关于解决问题学与教三个问题的审视与阐释

关于“解决问题”学与教三个问题的审视与阐释

一、课程目标：“解决问题”学与教的“基点”和“落点”《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）规定“解决问题”的总体目标是，“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识”，具体要求包括：1.初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展应用意识；2.形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神；3.学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果；4.逐步形成评价与反思的意识。[1]这是“解决问题”学与教的“基点”和“落点”。对“解决问题”目标的把握，应该包括以下四个方面。第一，“解决问题”是一系列的学习活动，并非单一的解决问题的过程。具体说，首先要让学生面对和尝试不同的现象，在不同的情境中“从数学的角度提出问题”；其次是能够识别存在于数学现象或日常的、非数学的现象与问题中的数学问题或数量关系，并把它们提出来；然后才是解决问题。此目标把“你发现了什么”这一过程还给了学生，成为学生解决问题过程的第一步。第二，在问题解决的过程中，倡导运用数学的眼光、数学的知识技能、数学的思想方法，提出解决问题的假设，但更强调知识的综合运用，包括学科内及学科间知识的整合。这一目标为解决问题开阔了视野与思路。第三，强调策略在解决问题过程中的作用，倡导问题解决策略的个性化体验与积累。当学生从“不会做”到“会做”，需要的就是策略的支持。这也是解决问题关键的一步。在多样化理念的鼓励下，形成思维的个性化，这也是创新思维培养的重要途径。第四，强调问题解决过程的个体性与全体性的结合，强调问题解决对于发展学生思维品质的重要教育价值。数学问题解决的过程是一个思考的过程、反思的过程。在学与教中，我们应该倡导动手操作、自主探究下的合作交流，倡导学生不同思维成果的碰撞与共生。二、数学问题：“解决问题”学与教的思维空间“解决问题”的学与教，其实质是学习者面对新的问题情境所进行的数学思维训练，实施者的价值取向和设计的数学问题“思维空间”的大小，将直接影响学生进入问题解决的学习质量和数学思维上的发展效度。根据当代美国著名数学家哈尔莫斯、数学教育家波利亚和我国张奠宙、孔企平教授等人的观点，[2]结合一些文献资料，我们可对“数学问题”做以下几个方面的理解和认识。第一，问题是一种情境状态，这种状态会与学生已有的认知结构之间产生内部矛盾冲突，在当前状态下还没有易于理解的、没有完全确定的解答方法或法则。第二，问题解决中的“问题”是一个“待解决问题”，并不包括常规数学问题，而是指非常规数学问题和数学的应用问题。这里的常规数学问题，就是指课本中有确定的方法或可以遵循一般规则、原理、解法程序进行解答的数学问题。第三，问题是相对的。一方面，问题因人因时而异，对于一个人可能是问题，而对于另一个人只不过是习题或练习。另一方面，随着人们数学知识的增长、能力的提高，原先是问题的东西，现在却可能变成常规的问题，或者说已经不构成问题了。第四，问题情境状态下，要对学生本人构成问题，必须满足三个条件：一是可接受性；二是障碍性，即学生当时很难看出问题的解法、程序和答案，表现出对问题的反应和处理的习惯模式的失败；三是探索性，指能促使学生深入地思考，展开各种探究活动，寻求新的解题途径，探求新的处理方法。第五，问题解决中的“问题”与“习题”或“练习”是有区别的。一是性质不同。课本中的“习题”或者“练习”属于常规问题，教师在课堂中已经提供了典范解法，而学生只不过是这种典范解法的翻版应用，一般不需要学生有较深的思考。因此，实际上学生只不过是在学习一种算法或一种技术，一种应用于同一类“问题”的技术，一种只要避免了无意识的错误就能保证成功的技术。二是服务的目的不同。尽管有些困难的习题对大部分学生实际上也可能是真正的问题，但数学课本中的习题是为日常训练技巧等设计的，而真正的问题则适合于学习发现和探索的技巧，适合于进行数学原始发现以及学习如何思考。因此，练习技巧与解决真正问题所要达到的学习目的不大相同。也正因为它们各自服务于一种目的，所以课本中的“习题”“练习”不应该被删除，而应该被保留。然而，解决了这些常规问题后，并不意味着已经掌握了解决问题的方法。作为以数学问题为主体的真实的任务情境，它应包括知识背景、数学问题、数学问题表征（虚拟现实、高质量视频等）和问题的操作空间（其一般模式架构如图1所示）。[3]其中，思维空间是问题操作空间的核心部分，是数学问题质量高低的重要标志，也是数学问题情境的重点。一般来说，一个好问题应有以下四个特点，一是具有较强的探究性（或创造精神）；二是具有一定的启发性和可发展空间；三是具有一定的“开放性”；四是具有给定信息的现实性和简易性。图1好问题从哪里来？其一是改造问题。按前面对问题的界定，我们可以发现课本练习中的很多题目只能算是训练性的习题。可以对一些习题进行改造，使之成为问题。如小学数学教材上有这样一类问题：小红和小强从相距800米的两地同时相对出发，小红每分行65米，小强每分行70米，4分后两人相距多少米？我们可以把它改造成：在一条笔直的公路上，小红和小强从相距800米的两地同时出发小红每分行65米，小强每分行70米，4分后，小红和小强两人相距多少米？（请你从不同的运动方向去考虑问题。）显然这是一个没有规定运动方向的开放性问题，需要学生从不同的运动方向去考虑，进行多样化解答。这样的改进虽然还是“常规题”，但比一般性习题更容易引起学生思维的紧张度，更能使学生整体把握行程问题的结构特征。其二是引进问题。西方一些发达国家和我们的邻居日本、俄罗斯都非常重视“应用题”，它们命制的应用问题很有特点。在“问题解决”口号的推动下，国内教师也原创了许多极有特色的数学应用问题，我们要注意收集或参考。案例弗赖登塔尔有一个经典的“巨人手印问题”：昨夜外星人访问我校，留下了一个巨大的手印，今夜他还要来，试问，我们给他坐的椅子应该有多高？他用的新铅笔应该要多长？这个题目好懂、有趣自不必言，尤其是体现比例的思想，通过测量两只手大小的比值，将比值用于设计椅子高度和铅笔长度，这是比、比例、相似等数学本质的体现。问题要求学生进行操作、测量，是一个绝好的数学活动。另外，我国著名的数学命题专家裘宗沪先生原创的许多应用题极有特色，他编著的《小学数学爱好者专题讲座》堪称经典，值得数学教师认真研究、借鉴。三、解题策略：“解决问题”学与教的关键技术教师是问题的设置者，是解决问题过程中学生的引导者和教练员，更是问题解决的评价者和资源的提供者。教师要尽可能让学生在一定策略支持下，经历问题解决的全过程，把要学的知识“再创造”出来。第一，获取信息。小学生在解决实际问题的过程中，需要完成两个转化：从纷乱的问题情境中获取有用的信息，抽象成数学问题，这是第一个转化；然后分析其间的数量关系，用数学方法求解或近似解，并在实际中检验，这是第二个转化。第二，理解问题。理解问题就是进入问题、弄清问题、形成问题的表征。(1)复读策略，指再读一遍问题，在读中对信息的感知更深入一层，也容易理解问题的主旨；(2)核心策略，指要求学生把已知信息进行提炼，寻找关键短语，找到能直接指向问题的重要信息；(3)内化策略，指用自己的语言或熟悉的符号——图示、表格等呈现题中的信息，把已知信息通过理解达到内化；(4)定向策略，指让学生说出要寻找的东西，可以是要解决的一个个中间问题，也可能是最终要解决的问题，使学生的思维产生思考的定向，以利于问题的解决。第三，探求策略。这一阶段的主要工作是对问题进行识别、归类，提出猜想，对猜想进行改进或验证。对问题的识别和归类的最基本的方法是针对数量的相依关系，从所给问题情境中建构出模型，这是一个主动积极的思维过程，需要一定的策略支持。(1)模式策略。建议学生寻找一个模式：你是否解决过与此相类似的问题？那时你用了什么方法来解决？这道题可以使用同样的方法吗？有没有可以借鉴之处？(2)猜测—验证策略。这个问题的结论可能是什么？你能用什么方法加以验证？(3)枚举策略。让学生试着列出所有的情况，看一看能不能从中找到解决问题的策略。(4)推理策略。找出题中的规律，试着推理一下，找出解决问题的办法。(5)替换策略。这是“用一种相等的数值、数量、关系、方法、思路去替代变换另一种数值、数量、关系、方法、思路从而解决问题”的一种策略。(6)转化策略。这是“把复杂问题变成简单问题，把新颖问题变成已经解决的问题”的一种策略。(7)假设策略。这是“根据题目中的已知条件或结论作出某种假设，然后根据假设进行推算，对数量上出现的矛盾进行适当调整，从而找到正确答案”的一种策略。(8)简约策略。你能把这道问题简化一下吗？从与它相似的简单情况入手，你找到了解决问题的办法了吗？(9)逆向策略。让学生试着从问题开始，逐步去寻找解决问题的相关信息，试着加以解决。(10)图示策略。借助示意图等帮助学生解决问题。第四，梳理思路。这一阶段是对学生充分展开思维训练的过程，充分展开思想方法渗透的过程。工作可能包括计算、测量、统计、作图等等，在表达过程中可能还会遇到意外的情况，这时需要解决问题者重新寻找新的解题策略，采用更合适的方法来解决问题。(1)再次理解问题。当某个学生个体运用一种策略解决了问题时，教师可以引导学生再看看问题，有没有新的思考？又想到了什么新方法？(2)述说解题思路。当学生的解题方法偏离时，教师可以引导学生思考是怎么想的，并说出自己的想法，让他在阐述中检索自己的思维过程，重新调整思考方向。(3)寻找其他途径。当学生用一种方法无法解决时，教师可以启发学生思考“这个问题的解合理吗？能不能换一个角度思考？”第五，回顾反思。回顾整个解题过程，反思自己开始时遇到什么困难，是如何“突围”的，解决问题的过程中用到哪些知识，反思结果是否合理，是否有不同的解决问题的途径，以及与其他知识是否有联系，等等。这一反思的环节对整个