湖南省郴州市白沙圩中学高二数学理模拟试题含解析

湖南省郴州市白沙圩中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题中，正确命题的个数是 （

）① ②③

④⑤ ⑥ A2

B3

C4

D5

参考答案：D略2.如图所示的算法流程图中，第3个输出的数是（）A．1 B．2 C． D．参考答案：B【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】根据框图的结构，依次计算循环体运行的N与A的值，即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：A=1，N=1，循环体第一次运行，输出第一个数1，N=2，满足条件N≤5，A=，输出第二个数为，N=3，满足条件N≤5，A=2，输出第三个数为2，N=4，…故输出第三个数为2．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，正确判断程序终止的条件是关键，属于基础题．3.“所有6的倍数都是3的倍数，某数是6的倍数，故该数是3的倍数”上述推理（

）A．小前提错

B．大前提错

C．正确

D．以上都不正确参考答案：C略4.在△ABC中，，，则△ABC一定是

（

）A、锐角三角形

B、钝角三角形

C、等腰三角形

D、等边三角形参考答案：D5.已知数列{an}为等差数列，首项a1=1，公差d=2，则a5=（）A．6 B．9 C．25 D．31参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【分析】直接利用等差数列的通项公式得答案．【解答】解：在等差数列{an}中，由首项a1=1，公差d=2，得a5=a1+4d=1+4×2=9．故选：B．6.两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则等于（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】由已知，根据等差数列的性质，把转化为求解．【解答】解：因为：=====．故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，以及计算能力．7.在△ABC中，已知∠A：∠B=1：2，角C的平分线CD把三角形面积分为4：3两部分，则cosA=(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；解三角形．【分析】由A与B的度数之比，得到B=2A，且B大于A，可得出AC大于BC，利用角平分线定理根据角平分线CD将三角形分成的面积之比为4：3，得到BC与AC之比，再利用正弦定理得出sinA与sinB之比，将B=2A代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，即可求出cosA的值．【解答】解：∵A：B=1：2，即B=2A，∴B＞A，∴AC＞BC，∵角平分线CD把三角形面积分成4：3两部分，∴由角平分线定理得：BC：AC=BD：AD=3：4，∴由正弦定理=得：=，整理得：==，则cosA=．故选：B．【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，角平分线定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．8.在同一坐标系中，D是由曲线y=cosx，x∈[﹣，]与x轴所围成的封闭区域，E是由曲线y=cosx，直线x=﹣，x=与x轴所围成的封闭区域，若向D内随机投一点，则该点落入E中的概率为（） A． B． C． D． 参考答案：B略9.在3和9之间插入两个正数，使前3个数成等比数列，后3个数成等差数列，则这两个正数之和为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.已知则的大小关系式

A

B

C

D

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知命题p：实数m满足m﹣1≤0，命题q：函数y=（9﹣4m）x是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围为．参考答案：（1，2）【考点】复合命题的真假．【专题】计算题．【分析】由题设知命题p：m≤1，命题q：m＜2，由p∨q为真命题，p∧q为假命题，知p真q假，或p假q真．由此能求出m的取值．【解答】解：∵命题p：实数m满足m﹣1≤0，命题q：函数y=（9﹣4m）x是增函数，∴命题p：m≤1，命题q：9﹣4m＞1，m＜2，∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p真q假，或p假q真．当p真q假时，，无解；当p假q真时，，故1＜m＜2．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查复合命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．12.在△ABC中，150°，则b＝

参考答案：1413.在正项等比数列中，为方程的两根，则等于

.参考答案：6414.已知双曲线中心在原点，一个焦点为，点P在双曲线上，且线段的中点坐标为（，），则此双曲线的方程是

. 参考答案：15.甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标活动，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为、、，则三人中有人达标但没有完全达标的概率为．参考答案：【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】相互独立事件同时发生的概率1减三人都达标与三人都未达标之和；【解答】解：三人中由一人或两人达标，其概率为1﹣﹣=，故答案为：．16.定义某种运算，运算原理如流程图所示，则式子的值为

.

参考答案：12由题意得，∴，∴．

17.一个箱子中装有6个白球和5个黑球，如果不放回地依次抽取2个球，则在第1次抽到黑球的条件下，第2次仍抽到黑球的概率是_________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），定义h（x）=max{f（x），g（x）}=．（1）求函数f（x）的极值；（2）若g（x）=xf'（x），且存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），求实数a的取值范围；（3）若g（x）=lnx，试讨论函数h（x）（x＞0）的零点个数．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为不等式在x∈[1，2]上有解，根据函数的单调性求出a的范围即可；（3）通过讨论a的范围结合函数的单调性判断函数的零点个数即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f'（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）…令f'（x）=0，得x1=0或，∵a＞0，∴x1＜x2，列表如下：x（﹣∞，0）0f'（x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗∴f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为…（2）g（x）=xf'（x）=3ax3﹣6x2，∵存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），∴f（x）≥g（x）在x∈[1，2]上有解，即ax3﹣3x2+1≥3ax3﹣6x2在x∈[1，2]上有解，即不等式在x∈[1，2]上有解，…设，∵对x∈[1，2]恒成立，∴在x∈[1，2]上单调递减，∴当x=1时，的最大值为4，∴2a≤4，即a≤2…（3）由（1）知，f（x）在（0，+∞）上的最小值为，①当，即a＞2时，f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上无零点…②当，即a=2时，f（x）min=f（1）=0，又g（1）=0，∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上有一个零点…③当，即0＜a＜2时，设φ（x）=f（x）﹣g（x）=ax3﹣3x2+1﹣lnx（0＜x＜1），∵，∴φ（x）在（0，1）上单调递减，又，∴存在唯一的，使得φ（x0）=0．Ⅰ．当0＜x≤x0时，∵φ（x）=f（x）﹣g（x）≥φ（x0）=0，∴h（x）=f（x）且h（x）为减函数，又h（x0）=f（x0）=g（x0）=lnx0＜ln1=0，f（0）=1＞0，∴h（x）在（0，x0）上有一个零点；Ⅱ．当x＞x0时，∵φ（x）=f（x）﹣g（x）＜φ（x0）=0，∴h（x）=g（x）且h（x）为增函数，∵g（1）=0，∴h（x）在（x0，+∞）上有一个零点；从而h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上有两个零点…综上所述，当0＜a＜2时，h（x）有两个零点；当a=2时，h（x）有一个零点；当a＞2时，h（x）有无零点…19.已知数列{an}的前n项和为，且，（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，设数列{bn}的前n项和为，证明．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8K：数列与不等式的综合．【分析】（1）利用递推关系即可得出．（2）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）当n=1时，得a1=1，当n≥2时，得an=3an﹣1，所以，（2）由（1）得：，又①得②两式相减得：，故，所以Tn=﹣．20.设（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）当时，在内是否存在一实数，使成立？请说明理由.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，理由详见解析.【分析】（Ⅰ）利用函数解析式和导函数求得切点坐标和切线斜率，利用点斜式得到切线方程；（Ⅱ）假设存在满足题意，将问题转变为证明当时，，利用导数可求得单调性，从而知；则只需证明或即可，经验证成立，所以假设正确，得到结论.【详解】（Ⅰ）当时，

即切点坐标为：曲线在点处的切线的斜率为：所求切线方程为：，即：（Ⅱ）假设当时，在上存在一点，使成立则只需证明当时，即可令，解得：，当时，当时，；当时，函数在上单调递减，在上单调递增则只需证明或即可成立

假设正确当时，在上至少存在一个实数，使成立【点睛】本题考查求解在曲线上某一点处的切线方程、函数中的能成立问题的求解，涉及到导数几何意义的应用、利用导数研究函数的最值问题.解决能成立问题的关键是将问题转变为函数最值问题的求解.21.设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+）的定义域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；命题的真假判断与应用；函数的定义域及其求法．【分析】利用对数函数的定义域是R求得p真，不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立，求出q真时x的范围，再由真值表作出解答即可．【解答】解：∵命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，∴ax2﹣x+a＞0恒成立，?解得a＞1；∵命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立，令g（x）=3x﹣9x，∵g（x）=3x﹣9x=﹣（3x﹣）2+＜0，∴a≥0．∵“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，∴命题p与命题q一真一假．若p真q假，则a∈?；若p假q真，即，则0≤a≤1．综上所述，实数a的取值范围：[0，1]．22.已知函数.(1)若函数的定义域和值域均为，求实数的值；(2)若在上有零点，求实数的取值范围；.(3)若在区间(－∞,2]上是减函数，且对任意的，总有，求实数的取值范围.参考答案：解：（1）在上的减函数，

在上单调递减

且……………2分

……