厘清高中数学课程标准“行为动词”的教学设计研究 论文

厘清高中数学课程标准“行为动词”的教学设计研究摘要：基于《普通高中数学课程标准》里的数学核心素养水平，按照行为动词的内涵细分其体现的数学核心素养水平，挖掘行为动词内涵使行为动词可操作、显性化，以此进行教学设计.关键词：高中数学；核心素养水平；行为动词；《现代汉语词典》[1]对“行为”的解释是：受思想支配而外在表现的活动，对“动词”的解释是：表示人或事物的动作、情况、变化的词.基于上面解释，《普通高中数学课程标准》[2]里的行为动词，就可以解释为描述高中学生通过数学学习后其数学思维活动外显、变化的词.学生在数学学习上的行为具有受数学思想支配的内隐性和受外在数学学习活动影响的外显性.行为动词的研究能够更好地进行教学设计，把握数学核心素养水平的教学[3][4].本文尝试基于《普通高中数学课程标准》里的数学核心素养水平，对人民教育出版社《普通高中课程标准教科书选择性必修第二册》第五章“一元函数的导数及其应用”第二课时“导数的概念及其几何意义”里行为动词进行案例研究.实施方法是教师课前研读对应课程目标，按照行为动词的内涵细分其体现的数学核心素养水平，挖掘行为动词隐性内涵使行为动词可操作、显性化，以此进行教学设计.以下是“导数的概念及其几何意义”的课程目标的研读.课程目标1：通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.行为动词“经历”需要学生主动参与，合作交流.按照学生的参与交流程度，行为动词“经历”拟达成数学运算素养水平一：计算完成高台跳水问题中t1秒附近平均速度的表格.数学抽象素养水平一：通过学生参与、动手操作，体验逼近方法，猜想t1秒的瞬时速度，积累从已知探求未知的思考经验.数学抽象素养水平二：通过主动计算，历经观察、分析、比较和归纳的数学学习过程，发现一系列平均速度的逼近变化，启发思维的嬗变，升华出瞬时变化率的概念.数学建模1素养水平一：学生在最近发展区内通过已有的知识框架尝试建构出新的知识—导数的概念.课程目标2：了解导数概念的实际背景.行为动词“了解”需要从实例、直观方面进行教学.教学设计时介绍导数概念的实际背景：牛顿是从物理学瞬时速度的方面研究导数，莱布尼茨是从几何学上研究导数.所以教学上先从“数”的方向大致沿着牛顿的路线探究导数，然后再从“形”的方向沿着莱布尼兹的路线进行探讨.行为动词“了解”拟达成数学抽象素养水平一：能够在熟悉的情境中，直接抽象出导数概念；能够在交流的过程中，结合实际情境解释导数的抽象概念.课程目标3：知道导数是关于瞬时变化率的数学表达.行为动词“知道”与“了解”是同义词.行为动词“知道”拟达成直观想象素养水平一：通过抛物线的割线逼近切线直观感知瞬时变化率.数学抽象素养水平一：通过高台跳水问题的计算，数值逼近得到导数是关于瞬时变化率的数学表达.课程目标4：体会导数的内涵与思想，体会极限思想.行为动词“体会”要求教学时设计合适的情景与活动，需要学生主动学习，自主获取知识，思考数学知识的作用，建立概念之间、命题之间的关系网络，形成系统化、概括化的数学认知结构.行为动词“体会”拟达成数学抽象素养水平一：通过高台跳水、抛物线的割线逼近切线的情景与问题，从平均变化率抽象得到瞬时变化率.数学抽象素养水平二：能从某点的函数值抽象得到某点的导数值，从静态的函数值抽象得到动态的变化值、预测值，从静态、有限的常量数学领略动态、无限的变量数学.数学抽象素养水平三：能使用已有“二分法”逼近函数零点的知识储备，运用静态的逐步逼近把握动态的方法，思考数学知识的作用，领悟极限的思想（通过有限去认识无限，通过近似去探索精确）和导数的思想（变化率是导数思想方法的核心，也是微积分课程价值的核心，导数之美在于体现局部的“率”）.课程目标5：通过函数图象直观理解导数的几何意义.行为动词“理解”要求通过函数图象直观沟通导数的概念与几何意义.希尔伯特说：“算术符号是文2字化的图形，而几何图形则是图象化的公式”.行为动词“理解”拟达成直观想象素养水平一：借助图象示意，阐明割线逼近切线的过程.直观想象素养水平二：能够直观解释导数的形式化定义，剖析导数几何意义的“所以然”.基于以上对课程标准的研读，进行了“导数概念及其几何意义”的教学设计.一．教学背景

（一）教学内容分析

在上一课时“变化率问题”中，学生体验了用平均变化率和瞬时变化率描述问题的过程，本课时“导数的概念及其几何意义”，学生将抽象获得导数的概念，通过函数图象直观地感受导数的几何意义，通过例题体会导数的作用.（二）学生情况分析

1.已具备的认知基础

学生对函数的图象与性质有了一定的认识，知道用“二分法”逐步逼近得到方程的近似实根，已经学习了直线的斜率和直线方程，在数学活动中积累了一定的经验.2.可能存在的认知困难

导数概念的抽象获得；圆的切线的定义对一般曲线切线生成的负迁移.（三）教法分析和学法分析

1.教法分析

结合本课时的内容特点和学情，采用核心问题引领，渗透提升核心素养的教学方法.本课时以抽象生成导数的概念和通过函数图象直观理解导数的几何意义为明线，以体会导数的内涵与思想、体会极限思想、经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程为暗线，以用导数的几何意义研究“高台跳水运动员的瞬时变化率”和用导数的概念解释“原油温度的瞬时变化率”作为学业质量水平反馈，以提升学生的数学抽象与直观想象的数学核心素养为根本出发点，为学生指引数学学习的方向，使数学课堂成为学生成长的脚手架. 2.学法分析

通过自主探究、互组合作，体验发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的认知过程，渗透数学抽象、直观想象的数学核心素养.3二．教学目标1.通过高台跳水平均速度的计算，经历逼近方法，猜想在t1秒处的瞬时速度，经历观察、分析、归纳的数学学习过程.2.通过高台跳水问题、抛物线的割线逼近切线问题，从数值逼近、几何直观感知、解析式抽象三个方面认识瞬时变化率即导数的含义.3.用图示（高台跳水的瞬时速度、割线逼近切线）、数值（高台跳水的区间平均速度的计算）、公式（导数的形式化定义）及文字描述（导数定义的文字语言）四种方法理解导数的几何意义.4.通过静态的逐步逼近体会动态，通过有限去认识无限，通过近似去探索精确，体会极限思想和导数思想.三．教学重难点

教学重点：类比的方法归纳探究出导数概念.教学难点：导数的几何解释及切线概念的形成.四．教学过程设计

本节课设计了四个教学环节，逐步达成教学目标.1.动手操作2.解决问题3.类比探究4.交流反馈了解导数概念体会导数内涵理解几何意义体会极限思想 1.动手操作了解导数概念

教师：上节课，我们探讨了两个变化率问题.让我们先回顾一下上节课的两种情形:情形1—高台跳水问题,情形2—抛物线的切线问题.上节课的一个课后思考是:根据高台跳水问题在t1秒附近的平均速度表，猜测t1秒的瞬时速度.【设计意图】通过实例的积极参与，让学生体验从平均变化率到瞬时变化率的过程，计算、分析不同区间的平均速度的共性来猜测瞬时速度，为导数概念的推导和理解垫定基础.探究情景1：平均速度在Dt趋于0时的趋势是什么？ 【师生活动】从过程、方法、结果的不同方面进行总结.学生以小组形式学习，教师深入小组活动，倾听学生的意见.4【设计意图】在归纳中学生体会到用运动变化的观点研究问题，感受用“平均变化率”趋近“瞬时变化率”的数学方法.引导学生从“数学的眼光”观察问题的一致性，用“数学的语言”表达思考的结论.问题（1）：更一般的问题，如何表示函数y=fx()在点x=x0的瞬时变化率? 【师生活动】教师给出问题，学生回答问题.教师要注意学生的数学表达，让学生从具体到一般感受抽象的过程.【设计意图】让学生深入理解导数概念建构的过程.问题（2）：回顾上节课的情形1—高台跳水问题和情形2—抛物线的切线问题，思考如何用导数来表示情形1中运动员在某一时刻的瞬时速度?如何用导数来表示情形2中抛物线切线的斜率? 【师生活动】教师引导学生用导数的形式表达，从瞬时变化率即导数的本质来解释这两种情形的含义.【设计意图】理解导数的本质就是瞬时变化率.2.解决问题体会导数内涵

教师：让我们应用所学的知识来解一道数学题.例1.设fx()=2，求'f2).x问题（3）：('f2)的导数解释?如何求?【师生活动】教师演示解题步骤格式，学生互相检查，教师让学生注意导数的符号表示，指导学生使用导数的定义来解决问题.【设计意图】加深学生对导数概念的理解.教师：让我们解决一个实际问题.例2.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第xh时，原油的温度（单位：。C）为y=fx()=x2-7x+15(0£x£8).计算第2h、第3.5h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.问题（4）：从数学上讲，2h、3.5h、6h时原油温度的瞬时变化率是多少?【师生活动】引导学生了解原油温度在2h、3.5h、6h的瞬时变化率就是函数的导数.教师注意学生导数符号的书写、解题格式的完整性以及学生对实际意义5的表达. 【设计意图】旨在让学生把真实的问题转化为数学问题，通过导数定义来解决真实的问题，让学生认识到数学来自生活，可以在生活中使用.问题（5）：将原油温度问题推广，f'(x0)是什么意思?【师生活动】运用导数定义，解释原油温度在某一时刻的瞬时变化率.【设计意图】引导学生用数学的思维解决问题，将实际问题抽象为数学问题.3.类比探究理解几何意义探究情景2：回顾上节课的情形2—抛物线的切线问题，思考导数f'(x0)的几何意义? 【师生活动】教师引导学生理解割线的极限位置是切线.学生体验类比的研究方法. 【设计意图】类比研究得到一般函数导数的几何意义，从具体到抽象，使学生认识到有必要从动态变化的角度研究问题.教师：我们发现当一点趋近另一点时，割线的斜率也会接近切线的斜率.因此，函数在某点处的导数就是函数图象在此点切线的斜率，此即导数的几何意义.探究情景3：圆的切线定义与本节课的切线定义与有什么不同？【师生活动】探究发现y轴不是函数f(x)x2的切线，圆的切线的定义并不适用于抛物线，然后用运动变化的方法给出曲线的切线定义. 【设计意图】让学生体验“发现问题—提出问题—分析问题—解决问题”的探究过程，体验合情推理的优劣.教师：下面，老师用Geogebra软件为大家演示“割线逼近切线”的过程，请同学们观察在点P处哪条直线最接近P点附近的曲线？【师生活动】学生观察、思考.教师用Geogebra软件演示“割线逼近切线”的过程，引导学生直观感受P点处的切线最接近P点附近的曲线. 【设计意图】引导学生重新感受极限思维，理解微积分的重要思想——以直代曲. h

例3.如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数6Ottttht()=-4.9t2+6.5t+10的图象.根据图象，描述运动员在t=0t，，1t2t附近的变化情况. 【师生互动】让学生理解“用直线代替曲线”的含义,用导数的几何意义解决问题,曲线的升降可以被切线的升降近似代替.体验“数”与“形”的结合. 【设计意图】让学生从生活中感知数学，并将其运用到生活中.瞬时变化率可以从“数”的角度解释，也可以从“形”的角度解释.4.交流反馈体会极限思想

问题（6）：请谈谈你本节课学习的收获和感受. 【师生活动】学生说明本课所学知识:导数的概念、导数的几何意义.体会类比方法、极限思想. 【设计意图】培养学生的总结能力.让学生对本课的知识和方法进行反思，积累数学知识和活动经验. 五.教学反思

李邦河院士曾说过：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！“高中数学课程应该返朴归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质.数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理”[5].本节课追溯微积分发展的历史足迹，通过学生自主探究活动和典型例题分析，使学生理解导数概念和几何意义逐步形成的过程，体会逼近的方法和蕴涵的导数思想. 以往的调查结果显示，部分学生在学习过程中“只重结果不重过程”，认为只要记住瞬时速度等于位移对时间的导数就可以了，没有必要去经历由平均变化率到瞬时变化率的过程.这部分学生遇到求瞬时速度就去求导数，没有耐心去求平均速度.由于缺少这种经历，学生体会不到从近似到精确的质的飞跃，也就无 “部分等于整体”、“近法理解导数深刻的思想内涵.学生对“零与无穷小量”、

似方法得到精确结果”等极限思想的认知有一定的欠缺.导数概念的理解要抓住两个核心思想方法：逼近的方法，极限的思想.由于高中没有系统介绍极限的形式化定义，那么如何学习导数的概念呢？“导数教学应该还原导数的本原问题，让学生体验导数的非形式化、算法化和直观化思考方法，给学生以“火热的思考””[6].本节课通过核心问题的探究让学生体会7逼近、类比、以直代曲的数学思想方法.通过有限与无限、直与曲、动与静的认识，导数值就象预报值，以已知探求未知，春江水暖鸭先知.数学核心素养水平是教学目标的具体反映，每个数学内容对应多种数学核心素养，同样的数学核心素养水平也可以通过多个行为动词予以表达.这体现了课程实施途径的多样性及课程评价的可操作性.下节课拟用理解、运用导数的概念和几何意义解决生活中与瞬时变化率有关的问题评