2019全国I卷文科数学高考真题

2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。3—i.设z=3——，贝Uz=+2iA. 2 B. 33 C.五 D.1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6，},则三二"A. {1,6} b, {1,7} C, {6,7} D.{1,6,7}.已知。=log0.2,b=2o.2,c=0.2o.3,则2A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a J5—1.5-14•古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是-——（-——2 2处0.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此•此外，最美人体的头顶至咽，，，，一， ，一，…，，》、，，「<5—1 ，4一，，人,人一，，，， ，，喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是-——,若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为2105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是A.165cmB.A.165cmB.175cmC.185cmD.190cmsinx+x.函数f⑶二嬴一在［-n,n］的图像大致为C.D.IA.B.C.D.IA.B..某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,・一，1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生.tan255°=A.-2-x/3 B.-2+x汽 C.2-x3 D.2+\；38.已知非零向量a,=2且（a-b）18.已知非零向量a,=2且（a-b）1b,则a与b的夹角为A.C.2n5nD.~69.如图是求 -9.如图是求 -的程序框图2+12图中空白框中应填入/输出//4=正+]A.1A=- 2+A1A= /输出//4=正+]A.1A=- 2+A1A= 1+2A1A=1+——2A10.双曲线C：烂=13>0,b>0）的一条渐近线的倾斜角为130b2则C的离心率为A.2sin40°B.2cos40°C. sin50。D.cos50°11.4ABC的内角A,B,C的对边分别为a1r、bb,孰已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=—，则一二4A.2sin40°B.2cos40°C. sin50。D.cos50°11.4ABC的内角A,B,C的对边分别为a1r、bb,孰已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=—，则一二4cA.6B.5C.4D.312已知椭圆C的焦点为勺(-1，0)，勺】，0)IAB1=1B5l,则C的方程为过F2的直线与C交于AB两点.若IAF^l=2IF2BI,%+y2=1x2 y2—+—=13 2x2 y2—+—=14 3D.x2 y2—+—=15 413.14.记S为等比数列｛a｝的前n项和.若a曲线y=3(13.14.记S为等比数列｛a｝的前n项和.若a15.16.函数f(x)=sin(2x+—-3cosx的最小值为已知NACB=90°,P为平面ABC外一点，PC=2,点P至U/ACB两边AC,BC的距离均为%冷，那15.16.么P到平面ABC的距离为、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：60分。17.(12分)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表:满意不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?“ n(ad-bc)2附：K2= .(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2^k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.(12分)记S为等差数列｛a｝的前n项和，已知S=-a.(1)若a=4,求｛a｝的通项公式;

(2)若a>0,求使得SNa的n的取值范围.19.(12分)如图，直四棱柱ABCD-AF1cpi的底面是菱形，AA:4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,N分别是BC,BB「AD的中点.1(1)证明：MN〃平面CDE；1(2)求点C到平面CDE的距离.1.(12分)(x)为f(x)的导数.已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f(x)为f(x)的导数.(2)若x£［0,n］时，f(x)Nax,求a的取值范围..(12分)已知点A,B关于坐标原点O对称，|AB|=4,0M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上，求。M的半径；(2)是否存在定点P,使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值？并说明理由.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)在直角坐标系xOy中，1在直角坐标系xOy中，1-12 ,1+12411+12(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2pcos0+v3psin0+11=0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值..［选修4-5：不等式选讲］(10分)已知&,b,c为正数，且满足abc=1.证明:111 ,—+—+—<a2+b2+c2；abc '(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3>24.2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学•参考答案一、选择题1.C2.C3.B4.B5.D6.C7.D8.B9.A10.D11.A12.B二、填空题13.y=3x14.5815.416.22三、解答题17.解：40八0因此男顾客对该商场服务满意(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为50=0.8的概率的估计值为0.8.因此男顾客对该商场服务满意30八/女顾客中对该商场服务满意的比率为50=0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.

〃 100x(40x20—30x10)2(2)K2—(2)50x50x70x30由于4.762>3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18.解:(1)设｛a｝的公差为d.n由S=-a得a+4d=0.由@3=4得。］+2d=4.于是a=8,d=-2.因此｛an｝的通项公式为an=10-2n.(2)由(1)得a=-4d，故a=(n-5)d,S=n(n9)d.1 n n 2由a>0知d<0，故S>a等价于n2-11n+10<0，解得1WnW10.1 nn所以n的取值范围是｛nI1<n<10,neN｝.19．解:⑴连结Be，ME.因为M,吩别为吗,bc的中点,所以ME〃Bs,且ME=2Bq又因为N为AD的中点，所以ND=1AD.2111由题设知AB]DC，可得BcLAD，故ME=ND，因此四边形MNDE为平行四边形，11MN//ED.又MNa平面qDE，所以MN〃平面qDE.(2)过C作qE的垂线，垂足为H.由已知可得DE1BC,DE1CC,所以DE,平面CCE，故DE^CH.4<17=17从而CH,平面CDE，故CH的长即为C到平面4<17=17由已知可得CE=1,CC=4,所以CE=<17，故CH4-./17从而点C到平面qDE的距离为~1~.20.解：(1)设g(x)=/'(x),则且⑴=cosx+xsinx_l,g'(x)=xcosx.兀 f71 ) (Tl、当X£(O,3)时，g'(X)>0；当石-,71时，g'(X)<。，所以g(X)在(0；)单调递增，在-,712 J 2 J单调递减.(71A又g(0)=0,g->0,g(7i)=-2,故g(x)在(0,兀)存在唯一零点.12/所以「(工)在(0,兀)存在唯一零点.(2)由题设知/(兀)》颂,/(兀)=0,可得a<0.由(1)知，广⑴在(0,兀)只有一个零点，设为x,且当x£(0,x)时，/'(%)>0；当兀)0 0 0时，f\x)<0,所以/(X)在(o,x)单调递增，在(X,兀)单调递减.0 0又/(0)=0,/(兀)=0,所以，当X£[O,兀]时，/(x)>0.又当〃W0,xe[0,兀I时，axWO,故因此，a的取值范围是(一叫5.21.解：(1)因为。加过点A5,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=。上,且A5关于坐标原点0对称，所以M在直线y=x上，故可设M(g,g).因为OM与直线x+2二。相切，所以。加的半径为r=1〃+21.由已知得於。1=2,又而，40,故可得2〃2+4=(q+2)2,解得q=0或q=4.故OM的半径r=2或r=6.(2)存在定点。(1,。)，使得IMAI—IMP为定值.理由如下：设M(x,y),由已知得。M的半径为r=Lx+2l,1401=2.

由于MO1AO，故可得x2+y2+4=(x+2)2，化简得陶勺轨迹方程为y2=4x.因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线，所以IMP\=x+1.因为IMAI-IMP\=r-IMP\=.x+2-(x+1)=1，所以存在满足条件的定点P.1—t222.解：(1)因为-11—t222.解：(1)因为-1<—1+12+Q:；)=1,所以C的直角坐标方程为x2+y2=1(x丰-1).4l的直角坐标方程为2x+v,3y+11=0.x=cosa,⑵由⑴可设C的参数方程为［y=2sina(a为参数,一兀…兀).4 (一兀+11)4cosI+11), ，一，I2cosa+2x3sina+11IV3TOC\o"1-5"\h\zC上的点到l的距离为 = =——%7 ■门k-3+11k-3+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为％7.当a=———时，4cos323.解：(1)因为a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,c2+a2>2ac,又abc=1,故有ab+bc+ca111a2