2019-2020学年贵州贵阳高二上期末数学试卷理科

2019-2020学年贵州省贵阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题4分，共40分）（4分）若命题p:VxeR,2x-x>0，则「p是（ ）B.VxeR,2x一x„0C.3xeR,2x0-x>0（4分）贵阳市某中学高二年级共有学生1800人，为进行体质监测，现按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为36的样本，已知样本中共有女生17人，则高二年级的男生人数约为（ ）A.850B.950C.1050D.1100（4分）把十进制数19转化为三进制数时，其末位数字是（A.3A.850B.950C.1050D.1100（4分）把十进制数19转化为三进制数时，其末位数字是（A.3B.2C.D.（4分）抛物线y=3X2的准线方程为（A.3x-——4B.x=——12C.3y二一一4D.（4分）平面a的一个法向量是m-（4-｝，平面P的一个法向量是1—12n=（一,-1,3），则平面a与平面P的位置关系是（B.平行AB.平行C.C.既不平行也不垂直D.不确定.（4分）刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率兀，理论上能把冗的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）c3-、：3D.—4兀D.—4兀2兀.（4分）在某校举行的校园十佳歌手大赛中，五位评委给一位歌手给出的评分分别为x1=9.5,x2=9.6,x3=9.7,x4=9.8,x5=9.9，运行程序框图，其中x是这五个数据的平均值，则输出的S值及其统计意义分别是（ ）第1页（共17页）

S=0.02，即5个数据的标准差为0.02S=0.02，即5个数据的方差为0.02S=9.7,即5个数据的标准差为9.7S=9.7,即5个数据的方差为9.7（4分）已知关于变量％,j的线性回归方程为y=0.25%+0.55，且％,y的一些相关数据如表所示，则表格中m的值为（ ）%1234y0.8m1.41.5A.1 B.1.05 C.1.2 D.2（4分）有下列三个命题：①设命题p:若m是质数，则m一定是奇数.那么「p真命题；②在AABC中，"sinA=sinB”是“cosA=cosB”的充要条件；③“若%>1,则I%1>1”的否命题是“若%>1,则I%I1”.TOC\o"1-5"\h\z其中真命题的个数为（ ）A.3 B.2 C.1 D.0（4分）已知椭圆C:宗+y=1（a>b>0）的左右焦点分别为々，F2,焦距为2c.若直线y=—（%+c）与椭圆的一个交点M满足/MFF=2/MFF,则该椭圆的离心率等于（3 21 12）D.<3-1A.3-<5 B.v?-v3 CD.<3-1第2页（共17页）二.填空题（每题4分，共20分）（4分）84和126的最大公约数为.（4分）已知F（-3,0）,F（3,0）是双曲线C的两个焦点，且直线y=区x是该双曲线的12'， 2一条渐近线，则此双曲线的标准方程为一.（4分）如图茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件），若这两组数据的中位数和平均数都相等，则x+y的值为（4分）如图，在三棱锥S-ABC中，已知SA±平面ABC,AB±AC,^A=AC=AB,点E、F分别在SC和BC上，且EC=1SC,BF=1BC,则直线EF与直线AC所成角的3 3余弦值为一.（4分）设P为方程式x+4）2+y2+、.■（x-4）2+y2=12表示的曲线上的点，M、N分别为圆(x+4)2+y2=4和圆(x-4)2+y2=1上的点，则|PMI+1PNI的最小值为三.解答题（每题8分，共32分）（8分）设命题p:方程上+上二1表示双曲线；命题q:“方程二+空二1表示1-mm+2 m22m焦点在x轴上的椭圆”.（1）若p和q均为真命题，求m的取值范围；（2）若pvq为真命题，paq为假命题，求实数m的取值范围.（8分）某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表：组号分组频率第1组[160,165)0.05第2组[165,170)0.35第3页（共17页）

第3组[170,175)①第4组[175,180)0.20第5组[180,185]0.10(1)求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；(2)根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数(结果都保留两位小数).0080.070.060050,040.030.020.01频率组距■■Illi .频率组距0160165170175180185成绩,分兀(8分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，ZDAB=—，侧面AADP为等腰直3角三角形，PA=PD,AB=PB=2，点E为棱AD的中点.(1)求证：PE±平面ABCD；(2)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.(8分)在区间［1,6］上任取一个数记为a，在区间［1,5］上任取一个数记为b.(1)若a,beN*，求直线ax-by=1的斜率为k„1的概率；2(2)若a,beR，求直线ax-by=1的斜率为k„1的概率.2四.阅读与探究(本题8分)(8分)阅读以下材料，然后回答(1)、(2)两个问题：例3如图1,设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0),直线AM,BM的斜率之积是-4,求点M的轨迹方程.9第4页(共17页)

分析：设点M的坐标为(九y)，那么直线AM,BM的斜率就可以用含％,y的式子表示，由于直线AM,BM的斜率之积是-4，因此可以建立％,y之间的关系式，得出点M的轨迹方程.解：设点M的坐标为(％,y),因为点A的坐标是(-5,0),所以，直线AMD的斜率k= (%w—5)AMx+5同理，直线BM的斜率k =上(xw5)BMx-5由已知有：一y—x—y—=——(%w±5)x+5x—5 9化简，得点M的轨迹方程为:化简，得点M的轨迹方程为:x2 y2 + 25100=1(xw±5).(1)如图2,点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M，且他的斜率之积是4,试求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状；9(2)结合阅读材料及(1)的结果，你有什么发现？请写出你的结论(不需证明).以下第(3)问是附加题，考生可选做，做对的2分，不做不扣分.以下第(3)问是附加题，考生可选做，做对的2分，不做不扣分.(3)仿照材料中例3和问题(1),请你提出一个变式问题，不需解答.第5页(共17页)2019-2020学年贵州省贵阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共40分）1.（4分）若命题p:VxeR,2x—x>0，则「p是（ ）VxeR,2x—x„03xeR,2x0-x>0 D.3xeR,2x0-x„0【解答】解：命题为全称命题，则命题p:VxeR,2x—x>0，则「p是3x0eR,2x0-x0„0.故选：D.（4分）贵阳市某中学高二年级共有学生1800人，为进行体质监测，现按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为36的样本，已知样本中共有女生17人，则高二年级的男生人数约为（ ）A.850 B.950 C.1050 D.1100【解答】解：贵阳市某中学高二年级共有学生1800人，按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为36的样本，样本中共有女生17人，则高二年级的男生人数约为：1800x36-17=950.36故选：B.（4分）把十进制数19转化为三进制数时，其末位数字是（ ）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：19+3=6...16+3=2302+3=032故19（10）=201⑶，可得把十进制数19转化为三进制数时，其末位数字是1,故选：C.（4分）抛物线y=3x2的准线方程为（ ）D．1D．112A.x=—4 B.x=—— C.y=—4第6页（共17页）

【解答】解：抛物线y=312的标准方程为：X2=3y,所以抛物线的标准方程为：y=--12故选：D.(4分)平面a的一个法向量是m=(4,1,-g),平面p的一个法向量是n=(2,-1,3),则平面a与平面P的位置关系是( )A.垂直 B.平行C.既不平行也不垂直 D.不确定【解答】解：•一平面a的一个法向量是m=(4,1,-3),平面P的一个法向量是n=(1,-1,3)m产=4x—+1x(-1)+(-一)x3=02 3・二平面a与平面P的位置关系是垂直.(4分)刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率兀，理论上能把冗的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取TOC\o"1-5"\h\z自该圆内接正六边形的概率是( )D.A.垣 B.遥 CD.4兀 2兀 2兀【解答】解：如图所示，设圆的半径为R，则圆的面积为冗R2,圆内接正六边形的边长为R，面积为6x1xR2xsin-=3巫；2 3 23<3R2 _3则所求的概率为P=―2-=3.-R2 2-故选：B故选：B.第7页(共17页)7.（4分）在某校举行的校园十佳歌手大赛中，五位评委给一位歌手给出的评分分别为\=9.5,x2=9.6,x3=9.7,x4=9.8,x5=9.9，运行程序框图，其中X是这五个数据的平均值，则输出的S值及其统计意义分别是（ ）S=0.02，即5个数据的标准差为0.02S=0.02，即5个数据的方差为0.02S=9.7,即5个数据的标准差为9.7S=9.7,即5个数据的方差为9.7【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量155S二一乙（x-x）2,5ii=1由xi=9.5,x2=9.6,x3=9.7,x4=9.8,x5=9.9的平均数为9.7,故S表示5个数据的方差，代入计算可得：S=0.02,故选：B.（4分）已知关于变量x,j的线性回归方程为y=0.25x+0.55，且x,y的一些相关数据如表所示，则表格中m的值为（ ）x1234y0.8m1.41.5A.1 B.1.05 C.1.2 D.2第8页（共17页）【解答】解：5=1+2+3+4=2,5,y=0.8+m+14+1.5=3.7+m,4 4 4样本点的中心为（2.5,374m）,代入线性回归方程为y=0.25%+0.55，得3,7+m=0.25x2.5+0.55,4解得：m=1.故选：A.（4分）有下列三个命题：①设命题p:若m是质数，则m一定是奇数.那么「p真命题；②在AABC中，"sinA=sinB”是“cosA=cosB”的充要条件；③“若%>1,则I%1>1”的否命题是“若%>1,则I%1„1”.其中真命题的个数为（ ）A.3 B.2 C.1 D.0【解答】解：①设命题p:若m是质数，则m一定是奇数.例如2是质数，但是偶数，所以命题是假命题，那么「p真命题；所以①正确；②在AABC中，若sinA=sinB，则A=B，故有cosA=cosB，反之成立，故在AABC中，"sinA=sinB”是“cosA=cosB”的充要条件；②正确；③“若%>1,则I%I>1”的否命题是“若%„1,则I%I„1”.所以③不正确；故选：B.（4分）已知椭圆C:2+y=1（a>b>0）的左右焦点分别为勺，勺焦距为2c.若直\：3线y=——（%+c）与椭圆的一个交点M满足/MFF=2/MFF,则该椭圆的离心率等于（3 21 12）A.3—5 B.<5—<3 C.<3+1 D.<3-1【解答】解：因为直线y=彳3（%+c）过椭圆左焦点，且斜率为m，所以/MFF2=30。，又/MFF=2/MFF,所以/MFF=20。，/FMF=90°,故IMFJ=<3c,IMF21=c,第9页（共17页）

由点M在椭圆上知，c+<3c=2a.故离心率e————^—==、3-1.a1+--.-3故选：D.二.填空题（每题4分，共20分）（4分）84和126的最大公约数为42.【解答】解：126=84+42,84=42x2.84和126的最大公约数为42.故答案为：42.TOC\o"1-5"\h\z（4分）已知F（-3,0）,F（3,0）是双曲线C的两个焦点，且直线y=区x是该双曲线的12'， 2一条渐近线，则此双曲线的标准方程为—三-£=1_.4 5【解答】解：由题意，c=3,双曲线的焦点坐标在x轴上，直线y——x是该双曲线的一条渐近线，所以-——,a2+b2=9,2 a2二.b='5,a=2,・••双曲线C的标准方程为：上-竺=1;45故答案为：上-£=1；45（4分）如图茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件），若这两组数据的中位数和平均数都相等，则x+y的值为12.甲组16甲组16x4乙组3y9【解答】解：由已知中甲组数据：43,51,56,64,60+x；的中位数为56,故乙组数据：45,53,50+y,59,67；的中位数也为65,即y=6,将y=6，代入乙组可得乙组数据的平均数为：56,这两组数据的平均值也相等，故x=6,所以：x+y=6+6=12；故答案为：12.（4分）如图，在三棱锥S-ABC中，已知SA±平面ABC,AB±AC,SA=AC=AB,第10页（共17页）点E、F分别在SC和BC上，且EC=1SC,BF=1BC，则直线EF与直线AC所成角的3 3余弦值为——_.6【解答】解：SA1平面ABC,AB1AC,，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，设SA=AC=AB=3，・「点E、F分别在SC和BC上，且EC=1SC，BF=1BC，3 3...E（0，2，1），F（2，1，0），A（0，0，0），C（0，3，0），EF=（2，-1，—1），AC=（0，3，0），设直线EF与直线AC所成角为0，则“so二lE^ACL二3二旦,EFHACIJ6停6・•・直线EF与直线AC所成角的余弦值为—.6故答案为：—.6（4分）设P为方程\；（，+4）2+y2+、心-4）2+产=12表示的曲线上的点，M、N分别为圆(x+4)2+y2=4和圆(x-4)2+y2=1上的点，则IPMI+1PNI的最小值为9第11页（共17页）【解答】解：P为方程\6+4)2+产+%-4)2+产=12表示的曲线上的点，,•P是椭圆方程为x2+”二1上任意一点，，其焦点坐标为F(-4,0),F(4,0),3620 i 2V两圆：(x+4)2+产=4和(x-4)2+产=1的圆心分别为勺(-4,0)，F(4,0)，又点P为椭圆为x2+”二1上任意一点，3620.•」PFI+1PF21=12，由图可知，IPMI+1PNI的最小值为IPF\+1PFI-3=9；故答案为：9.三.解答题(每题8分，共32分)(8分)设命题p:方程二+=1表示双曲线；命题q:“方程工+上=1表示1-mm+2 m22m焦点在x轴上的椭圆”.(1)若p和q均为真命题，求m的取值范围；(2)若pvq为真命题，paq为假命题，求实数m的取值范围.【解答】解：(1)若p为真命题，则(1-m)(m+2)<0,得m>1,或m<-2,若q为真命题，则m2>2m>0,得m>2,故p和q均为真命题时，取交集得，m的取值范围为：m>2.(2)因为pvq为真命题，paq为假命题，第12页(共17页)

所以p,q一真一假，当p真q假时，［":1或m<一2,解得m<-2，或1<心,Im,,2当p假q真时，『剟m1，无解Im22综上，实数m的取值范围为m<-2或1<m„2.（8分）某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表:组号分组频率第1组[160,165)0.05第2组[165,170)0.35第3组[170,175)①第4组[175,180)0.20第5组[180,185]0.10（1）求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图;组距（2）根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数（结果都保留两位小数）.组距0080.070.060C50,040.030.020.01■ ■ I I I I .0160165170175180185成绩,分【解答】解：（1）由频率分布表的性质得：①处应填写的数据为：1-（0.05+0.35+0.20+0,10）=0.30.完成频率分布直方图如下：第13页（共17页）（2）平均数为:0.05x162.5+0.35x167.5+0.3x172.5+0.2x177.5+0.1x182.5=172.25.0.05+0.35+x=0.5，解得x=0.1,••.：.中位数为：170+0.1=170.10.在(8分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，ZDAB二一，侧面AADP为等腰直3角三角形，PA=PD,AB=PB=2,点E为棱AD的中点.(1)求证：PE±平面ABCD；(2)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.在【解答】解：（1）证明：：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，ZDAB二一,3侧面AADP为等腰直角三角形，PA=PD,AB=PB=2,点E为棱AD的中点.PE±AD,PE=1,BE±AD,BE=<4^1="3,PE2+BE2=PB2, PE±BE,AD^BE=E,「.PE±平面ABCD.••(2)解：以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，A(1,0,0),B(0,<3,0),P(0,0,1),C(-2,<3,0),BA=(1,-+3,0),PB=(0,v3,-1),PC=(-2,<3,-1),第14页(共17页)

设平面PBC的法向量n=（％,j,z）,则卜产=底—z［0- ，取j=1,得n二（0,1,£,［n^C=-2%+J3j-z=0设直线1B与平面PBC所成角为9, 一・•・直线AB与平面PBC所成角的正弦值为：sin9=1BAn1=且=呈.IBA〃nI2出4（8分）在区间［1,6］上任取一个数记为a，在区间［L5］上任取一个数记为b.（1）若a,beN*，求直线ax-bj=1的斜率为k„1的概率；2（2）若a,beR，求直线ax-bj=1的斜率为k„1的概率.2【解答】解：（1）•「在区间［1,6］上任取一个数记为a,在区间［1,5］上任取一个数记为b,a,beN*,/.a=1,2,3,4,5,6,n=1,2,3,4,5.基本事件总数N=6x5=30,直线ax-bj=1的斜率为k„1，即a„!，也就是2a„b,2b2满足条件的基本事件(a,b)有6个，分别是：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),直线ax-bj=1的斜率为k„1的概率P=—=1；2 305(2))在区间［1,6］上任取一个数记为a,在区间［1,5］上任取一个数记为b,a,beR,有序实数对3b）满足s6,而满足直线ax而满足直线ax-bj=1的斜率为k„12］剟a6即11釉