数学物理方程的导出

数学物理方程的导出第1页，共50页，2023年，2月20日，星期六本篇主要内容：二阶线性偏微分方程的建立和求解重点：数学物理方程求解方法中的分离变量法。特点：加强物理模型和数学物理思想的介绍，以便充分了解模型的物理意义，有利于根据数学物理模型建立数学物理方程。

第2页，共50页，2023年，2月20日，星期六第二篇绪论数学物理思想数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程。数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理现象和普遍规律。第3页，共50页，2023年，2月20日，星期六在科学技术和生产实际中，经常要研究空间连续分布的各种物理场的状态和物理过程，例如电磁波在空间和时间中的变化，半导体扩散工艺中杂质浓度在硅片中的分布和随时间变化关系等等。总之，是研究某个物理量在空间某个区域的分布以及它怎样随时间变化。其中的自变数不仅仅是时间，而且还必须包括空间坐标。解决这些问题，首先必须掌握所研究的物理量在空间中的分布规律和时间中的变化规律，这就是物理课题中所研究并加以讨论的物理规律。物理规律反映同一物理现象的共同规律，即普遍性，亦即共性。第4页，共50页，2023年，2月20日，星期六个性：同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性，即个性。物理规律不反映这种个性。

例如，半导体扩散工艺中，有“恒定表面浓度扩散”和“限定源扩散”。前者是表面杂质浓度一定，后者是杂质总量一定，虽扩散规律一样，但其结果显然不同。又如电磁波在空间的传播。因此，为解决具体问题，必须考虑“环境”的影响，即边界所处的物理状况——边界条件。第5页，共50页，2023年，2月20日，星期六同时，研究问题还不能割断历史。

例如同一根琴弦，用不同的东西去敲，发出的声音是不一样的。虽然其振动是按照同一规律进行，但是由于所谓“初始”时刻的振动是不一样的，故后来振动也不一样。又如，不同初始浓度的硅片杂质扩散，在相同的工艺条件下，其扩散结果也是不一样的。故还必须考虑研究对象特定“历史”，即初始时刻的状态——初始条件。第6页，共50页，2023年，2月20日，星期六边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和历史，即问题的特殊性。在数学上，边界条件和初始条件合称为定解条件。物理规律用数学的语言“翻译”出来，往往是偏微分方程——数学物理方程。数学物理方程，作为同一类物理现象的共性，跟具体条件无关。在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作泛定方程。第7页，共50页，2023年，2月20日，星期六声振动是研究声源与声波场之间的关系热传导是研究热源与温度场之间的关系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法国数学家）方程表示的是电势（或电场）和电荷分布之间的关系定解问题从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系．第8页，共50页，2023年，2月20日，星期六根据分析问题的不同出发点，把数学物理问题分为正向问题和逆向问题.不同出发点

正向问题，即为已知源求场

逆向问题，即为已知场求源.

前者是经典数学物理所讨论的主要内容。后者是高等数学物理（或称为现代数学物理）所讨论的主要内容。第9页，共50页，2023年，2月20日，星期六多数为二阶线性偏微分方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程热传导问题和扩散问题满足热传导方程静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程数学物理方程的类型和所描述的物理规律第10页，共50页，2023年，2月20日，星期六三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程波动方程为代表抛物型方程热传导方程为代表椭圆型方程泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程第11页，共50页，2023年，2月20日，星期六第七章数学物理定解问题1、数学物理方程的导出2、定解条件3、数学物理方程的分类4、达朗贝尔公式第12页，共50页，2023年，2月20日，星期六7.1.1波动方程的建立1、弦的微小横振动考察一根长为且两端固定、水平拉紧的弦．讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要确定弦的运动方程，需要明确：确定弦的运动方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛顿第二定律

（3）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）

要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

7.1数学物理方程的导出第13页，共50页，2023年，2月20日，星期六注意：物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设才能使方程简化。数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端点之外的任何位置作为考察点。图7.1第14页，共50页，2023年，2月20日，星期六

根据牛顿第二定律方向运动的方程可以描述为

作用于小段的纵向合力应该为零：

(7.1.2)仅考虑微小的横振动，

夹角为很小的量，忽略及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有（7.1.1）

第15页，共50页，2023年，2月20日，星期六注意到:故由图7.1得这样，(7.1.1)和(7.1.2)简化为(7.1.3)(7.1.4)第16页，共50页，2023年，2月20日，星期六因此在微小横振动条件下，可得出

，弦中张力不随而变，

可记为

故有

(7.1.5)变化量可以取得很小，根据微分知识有下式成立

这样，段的运动方程(7.1.5)就成为

(7.1.6)第17页，共50页，2023年，2月20日，星期六即为讨论：（1）设弦的重量不能忽略不计，则弦振动方程为怎样形式？

（7.1.7）上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程．

其中（7.1.8）

第18页，共50页，2023年，2月20日，星期六(2)如果在弦的单位长度上还有横向外力作用，则式(7.1.7)应该改写为

(7.1.9)式中称为力密度

，为时刻作用于处单位质量上的横向外力式（7.1.9）称为弦的受迫振动方程。第19页，共50页，2023年，2月20日，星期六2、均匀杆的纵振动（7.1.10）可得

（7.1.11）

这就是杆的纵振动方程。图7.2从图容易得到B段的伸长为而相对伸长则为确切的说，相对伸长随地点而异，B的两端相对伸长不一样。根据胡克定理，B段的运动方程为：第20页，共50页，2023年，2月20日，星期六讨论(1)对于均匀杆，和是常数，(7.１.11）可以改写成（7.１.12）

其中这与弦振动方程（7.１.8）具有完全相同的形式．（2）杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程（7.１.9）完全一样，只是其中应是杆的单位长度上单位横截面积所受纵向外力第21页，共50页，2023年，2月20日，星期六第22页，共50页，2023年，2月20日，星期六3*、传输线方程（电报方程）

（7.1.13）

同理可得：

(7.1.14)

式（7.1.13）及（7.1.14）即为一般的传输线方程。图7.3第23页，共50页，2023年，2月20日，星期六(1)无失真线

(7.1.15)

其中(2)无损耗线（7.1.16）

(7.1.17)

具有与振动方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同第24页，共50页，2023年，2月20日，星期六(3)无漏导，无电感线（7.1.18）

(7.1.19)它们具有与下节将讨论的一维热传导方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同．第25页，共50页，2023年，2月20日，星期六7.1.2

热传导类型方程的建立

1、热传导方程

第26页，共50页，2023年，2月20日，星期六图7.3第27页，共50页，2023年，2月20日，星期六或写成

(7.1.21)第28页，共50页，2023年，2月20日，星期六第29页，共50页，2023年，2月20日，星期六

2、扩散方程

(7.1.24)

其中将一维推广到三维，即得到

(7.1.25)上述方程与热传导方程具有完全类似的形式

第30页，共50页，2023年，2月20日，星期六若外界有扩散源，且扩散源的强度为这时，扩散方程应为（7.1.26）

从上面的推导可知，热传导和扩散这两种不同的物理现象，但可以用同一类方程来描述。第31页，共50页，2023年，2月20日，星期六7.1.3静电场的电势方程上两方程分别称为泊松方程和拉普拉斯方程。第32页，共50页，2023年，2月20日，星期六2、稳定温度分布导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程（7.1.22)，(7.1.23)即为下列拉普拉斯方程和泊松方程.

(7.1.29)

(7.1.30)第33页，共50页，2023年，2月20日，星期六总结三类典型的数学物理方程双曲型方程波动方程为代表抛物型方程热传导方程为代表椭圆型方程泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程第34页，共50页，2023年，2月20日，星期六作业P1521,4（7.1.8）

推导不忽略重力时的弦振动方程第35页，共50页，2023年，2月20日，星期六7.2定解条件7.2.1初始条件对于随着时间发展变化的问题，必须考虑到研究对象的特定“历史”，也就是某个所谓“初始”时刻的状态，即初始条件。1、波动方程的初始条件

第36页，共50页，2023年，2月20日，星期六例7.2.1

一根长为的弦，两端固定于和,在距离坐标原点为的位置将弦沿着横向拉开距离

，如图7.4所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。

b

xuolh图7.4

解:初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有初始位移如图所示

第37页，共50页，2023年，2月20日，星期六2、热传导方程的初始条件对于输运过程（扩散，热传导），初始状态指的是研究的物理量的初始分布（初始浓度分布、初始温度分布）。因此，初始条件为（7.2.2）

其中是已知函数。3、没有初始条件的问题在周期性外源引起的输运问题或周期性外力作用下的振动问题中，经过很多周期后，初始条件引起的自由运输或自由振动可以认为消失，这样就完全可以忽略初始条件的影响，这类问题称为没有初始条件的问题。稳定场问题（静电场、稳定浓度分布，稳定温度分布等）根本就不存在初始条件问题，无需多说。第38页，共50页，2023年，2月20日，星期六7.2.2边界条件研究具体的物理系统，还必须考虑研究对象所处的特定“环境”，二周围环境的影响通常体现为边界上的物理情况，即边界条件。常见的线性边界条件分为三类：第一类边界条件

直接规定了所研究的物理量在边界上的数值（7.2.3）

第39页，共50页，2023年，2月20日，星期六第二类边界条件

规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值（7.2.4）

第40页，共50页，2023年，2月20日，星期六第三类边界条件

规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值（7.2.5）

其中是时间的已知函数，为常系数．

第41页，共50页，2023年，2月20日，星期六第42页，共50页，2023年，2月20日，星期六第43页，共50页，2023年，2月20日，星期六7.2.3衔接条件由于某些原因，研究的区域里出现跃变点，泛定方程在跃变点失去意义，把跃变点两边连接起来需要满足的条件称为衔接条件。第44页，共50页，2023年，2月20日，星期六例7.2.2

长为的弦在端固定，另一端自由，且在初始时刻时处于水平状态，初始速度为，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题.

【解】（1）确定泛定方程：取弦的水平位置为轴，为原点，弦作自由（无外力）横振动，所