勾股定理 展示课教学设计及点评

义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级上册第一章第节探勾定（一时一、教内容解析1.内容探索勾股定理（第一课时）2.内容解析勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形有关角的性质基础上进行学习的边的角度进一步揭示直角三角形三边之间存在的数量关系解决直角三角形问题的依据之一在数学发展史上西方很早就展开了对勾股定理的研究生了各种各样证明勾股定理的方法由导出了无理的概念引了数学史上的第一次学危机．因此股定理具有丰富的文化内涵学习勾股定理以引发学生对数学文化、数学历史的思考．同时，勾股定理的发现、验证中，蕴含着发展学生探能力不可多得的思维材料．本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级上册第一章《勾股定理》第一节第一课时在写时重视对学生动手操作能力和观察分析问题能力的培养际析等动，使学生获得较为直观的印象；通过练习比较、推理论证，表征方式的转换，理解勾股定理。本是已学习直角三角形相关知识的延续时是学生认识无理数的基础分现了数学知识承前启的紧密相关性、连续性．二、教目标与目标析1.习目标（）历用方格子计算面积的办法探索勾股定理以及利用图形面积验证勾股定理的过程，渗透“特殊到一般合的学思想，培养学生分析问题和解决问题的能力学几何直观的数学素养．（）准确利用文字语言、几何图形语言、字母符号语言表述勾股定理，会初步运用勾股定理进行简单的计算和解释生活中的简单现象．（）用古代中外勾股定理的发现故事，感受数学文化，热爱我国悠久文化的同时，学习多元文化，了解不同民族为人类的发展所做的贡献．2.标解析勾股定理作为平面几何有关度量的最基本定理是对直角三角形的进一步探究是后续学习三角函数四形和圆以平解析几何中两点间距离公式等的基础，它具有承上启下的作用此能准确地表述勾股定理，并能运用勾股定理进行简单的计算．本课是本章的第一课时学习内主要是探索勾股定理而不是证明此要学生通“观察——操作——猜想——验证”的过程，在此过程中自然发展发现问题、提出问题、分析问题、解问题的能力．体会从特殊到一般、数形结合的思想，以及对勾股定理历史的认识．三、学学情分析

我任教的学校是重庆市首批示范初中，所教学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已经学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积的割法解决问题的意识和能力还有待提高．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交能力和探究能力有待加强．综合以上分析，确定了如下的教学重点和教学难教学重点：探索和验证勾股定理．教学难点：在方格纸上利用割补法计算面积探索勾股定理．四、教策略分析本节课中采用启发式教学方法，小组讨论式合作学习方法，合理地使用多媒体和教具分解学生习的难度．学生遇到的第一个难点可能是在方格纸中利用一般直角三角形斜边构造的正方形的面积决这个难点的策略是设置问题台阶通过求等腰直角三角形斜边构造的正方形面积时发学生多种方法：数格子和拼图；再通过小组合作研究“割式；最后在交流展示时，利用喷绘纸描出“割的所求的正方形的面积，同时将面积的表示方法展示在黑板上帮助学生理．第二个难点可能是在直角边是小数的情况下探究勾股定理这个难点的策略是引导学生回忆画数轴时如何根据实际情况选取单位长度生选取合适单位长度标纸中完成画图能帮助学有效完成探究．同时利用板书和课件能生动效地帮助学生有条理开展探究活动和梳理本节课的主要学习内容，板书与课件随着学生的思维同步展开．五教学过程设（）入1．幻灯片展示年际数学会的会标：会标中四个直角三角形中的三边存在怎样的数量关系髀算经谈勾股四弦五出图形什两直角边分别是3和4，边一定是5？【设计意图】

看到会标，部分学生会想到“勾三股四弦五以学生的认知为基础引入，激发学习兴趣的同时，自然向学生渗透与勾股定理有关的历史文化，增强民族自豪感．根据教材的绍，

．．．此时可直接告诉学生发三形三条边长度的平方存在一种特殊的关系活动1为么要计算直角三角形三边平方作铺垫．．．．2．引出课题《探索勾股定理》—研究直角三角形三边关系．简单介绍本章内容：探索并证明勾股定理及其逆定理，并运用这两个定理去解决有关问题，以此加深对直角三角形的认识．【计意图

本节是勾股定理的章起始课，应该让学生简单了解本章的学习内容和学习目标，明确探索和学习勾股定理的必要性．（）究活1）请在方格纸上任意画一个直角三角形；（）直尺测它们的三条边长度；（）算三边长度的平方；（）究三边长度的平方有什么数量关系．师活：生先自己操作，然后老师展示几何画板度量，得到基的猜想．问通计，画直三形边度平有么量系？【设计意图】

有学生会猜想到直角三角形三边平方的关系．要验证猜想结果的正确性，需要我们动手操作验证．自然想到画一个直角三角形，通过度量、计算边长的平方，初步获得结论度量存在一定的误差）我再通过几何画板出示一组直角三角形，让学生进一步观察与猜想．再让学生回忆小学知识方形的面积等于边长的平方此直角三角形三边的平方结果可以借用正方形的面积来表示利几直观我们将计算边长的平方转化为计算正方形的面积生方格纸中计算正方形的面积是有定基础的这既避免了由测量带来的误差也拓展了计算面积方法，自然引出活动2．活2（）察图1-1正方形中有

个小方格，即A的面积是

个单位面积；正方形的积是

个单位面积，正方形C的面是

个单位面积

师活：生口答图1-1、图的积，发现，面积之间的关系，并回答C的积是如何计算得到的．问A、、C面之的系不分用间那直三形边表？【设计意图等腰直角三角形比较特殊，从“形”上来看，体现探究的过程是一个从特殊到一般的过程然引出下一个活动般直角三角形的探究C的面积生多种算法例较特殊用凑整的方法较为简单生补成正方形或是分割成三角形的计算方法给予展示和鼓励，从而为图1-3和图1-4中C面积计算方法做铺垫．此时绍希腊著名数学家达哥拉斯从用地砖铺成的地面中发现了等腰直角三角形的某种特性．在西方，勾股定理也称为毕达哥拉斯定理，为纪念毕达哥拉斯学派1955年，腊曾发行了一枚邮票．在探究中自然介绍与勾股定理有关的西方文化知识．（）察图1-3，图1-4，并填下表：A的面积B的积面积（单位面积）（位面积）

（单位面积）图1-3图1-4小活：人小，两人探究图1-3，人探究图1-4，主要展示C面积的算法方总：方法一（割）：分割为四个直角三角形和一个小正方形．

方法二（补）：补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积．问直三形边三正形面与间个角角三边关．师活：活动中学生的难点是如何通过割补求的积因教学过程中安排了小组活动．课堂中，黑板上会贴上图1，图1-4这两基本图形的喷绘纸，学生用记号笔标记如何用割法求C的积此，教师引导生观察国际数学大会的会标就是方法1中图并一步说明此图是中国古代数学家赵爽首先绘制的，我们称此图为“勾股圆方图”，赵爽用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，比西方国家早了1000多年，下节课我们将来具体研究．【设计意图般角三角形的探究进一步说明结的正确性从殊到一般的数学思想毕达哥拉斯发现勾股定理到引出赵爽弦图再一次让学生了解勾股定理悠久的历史文化解同民族为人类的发展所做的贡献透爱国主义教育，并为下一课时用“面积法”证明勾股定理奠定基础．活3如果直三角形的两直角边分别为个单位长度和0.6个位长度，上面猜想的数量关系还成立吗？【设计意图活动2中直角三角形的直角边都是数，为了进一步体现结论的一般性，本活动设计了直角边是小数的情况证结论的一般性角边是小数的情况生能会比较困难，此时引学生回忆画数轴时如根据实际情况选取单位长度生取合适单位长度在方格纸中完成画图，能帮助学生有效完成探究．活4如图，请回A，，积之间的关系【设计意图2和动3中三形的直角边都是有理数进步体现结论的一般性，本活动设计了直角三角形三边都是无理数的情况教的安排来看数是在勾股定理学习之后现的因在教学中学生对本图解即可这也是无理数发现的过程再回到活动1中何画板展示拖直角三角形的顶点进步让学生了解在任意边长的情况下直角边的平方和仍然等于斜边的平方从等腰直角三角形到一直角三角形直角边是整数到小数再到无理数活动中体现了于数学核心素养“直观想象”的教学理念．同时，在本活动中完善了探究方法：观察——操作—猜

想——验证．通过活动2、3、，到如下结论：结：+SSAB=c

22隐去直角三角形周边的正方形，得到勾股定理：☆股理如果

的两直角边分别为

和

，斜边为

c

，那么．几语：∵，∴．归纳总结勾股定理过程：

A

c（）合探索过程，学生用自己的语言叙述，直角三角形的与斜边的关系；（）读教材，勾画关键词；（）合图形，用数学符号表示勾股定理．（）用跟踪练习：教材第3页随练习第题（口答）【例1）下列直角三角形的边长．C86

a

两条直角边（）eq\o\ac(△,Rt)中，∠＝°，=3

AC

，求AC的长．C【设计意图例是勾股定理的简单运用讲解是老师示范解答过程是学生知道：在直角三角形中，如果知道两条边的长，可用勾股定理求出第三边长．【式在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠＝90，＝，AB+AC＝，AC的长．【设计意图

利用勾股定理建立方程求边长是常见的方法．【例2】解“勾三股四弦五”

C

老师展示肢体语言，同时让学生跟着一起做。【设计意图

把中国古代的数学文化用自己的肢体语言展示出来，不但能帮助学生理解勾股定理，同时比较形象地展示了数学与我们身体的关系，感受中国悠久的数学文化历史．（）理1．你学习了什么知识？2．你体会到了什么数学思想方？3．你还有什么收获？师活：师同补总完后展勾树展勾定理数美六课堂学目标测必：．读教材第页《漫画勾股世界2．完成教材第4页习的12，4题．选：材第页习1.1第题【设计意图课教学目标检测分为必做题和选做题足不同层次学生的学习需求让不同层次的学生都能通过作业有所收获．特别是选做题，此题具有一定的开放性，学生在多种方案的寻中，进一步加深对勾股定理的理解，发散学生的数学思维和创新意识．点评稿程小娟老师是重庆市珊瑚初级中学的一位优秀青年教师教探勾股定第课时是北师大版八年级上册第一章第一节的内容。教学中，目标清晰具体、重点突出、难点预测到、教

学过程安排合理，注重学生学习主体地位的体现、落实数学核心素养，体现了教师良好的专业养，教学效果好。主要有以下特点：一、创设情境，彰显数学文化设计2002年际数学大会情境通过对《周髀算经》中“勾三股四弦五”的解读，引入勾股定理。探究过程中，结合知识的生成情况渗透与勾股定理相关的中西方数学文化知识受国伟大的数学成就。二、探究过程，落实数学素养探索勾股定理由四个探究活动组成，学生经历“观察——操作——猜——验证”的学习过程掌握获取新知识的方法。学生通过画图，分割和补全图形，对图形观察、归纳、总结、提炼。动手过程中补”贯穿于探究活动的始终，强化了几何直观的学习。三、问题解决，突显主体地位从等腰直角三角形到一般直角三角形角边长从整数到小数再到无理数计题难度层层递进为生解决问题设置思维阶梯启学生自主探究小组合作讨论师生交流展，问题的解决始终以学生为主体自主提炼勾股定理的文字语言图形转化为数学符号语，以及用肢体语言展示“勾三