数量方法随机变量

数量方法随机变量第1页，共32页，2023年，2月20日，星期六第七单元随机变量及其分布

随机变量概述离散型随机变量

连续型随机变量第2页，共32页，2023年，2月20日，星期六教学重点1．随机变量的概念2．离散型与连续型随机变量的数字特征3．二项分布、泊松分布、正态分布第3页，共32页，2023年，2月20日，星期六教学难点1．分布函数概念的理解2．密度函数概念的理解3．一般正态分布的概率计算第4页，共32页，2023年，2月20日，星期六例1在10件同类产品中，有3件次品，现

任取2件，用X表示“2件中的次品数”，

X的取值有哪些？对应的概率是多少?例2“测试电子元件寿命”试验，用Y表示

元件寿命(小时)，Y的取值如何?一、随机变量的概念第5页，共32页，2023年，2月20日，星期六一个变量若满足：（1）取值的随机性。即取到哪一个值事前

不知道，要由随机试验的结果而定；

（2）取值的对应性。即取到的每一个值都

对应于某一随机现象；

（3）概率的确定性。即它取某一个值或在

某一区间内取值的概率是确定的。称这样的变量为随机变量，通常用大写

字母X、Y、Z…表示。第6页，共32页，2023年，2月20日，星期六例1中，“两件产品中没有次品”事件

可用{X=0}表示

“两件产品中至少一件次品”事件 可用{X≥1}表示例2中，“元件寿命至少1000小时”事件

可用{Y≥1000}表示

“元件寿命不足500小时”事件

可用{Y＜500}表示为什么要引入随机变量？可使随机事件数量化，便于数学处理，

从而更深入地研究随机现象。第7页，共32页，2023年，2月20日，星期六上述两例，随机现象较容易用数量来描述，

但在实际中常遇到一些似乎与数量无关的

随机现象，如何用随机变量来描述它们？例3抛一枚均匀硬币，试验的可能结果两个，

即“正面向上”与“正面向下”。通常定义随机变量

1正面向上P(X=1)=0.5

X=且

0正面向下P(X=0)=0.5第8页，共32页，2023年，2月20日，星期六例4一批产品的合格率为P，随机抽一个检验，

可能结果为“抽到合格品”与“抽到废品”。

通常定义随机变量

1抽到合格品P(Y=1)=P

Y=且

0抽到废品P(Y=0)=1-P例5一批产品的一、二、三级品率为50%、35%、

15%，随机抽取一个，可能结果“抽到一级品”

“抽到二级品”、“抽到三级品”。

可定义

1抽到一级品P(Z=1)=50%

Z=2抽到二级品且P(Z=2)=35%

3抽到三级品P(Z=3)=15%第9页，共32页，2023年，2月20日，星期六二、随机变量的种类按随机变量的取值不同，可分为离散型随机变量：随机变量只取有限个或 可列个可能值。连续型随机变量：在某一个或若干个有限或

无限区间取值的随机变量。第10页，共32页，2023年，2月20日，星期六

设离散型随机变量X所有可能取值为

x1，x2，…xn，其相应的概率分别为

p1，p2，…pn

记作P(X=xi)=pi，（i=1，2，…n）称为离散型随机变量X的概率分布，

简称分布。也可表示为：p1p2…Pix1x2…X一、离散型随机变量的分布第11页，共32页，2023年，2月20日，星期六概率分布的性质

1）0≤pi≤1i=1，2，…

2）∑pi

=1例写出上一节例1、3、4、5的概率分布第12页，共32页，2023年，2月20日，星期六二、离散型随机变量的数学期望离散型变量X的取值为x1,x2…xi…

相应的概率为p1,p2…pi…,xi与pi的乘积

之和为X的数学期望，简称期望或均值。

记作E(x)或μ

E(x)=∑xipi例（教材P149例3、4）第13页，共32页，2023年，2月20日，星期六数学期望是对随机变量集中趋势的度量，

对其离散程度的度量用方差。

离散型变量X离差的平方的数学期望

称为X的方差。记作D(X)或

方差的算术平方根为均方差或标准差，

用σ

表示。

例（教材P151例6、7）三、离散型随机变量的方差第14页，共32页，2023年，2月20日，星期六四、常见的离散型随机变量一个试验如果结果只有两个，都可以

用两点分布来描述。（一）两点分布

1、定义

随机变量X只可能取0，1两个值，

概率分布为：

P(X=1)=p，P(X=0)=1－p(0<p<1)

或（k=0,10<p<1）称X服从两点分布。记为X～B(1，p)第15页，共32页，2023年，2月20日，星期六2、两点分布的数学期望与方差

E(X)=pD(X)=(1－p)p例（教材P152例8）第16页，共32页，2023年，2月20日，星期六某射手射击一次，观察他中靶与脱靶；

抛硬币一次，观察其正面朝上、朝下；

从一批产品中取一件，观察其正品、废品;

以上试验都可用两点分布来描述。某射手射击多次；

连续抛硬币多次；

从一批产品中取n件产品；

这些试验还能用两点分布描述吗？随机试验只有两个可能结果A或，

且P(A)=p，P()=1－p=q

这种试验称为Bernoulli试验；

试验独立重复n次，称n重Bernoulli试验。第17页，共32页，2023年，2月20日，星期六（二）二项分布令X为n重Bernoulli试验中事件A发生的

次数，X的所有可能取值为0、1、2…n

X取值k的概率为 (K=0、1、2…n)

其中P(A)=p，P()=1－p=q

0<p<1

称随机变量X服从参数为n,p的二项分布 记作X～B(n,p)当n=1时，二项分布就是二点分布B(1,p)第18页，共32页，2023年，2月20日，星期六2、二项分布的数学期望与方差

E(X)=np

D(X)

=

np(1－p)例

（教材P153例9）第19页，共32页，2023年，2月20日，星期六（三）泊松分布

1、定义：设随机变量X的分布律为

（k=0,1,2,…） 称X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布。

记作X～P(λ)。泊松分布用来描述指定时间内某一事件

发生次数的分布。如：某市早晚高峰期内通过某路口的车辆数分布；

某市除夕日被爆竹炸伤人数的分布；

某景点十一黄金周接到游客投诉电话次数分布。第20页，共32页，2023年，2月20日，星期六2、泊松分布的数学期望与方差E(X)

=λ

D(X)=

λ例

（教材P153例10）

第21页，共32页，2023年，2月20日，星期六一、概率密度函数

X为连续型随机变量，x为任一实数，

若函数(x)表示变量X的分布情况，

即X取值的规律，称(x)为概率密度

函数，或称概率分布。性质

♦对任意实数x，(x)≥0

♦对于任意x1<x2，X在其区间（x1，x2）

的概率P(x1<X<x2)是函数(x)的曲线

下从x1到x2的面积；

♦

(x)曲线与x轴构成的面积为1，即

P(－∞<X<＋∞)=1。第22页，共32页，2023年，2月20日，星期六二、常见的连续型随机变量（一）均匀分布（一致分布）

若随机变量X的密度函数为

0其他则称X服从[a，b]上的均匀分布记作X～U[a，b]

第23页，共32页，2023年，2月20日，星期六如果X在[a，b]上服从均匀分布，则对

任意满足的a，b有X取值于[a，b]中任一小区间的概率与

该小区间的长度成正比，而与该小区间

的具体位置无关。例（教材P158例3）第24页，共32页，2023年，2月20日，星期六

均匀分布的数学期望与方差

在区间[a，b]上均匀分布变量X的数学

期望和方差为：第25页，共32页，2023年，2月20日，星期六（二）正态分布1、正态分布

若随机变量X的密度函数为

μ、是参数（－∞<μ<+∞，σ

>0）则称X服从参数为μ和的正态分布,

记作X～N(μ，)

式中的μ是正态随机变量X的均值,即E(X)=μ

式中的是正态随机变量X的方差,即D(X)=第26页，共32页，2023年，2月20日，星期六关于密度函数的图形1)图形是关于x=μ

对称的钟形曲线，

且峰值在x=μ处取得。2)方差越小，曲线峰值越大，曲线

越狭长；方差越大，曲线越平坦。3)当x→±∞时，→0，即以x轴

为渐近线。第27页，共32页，2023年，2月20日，星期六2、标准正态分布

若正态分布N(μ

，)中的参数

μ=0，σ=1时，其分布N(0，1)

称为标准正态分布。