数值分析课件赖志柱

数值分析课件赖志柱1第1页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis第二章插值法

2.1引言2.2拉格朗日(Lagrange)插值2.3均差与牛顿插值多项式2.4Runge现象与插值多项式的收敛性2.5Hermite插值2.6分段插值2.7反插值2第2页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis2.1引言2.1.1插值问题的提出2.1.2多项式插值2.1.3插值问题的一般提法3第3页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis2.1.1插值问题的提出插值法是一个古老而实用的数值方法，它来自生产实践。我国隋唐时期制定历法时就应用了二次插值，隋朝刘焯（公元6世纪）将等距二次插值应用于天文计算。17世纪，牛顿(Newton)和格雷哥里(Gregory)建立了等距节点上的一般插值公式。18世纪，拉格朗日给出了更一般的非等距节点上的插值公式。4第4页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis近半世纪由于计算机的广泛使用和造船、航空、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上都得到了进一步的发展，尤其是20世纪40年代后期发展起来的样条函数(spline)插值，更获得了广泛应用，成为计算机图形学的基础。实际问题中遇到的函数f(x)是多种多样的，有的表达式很复杂，有的甚至没有给出表达式，只提供了一些离散点上的函数值或导数值。5第5页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis例如，给定了函数在中互异的个点的值，或者给出了函数的一个表，我们的任务是根据这个表，寻求一个函数来逼近。6第6页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis7第7页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis对插值问题的思考第一步是根据实际问题选择恰当的函数类；第二步是具体构造的表达式。当然还得考虑插值问题是否可解，如果有解，解是否唯一；插值函数逼近于的误差如何估计，即截断误差的估计；进一步，当插值节点无限加密时，插值函数是否收敛于，即插值收敛问题。8第8页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis2.1.2多项式插值9第9页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis求插值函数的方法称为插值法，插值点在插值区间内的叫内插值，否则称为外插值。10第10页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis若为分段的多项式，就称为分段插值。若为三角多项式，就称为三角插值。若为有理分式(函数)，就称为有理插值。设或表示次数的实系数多项式全体。11第11页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis定理2.1

满足插值条件（2.1）的次代数插值问题的解是存在且唯一的。提示：采用待定系数法和Vandermonde行列式直接证明。12第12页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis2.1.3插值问题的一般提法

13第13页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis14第14页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis定理2.2

满足插值条件（2.4）的次插值多项式存在且唯一。15第15页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis16第16页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis17第17页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis18第18页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis2.2拉格朗日(Lagrange)插值2.2.1Lagrange插值多项式2.2.2插值余项及估计2.2.3线性插值和抛物线插值2.2.4截断误差的事后估计法19第19页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis2.2.1Lagrange插值多项式20第20页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis21第21页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis22第22页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis23第23页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis24第24页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis我们称（2.7）式所表示的多项式为次Lagrange插值多项式（或插值多项式的Lagrange形式），有时也称（2.7）式为次Lagrange插值公式。一般情况下，次Lagrange插值多项式是次数为的多项式，特殊情况下其次数也可能小于。25第25页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis26第26页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis27第27页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis28第28页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis2.2.2插值余项及估计29第29页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis30第30页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis31第31页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis32第32页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis33第33页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis2.2.3线性插值和抛物线插值34第34页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis35第35页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis36第36页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis37第37页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis38第38页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis2.2.4截断误差的事后估计法39第39页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis40第40页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis2.3均差与牛顿插值多项式2.3.1插值多项式的逐次生成2.3.2均差及其性质2.3.3Newton插值多项式2.3.4差分形式的牛顿插值公式41第41页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis2.3.1插值多项式的逐次生成拉格朗日插值多项式结构简单紧凑，在理论分析中比较方便，在数值积分和常微分方程数值方法中经常使用，但当实际应用中增加或减少插值节点时，构造插值多项式的基函数需要重新构造。42第42页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis拉格朗日插值零次式为拉格朗日插值一次式为上式可看成是零次式的修正，即43第43页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis考察有三个互异节点的二次插值，它满足插值条件将表示为显然它满足44第44页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis上式中，令，得45第45页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis46第46页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis2.3.2均差及其性质定义2.2

设函数在个互异点处的函数值，称为函数在上的零阶均差(差商)，称为在上的一阶均差(差商)，称47第47页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis为在上的二阶均差(差商)。一般地，称

(2.16)为在上的阶均差(差商)，即函数的阶差商的差商称为阶差商。48第48页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis在实际计算中，常常采用表2.1所示差商表计算各阶差商。49第49页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis差商是微商的离散形式，且差商有下列几个主要性质：50第50页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis51第51页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis52第52页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis2.3.3Newton插值多项式53第53页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis54第54页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis55第55页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysisNewton插值公式中各项系数即为的各阶差商，且Newton插值多项式满足下述递推关系式（2.21）56第56页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis例2.6已知处的函数值为作4次Newton插值多项式。解：首先作差商表如下57第57页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis从而4次Newton插值多项式为58第58页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis2.3.4差分形式的牛顿插值公式59第59页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis60第60页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis性质1

常数的向前差分为0。性质2

差分算子为线性算子。61第61页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis62第62页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis性质6

函数值与向前差分可以相互线性表出。63第63页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis在牛顿插值公式（2.19）中，利用性质7的差分代替均差。当接近节点头时，令则此时（2.23）

64第64页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis（2.24）

65第65页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis而余项为我们称（2.24）式为牛顿（Newton）向前差分插值公式。（2.25）

66第66页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis67第67页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis68第68页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis69第69页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis70第70页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis2.4Runge现象与插值多项式的收敛性

71第71页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis72第72页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis73第73页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis74第74页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis75第75页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis几点启示（1）节点的加密并不能保证在两点间插值函数很好地逼近。在实际应用中，高次插值很少被采用。（2）考虑寻求新的函数类作插值函数。对Runge引例来说，是一个有理分式，可考虑用有理分式作插值函数，这就是有理分式插值问题。76第76页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis（3）既然导数发生激烈变化，则可考虑修改插值条件，对插值函数的导数进行限制，这就是Hermite型插值问题。（4）在整个大区间上进行插值会出现震荡现象，可考虑将大区间分成几个小区间，再在每个小区间上进行低次插值，这就是分段插值的思想。77第77页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis（5）能否在整个区间上寻找一个新的函数，它不是插值函数，但却仍然是简单函数，该函数不要求在节点处的值等于，但要求它对于大区间中每一点的误差都在允许范围内？这种逼近思想将提出一致逼近的问题。至于插值多项式的收敛性，Faber证明了下面的结论。78第78页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis79第79页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis80第80页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis81第81页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis2.5Hermite插值在对进行插值时，有时不仅要求插值多项式在节点处等于被插函数在这些点处的值，还要求插值多项式的导数在这些点处的值等于的导数在这些点处的值，即带指定导数的插值，这便是Hermite插值。82第82页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis83第83页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis84第84页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis85第85页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis86第86页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis87第87页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis88第88页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis89第89页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis2.6分段插值分段低次插值是指将区间划分为若干个子区间，在每个子区间上采用低次插值多项式逼近被插值函数。常用的分段插值是分段线性插值、分段二次插值和分段三次Hermite插值。2.6.1分段线性插值2.6.2分段三次Hermite插值90第90页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis2.6.1分段线性插值91第91页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis92第92页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis93第93页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis94第94页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis95第95页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis96第96页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis2.6.2分段三次Hermite插值97第97页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis98第98页，共111页，2023年，2月20日，星期六数值分析NumericalAnalysis由Hermite插值多项式可知，当