的最大值.试题解析：(Ⅰ)由得则曲线的普通方程为.又由，得，得.把两式作差得，，代入，可得交点坐标为为.(Ⅱ)由平面几何知识可知，当依次