空间角的运算问题求线面角

空间角的运算问题求线面角内容概述一、教学目标1.知识与技能：掌握找线面角的几种方法，关键在于找到面的垂线，从而能解决线面角的问题.2.过程与方法：学生通过参与课堂的活动，合作交流，体会、总结解决直线与平面夹角问题的基本套路.3.情感态度与价值观：培养学生从学习中体会用代数方法解决几何图形性质的思想方法，激发学生学习立体几何的兴趣和积极性 .二、教学过程线面角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 .直线和平面垂直时，所成的角是 90直线与平面平行或在平面内时，所成角是 0范围：0，90.线面角的求解技巧（关键是找到面的垂线）（1） 平移法（将面的垂线或斜线平移，使其与斜线相交） .2）垂面法.3）等体积法.4）向量法.例题示范例1.如图，已知AA1平面ABC，BB1//AA1，ABAC3，BC25，AA17，BB127，点E,F分别是BC,AC的中点.求直线AB与平面BCB所成角的大小.1111思路分析1：ABAC，E是BC的中点，故AEB1BC，又BB1平面ABC，故BB1AE,所以AE平面B1BC.故可以平移AB，使其与AE相交，再解三角形.11A1解：取B1B的中点，记为H，连接HA,HE.A1A平面ABC,A1A//B1B,FBAB1B平面ABC.即B1BAE.EAC,E是BC中点，AEBC.AE平面B1BC.CABH是B1B中点，1127,AA7,BBAH//A1B1.AHE是A1B1与平面BCB1所成的角.在中RtAEC，AE2.在RtHBE中,HE23.tanAHEAE23.AHE30.HE233思路分析2：AB AC，E是BC的中点，故 AE BC，又BB1 平面ABC，故BB1 AE,所以AE 平面B1BC.故可以平移 AE，使其与A1B1相交，再解三角形 .另解：取BC1得中点，记为Q，连接AQ1,QE.由题意知四边形1是矩形，AE平面1EAAGBBC.AG1//AE,且AG1平面B1BC.ABG是AB与平面BCB所成的角.11111在RtB1BC中，B1G1B1C14323.A1GAE2.22AG23tanA1B1G1.A1B1G30.B1G233【解后归纳】求线面角的方法总结：找到面的垂线后，通过平移垂线或斜线，使其两者相交，再解直角三角形 .例2.如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC平面BCDE；CDEBED90，ABCD2，DEBE1，AC2.求直线AE与平面ABC所成A的角的正切值.D CE B思路分析1：平面ABC 平面BCDE,在平面BCDE内过E作交线BC的垂线EF，则有EF 平面ABC.再连接垂足 F和斜足A，投影AF与斜线AE的夹角就是线面角 .解：过E作CB的垂线交CB的延长线于点 F,连接AF.平面ABC 平面BCDE,平面ABC 平面BCDE BC. EF 平面ABC.所以 EAF是直线AE与平面ABC所成的角.在RtBEF中，由EB 1，EBF ，得EF 2，BF 2，4 2 2在RTACF中，AC2，CF32，得AF26.22在RtAEF中，由EF2，AF26得tanEAF13.2213所以直线AE与平面ABC所成的角的正切值是13.13【解后归纳】求线面角的方法总结：找面的垂线，关键找到垂面，利用垂面法，再作交线的垂线 .思路分析2：题干中数据比较多， 又有AC 平面EBCD，容易求VAEBC,而VEABC VAEBC，所以可以借助等体积法来求解 .另解：过E作平面ABC的垂线，记垂足为 O.记EO h.则有VEABC VAEBC.VABCE1S3VEABC1S3

EBCABC

2AC .2h. h .2在AEO中，AO26.tanh13.2AO13【解后归纳】求线面角的方法总结：线面角问题，关键是求的垂线的长度，等体积法可以有效避开找到具体的垂足，并容易求得垂线长度.例3.四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作A平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.EH求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值.DGFCB思路分析：由三视图可知， AD,BD,CD两两垂直，建系比较方便，所以可以选择建系，再由公式 sin BAn.计算结果.BAn解：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，由题意知，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0),

１２主视图 左视图２俯视图DA(0,0,1)，BC(2,2,0)，BC(2,2,0).设平面EFGH的法向量n(x,y,z).BC∥FG,EF∥AD则nDA0得z0令x1,nBC02x2y0n1,1,0.sin|cosBA,n|BAn210|BA||52.|n|5【解后归纳】 求线面角的方法总结：建系求线面角时，由于向量方向的问题，注意

sin BAn.BAn课堂小结：求异面直线的夹角问题， 关键是找到该平面的垂线， 再斜足与垂足连