南京邮电学院《信号与系统》信号3.7-9

3.7相关函数和谱密度(只讲3.7.1)描述平均功率随频率的分布情况。平均功率也可以在频域内获得，称为帕什瓦尔定理：周期信号的平均功率为称为功率信号的功率谱。.1.能量信号：有能量谱密度；2.功率信号：有功率谱密度。下面讨论在频域中如何计算能量？能量信号的能量定义为由非周期信号有.对于为实函数的情况，有，得.上式称为帕什瓦尔等式，或能量等式。表明能量信号的能量不仅可以从时域中求取，也可以从频域中求取。曲线称为信号的能量谱曲线定义：为能量谱密度。简称能量谱。.可以理解为信号的能量是由其所有频率分量的贡献而合成的，信号的总能量是轴上的积分值。显然，能量谱只与信号的幅度谱有关，与相位谱无关。如A.如信号上式可以帮助我们计算一些积分。且由帕什瓦尔等式可得可以方便的求出积分的值来。.作为能量谱密度的应用，介绍信号的脉冲宽度(脉宽)和频带宽度(带宽)的一般概念。对于一个矩形脉冲来说，其脉宽：它的频谱存在零交点，定义为其脉宽。但它没有普遍意义。如高斯脉冲，它在时域和频域中都没有零交点。.定义有效脉冲宽度为一般取定义有效频带宽度为同样取一般选用较小的脉冲信号。.3-8连续系统的频域分析前面讨论了连续信号分析的内容。傅里叶变换有两大作用：一.信号的频谱分析（时域、频域全面了解了一个信号）二.信号作用于线性系统时，频域求解其零状态响应；直观了解输入、输出信号频谱和系统的频率特性。.讨论信号作用于线性系统时在频域中求解零状态响应的方法，又称频域分析法。由线性时不变系统的数学模型两边取傅氏变换，用时域微分性质，得频域分析法的理论基础是时域卷积定理。一.系统函数的意义.显然，冲激响应和系统函数是一对傅氏变换。.系统函数可以从微分方程直接求得。它是响应傅氏变换与激励傅氏变换的比。它同样表征了系统自身的特性，与输入波形无关。其分子、分母均为j的多项式之比。傅氏分析法的步骤：1.求取的傅氏变换；2.确定系统函数；3.计算；4.取的反变换，得。可见，意义重大，下面重点讨论它。.1.由当时，由，得2.设激励假设为参变量（一个确定的实数）由时域卷积分析法，得.这说明，虚指数信号作用于系统时，其零状态响应仍为同频率的虚指数信号，不同的仅仅是零状态响应（也是稳态响应，也是强制响应；也为激励是从加上的，所以，自然响应为零）是激励加了个权。所以，系统函数也可定义为在激励下的响应.我们下面更深一步理解傅氏变换的物理意义：实质上，在时域中，把信号分解为无穷多个冲激信号分量的和；而在频域中，把信号分解为无穷多个虚指数信号分量的和。如果把积分号看成是求和号，则在范围内，.的分量为则响应的分量为把无穷多个响应分量叠加起来，得即.傅里叶分析法是把信号分解为无穷多个无时限虚指数信号之和，即单元信号是，先求取各个单元信号作用于系统的响应，再叠加。实际上，电路分析中的相量法，仅仅是取为常数，又取其实部时的情况。或者说，相量法是频域分析法中单一频率的特例。（这也解释了虚指函数的实际意义）二.的求法.1.从微分方程直接求解;(方程两边取傅氏变换)2.从系统的冲激响应3.设激励为求其响应；4.由电路模型求得。例：已知微分方程求：系统函数。解：(1)对方程两边求傅氏变换，可得.(2)若由第二章已经求得冲激响应为对冲激响应求傅氏正变换，得当然，很多情况下是反向运作，用来求的。.(3)设这时的响应为,代入原微分方程，得响应与激励之比，为.例：求图示电路的系统函数。+-Lc+-解：先画出其零状态频域电路模型：+-+-(即：把电路中的所有元件都进行傅氏变换：其中包括电源、支路电流和电压、无源元件－电感L用

表示；电感C用

表示；电阻R不变).下面的计算与电路分析中的方法也一样。本例由分压公式，得.得响应傅氏变换与激励傅氏变换之比，为注意：系统函数的定义是:可见，如果已知电路，可不必先求得微分方程；然后再求冲激响应；最后求得系统函数。而可以直接求得。当然，通过还能得到微分方程。响应傅氏变换与激励傅氏变换之比。.三.系统的频率特性总称系统的频率特性.可见，系统

的频率特性与实信号的频谱密度函数的特性相类似。即：幅频特性是偶函数；相频特性是奇函数。但也有不相同的地方：系统带宽(不同于信号带宽)一般定义为等于最大值的处的频率为(称为半功率点频率，或截止频率或3分贝频率)作为系统带宽的根据。如系统为低通滤波器时系统带宽为等等。.由公式可以清楚的看到：响应的频谱取决于激励的频谱和系统的频率特性。例：RC低通滤波器RCV1

V2

＋－＋－式中。通带宽度为。.幅度频谱为相位频谱为显然，激励频谱分别为在频域中很容易判定失真的大小.傅氏分析法与卷积分析法比较相同之处：都是对信号作单元信号的分解，求取系统在各个单元信号作用下的响应，然后再进行叠加。不同之处：分解的单元信号不同，前者是求响应的变换域的方法，后者是求响应的时域积分的方法。卷积运算稍显麻烦，而傅氏分析法，则计算比较简便。.例：某系统的微分方程为试求全响应。.该系统的齐次微分方程为.零输入响应的通解为.....求系统的响应y(t)1-10-50510很明显，激励信号是周期信号，其基波频率为5.解：取输入信号的傅氏变换得1-10-50510-10-50510.取上式的傅里叶反变换，得可见，输入信号通过系统后，直流分量不变，基波分量幅度衰减为一半，且相移90度，二次谐波分量被完全滤除。例子也说明通过频域分析使问题的解决变得非常容易。.例：已知求：1.2.3.＋－＋－解：画频域等效图；得.反变换，得如果用时域求解：如果用频域求解：.频域分析法小结：1.只能求零状态响应；(由傅氏变换定义，无法表示初始条件)2.反变换有时不太容易;(如激励是)故一般情况下求到就为止了。3.从频域的观点来看，激励与响应的差异概念十分清楚；4.可以用代数方程代替微分方程卷积求解。.用傅氏分析法要注意的一点：如两边傅氏变换，得本来是因果系统，结果却是非因果的响应。原因是上述过程隐含.即，上式只能得到其实：上述等式都成立。这里，取A＝1。即得即：系统分析时，要尽量满足响应是因果的。.部分分式展开法注意点：需展开的分式必须是真分式。如得最后得.3-9信号的无失真传输和理想滤波器下式显示了输入信号通过系统后频谱的变化。用极坐标表示：一般情况下，输出信号与输入信号波形不同。.如前面讨论的低通滤波器，它的幅度频谱随着频率的增加而减少；相位频谱也是一条通过原点的曲线。1.幅度失真；2.相位失真。一般地，信号通过线性系统引起的失真称为线性失真。3.9.1无失真传输.如果输出信号和输入信号之间的幅度成一定的倍数，波形保持相同，允许保持一定的延时，这种传输叫无失真传输。有时要求输出信号重现输入波形，没有失真。无失真传输.无失真传输系统时域表示：上式的傅里叶变换为(无失真传输系统时域表示)系统函数为无失真传输系统应满足的两个条件：.k信号的无失真传输条件.3.9.2理想滤波器理想滤波器能在某一频带内无畸变地传输信号并抑制其它频谱分量。1理想低通滤波器的频率特性.理想滤波器的冲激响应理想低通与理想系统相比，通带不为无限大。故称为“带限系统”。如果输入是一个有限带宽(即小于)的信号.下面讨论理想低通的单位冲激响应：方法一：利用傅氏变换定义来做：.由对称性：方法二：利用傅氏变换性质来做：由变换对：最后考虑时移因子，得.定义：上升时间，为可见，系统失真了。再讨论其阶跃响应：.显然，上升时间与理想低通的带宽成反比。S显然失真了。信号通过的即使是理想低通滤波器，也有可能产生失真。失真的大小取决于：1.理想系统的带宽；2.输入信号的带宽。.推广：理想高通滤波器、理想带通滤波器等等。它们都是非因果系统。从频域的角度来证明理想滤波器的非因果性是十分方便的。工程上为了方便，还是经常用理想系统讨论问题。理想低通滤波器是非因果系统，物理上是不可实现的。实际滤波器或称物理可实现的滤波器必须首先满足时，冲激响应为零。.例：已知系统图，试画出A,B,C和D点的频谱。.解：由卷积定理.例：某线性时不变系统的频率响应基本变换对：.-202-660.-6-4460-11由变换对：.3.11取样定理(只讲时域取样定理)根据调制定理，可以把信号搬移到不同的频段来实现“频分多路通信”。（频分复用）可以想象：‘连续信号’是否能不全部传输到对方，而仍然保留“信号的全部信息”。以两路信号的传输为例，说明“时分多路通信”是可能的。(时分复用)(这也是引入‘离散信号’的基础).一.取样与取样信号利用取样脉冲序列从连续时间信号中抽取一系列离散的样值的过程称为取样。取样后得到的离散信号称之为取样信号。直观取样的例子：.开关周期地来回动作（等间隔取样）开关接触1的时间；开关转换周期。用数学表达：......取样脉冲(时域相乘)的结果相当于通过一个乘法器.二.理想取样由频域卷积定理.().由于这时响应信号的频谱没有被破坏，从频域的观点，它没有丢失原信号的任何信息。当取样频率大于或等于信号带宽的两倍，可从这恢复原信号。定义为奈奎斯特取样率。.三.自然取样用矩形脉冲序列代替理想冲激序列。10t.由频域卷积定理..时域取样定理可见，取样定理必须满足两个条件：一个在频谱区间()以外为零的频带有限信号(带限信号)，可以唯一地由其均匀时间间隔上的取样值确定。1.必须为带限信号，即在时，其频谱；2.取样频率不能过低，必须满足。.与时域相对应，还有频域取样定理。根据时域与频域的对称性取样定理同时也说明了时域中不易解决的问题频域中很容易得到严格的证明。三.重新恢复过程(信号的又一种叠加形式)取样后的信号如果通过严格理想低通滤波器。就可以恢复原信号。.在频域中乘一个门函数，这里假设是理想取样，得得在时域中：.用代入所以，这里得.得可见，任意信号可以分解为无穷多个取样函数的代数和。.0100.5例：设为带限信号，带宽为，频谱如图