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文档简介

空间角的运算问题求线面角内容概述一、教学目标1.知识与技能:掌握找线面角的几种方法,关键在于找到面的垂线,从而能解决线面角的问题.2.过程与方法:学生通过参与课堂的活动,合作交流,体会、总结解决直线与平面夹角问题的基本套路.3.情感态度与价值观:培养学生从学习中体会用代数方法解决几何图形性质的思想方法,激发学生学习立体几何的兴趣和积极性 .二、教学过程线面角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角 .直线和平面垂直时,所成的角是 90直线与平面平行或在平面内时,所成角是 0范围:0,90.线面角的求解技巧(关键是找到面的垂线)(1) 平移法(将面的垂线或斜线平移,使其与斜线相交) .2)垂面法.3)等体积法.4)向量法.例题示范例1.如图,已知AA1平面ABC,BB1//AA1,ABAC3,BC25,AA17,BB127,点E,F分别是BC,AC的中点.求直线AB与平面BCB所成角的大小.1111思路分析1:ABAC,E是BC的中点,故AEB1BC,又BB1平面ABC,故BB1AE,所以AE平面B1BC.故可以平移AB,使其与AE相交,再解三角形.11A1解:取B1B的中点,记为H,连接HA,HE.A1A平面ABC,A1A//B1B,FBAB1B平面ABC.即B1BAE.EAC,E是BC中点,AEBC.AE平面B1BC.CABH是B1B中点,1127,AA7,BBAH//A1B1.AHE是A1B1与平面BCB1所成的角.在中RtAEC,AE2.在RtHBE中,HE23.tanAHEAE23.AHE30.HE233思路分析2:AB AC,E是BC的中点,故 AE BC,又BB1 平面ABC,故BB1 AE,所以AE 平面B1BC.故可以平移 AE,使其与A1B1相交,再解三角形 .另解:取BC1得中点,记为Q,连接AQ1,QE.由题意知四边形1是矩形,AE平面1EAAGBBC.AG1//AE,且AG1平面B1BC.ABG是AB与平面BCB所成的角.11111在RtB1BC中,B1G1B1C14323.A1GAE2.22AG23tanA1B1G1.A1B1G30.B1G233【解后归纳】求线面角的方法总结:找到面的垂线后,通过平移垂线或斜线,使其两者相交,再解直角三角形 .例2.如图,在四棱锥ABCDE中,平面ABC平面BCDE;CDEBED90,ABCD2,DEBE1,AC2.求直线AE与平面ABC所成A的角的正切值.D CE B思路分析1:平面ABC 平面BCDE,在平面BCDE内过E作交线BC的垂线EF,则有EF 平面ABC.再连接垂足 F和斜足A,投影AF与斜线AE的夹角就是线面角 .解:过E作CB的垂线交CB的延长线于点 F,连接AF.平面ABC 平面BCDE,平面ABC 平面BCDE BC. EF 平面ABC.所以 EAF是直线AE与平面ABC所成的角.在RtBEF中,由EB 1,EBF ,得EF 2,BF 2,4 2 2在RTACF中,AC2,CF32,得AF26.22在RtAEF中,由EF2,AF26得tanEAF13.2213所以直线AE与平面ABC所成的角的正切值是13.13【解后归纳】求线面角的方法总结:找面的垂线,关键找到垂面,利用垂面法,再作交线的垂线 .思路分析2:题干中数据比较多, 又有AC 平面EBCD,容易求VAEBC,而VEABC VAEBC,所以可以借助等体积法来求解 .另解:过E作平面ABC的垂线,记垂足为 O.记EO h.则有VEABC VAEBC.VABCE1S3VEABC1S3

EBCABC

2AC .2h. h .2在AEO中,AO26.tanh13.2AO13【解后归纳】求线面角的方法总结:线面角问题,关键是求的垂线的长度,等体积法可以有效避开找到具体的垂足,并容易求得垂线长度.例3.四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作A平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.EH求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值.DGFCB思路分析:由三视图可知, AD,BD,CD两两垂直,建系比较方便,所以可以选择建系,再由公式 sin BAn.计算结果.BAn解:如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,由题意知,则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),

12主视图 左视图2俯视图DA(0,0,1),BC(2,2,0),BC(2,2,0).设平面EFGH的法向量n(x,y,z).BC∥FG,EF∥AD则nDA0得z0令x1,nBC02x2y0n1,1,0.sin|cosBA,n|BAn210|BA||52.|n|5【解后归纳】 求线面角的方法总结:建系求线面角时,由于向量方向的问题,注意

sin BAn.BAn课堂小结:求异面直线的夹角问题, 关键是找到该平面的垂线, 再斜足与垂足连

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