2016届湖南省益阳市高三下学期4月调研考试数学（文）

绝密★启用前姓名准考证号2016届湖南省益阳市高三下学期4月调研考试数学（文）注意事项：1.本试卷分．2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置．3.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效．4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则 A． B． C． D．2．函数的最大值为A．-1 B．1 C．2 D．33．已知，，且，则等于A．2 B．－2 C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)4．已知是虚数单位，则复数的虚部是A．0 B． C． D．15．设，则A． B． C． D．6．已知命题，则是的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件第7题图7．如右图，一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东第7题图偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是第8题图A．海里 B．海里第8题图C．海里 D．海里8．若某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是A．60 B．54C．48 D．24第10题图开始结束x=yy第10题图开始结束x=yy=z是否输出zx=1,y=2z=xyA． B． C． D．10．执行如右图所示的程序框图，若输出z的值为256，则判断框内可填入的条件是A． B．C． D．11．若实数满足不等式组则的最大值是A．10 B．11 C．13 D．1412．若曲线与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为A． B． C． D．本卷包括必考题和选考题两个部分．第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答．第22题~24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．椭圆的离心率＝______．14．设实数在上随机地取值，则关于的方程有实根的概率为．15．已知奇函数，则的值为___________．16．已知菱形的边长为2，,为的中点，若为该菱形内任意一点（含边界）,则的最大值为___________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)为了了解社会对办学质量的满意程度，某决定采用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查，已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人、18人、36人.（Ⅰ）求从三个年级的家长委员会中分别应抽取的家长人数；（Ⅱ）若从抽得的6人中随机抽取2人进行抽查结果的对比，求这2人中至少有一人是高三学生家长委员的概率.18．(本小题满分12分)已知数列是公比不为的等比数列，，且成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项;（Ⅱ）若数列的前项和为，试求的最大值.19．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，，且．（Ⅰ)求证：平面⊥平面；（Ⅱ)设是的中点，判断并证明在线段上是否存在点，使//平面；若存在，求三棱锥的体积．AA1C1BAC第19题图DB120．(本小题满分12分)如图，已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于,两点，是的中点,直线与相交于点.（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）当时,求直线的方程；（Ⅲ）是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.2l．（本小题满分12分）已知函数，且对任意，都有．（Ⅰ）求的关系式；（Ⅱ）若存在两个极值点，求的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明，并指出函数零点的个数（要求说明理由）．请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲OPEBAF如图，AB是圆O的直径，PB是圆O的切线，过A点作AE∥OP交圆O于E点，PA交圆OOPEBAF（Ⅰ）求证：PE是圆O的切线；（Ⅱ）设AO=3,PB=4,求PF的长.23.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（为参数），以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上任意一点，Q为曲线C2上任意一点，求|PQ|的最小值.24.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设不等式的解集为M,a,bM．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）比较与的大小．益阳市2016届高三4月调研考试文科数学参考答案一、选择题（5分×12=60分）题号123456789101112答案DDADCAAABCDC二、填空题（5分×4=20分）13、14、15、16、三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）解（I）家长委员会总人数为54+18+36=108，样本容量与总体中的个体数比为， ................3分所以从三个年级的家长委员会中分别应抽取的家长人数为3，1，2..............6分（II）设A1，A2，A3为从高一的家长委员会中抽得的3个家长，B1为从高二的家长委员会中抽得的1个家长，C1，C2为从高三的家长委员会中抽得的2个家长，从抽得的6人中随机抽取2人，全部的可能结果有15种， .......................9分这2人中至少有一人是高三的家长委员会的结果有（A1，C1），（A1，C2），（A2，C1），（A2，C2），（A3，C1），（A3，C2），（B1，C1），（B1，C2），（C1，C2），一共有9种．所以所求的概率为． ......................12分18.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）设的公比为，因为成等差数列，所以，因为，所以，因为，所以， .......................3分所以 .......................6分19.（本小题满分12分）解：（I）证明：在直三棱柱中，有平面.∴，又，∴．…………4分又BC1⊥A1C，∴A1C⊥平面ABC1，则平面ABC1⊥平面A1C．…………6分（II）方法一：取中点F，连EF，FD，当E为中点时，EF∥AB,∥,即平面∥平面，则有∥平面. …………10分当E为中点时，= …………12分方法二：A1C交AC1于G点连BG，当E为中点时，有，则有DE∥BG，即∥平面ABC1，求体积同上．A1A1C1BAC第19题图DB1EGA1C1BAC第19题图DB1EF20.（本小题满分12分）.......................3分.......................2分.......................3分.......................2分.......................4分.......................4分.......................10分.......................9分.......................7分.......................12分.......................6分.......................10分.......................9分.......................7分.......................12分.......................6分21.（本小题满分12分）(3)设,则,在区间单调递减,.OPEBAF请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做OPEBAF22.解：(Ⅰ)连接OE，∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA,∵AE∥OP,∴∠OAE=∠BOP,∠OEA=∠EOP,∴∠BOP=∠EOP,又OB=OE,OP=OP,∴△BOP≌△EOP,∴∠OEP=∠OBP,∵PB是圆O的切线,∴∠OBP=90°,∴PE是圆O的切线. ……5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知△ABP是直角三角形，∵AB=2AO=6,PB=4,∴PA=,∵PB是圆O的切线,∴PB2=PF·PA,PF=. ……10分23.解：(Ⅰ)将代入得：曲线C2的直角坐标方程为.………4分(Ⅱ)由题意可知|PQ|的最小值即为P到直线的距离的最小值，=所以|PQ|的最小