二维形式的柯西不等式赛后反思 论文

二维形式的柯西不等式的说课及赛后反思王杰

（安徽省芜湖市第一中学241000邮箱：408581559@）摘要：本人基于二维形式的柯西不等式说课经历，从深度解读教材并渗透核心素养、创造探究式教学、重视数学文化的传递三方面对本节课进行了深刻反思.对于深度解读教材培养核心素养有了更深的认识，坚定了在今后教学过程中努力创造探究式教学并积极传播数学文化的信念. 关键词：说课；深度解读教材；核心素养；探究式教学；数学文化

笔者有幸参加了2019年安徽省优质课说课比赛，说课的课题是人教A版选修4-5第三讲第1课时《二维形式的柯西不等式》，赛后笔者对本节课又进行了细致研读，从深度解读教材并渗透核心素养、创造探究式教学、重视数学文化的传递三方面对本节课进行了深刻反思.一、说课呈现

教材分析

1.教材地位及作用本节课的教学内容，是继均值不等式后学习的又一个经典不等式，是前面学习的平面向量和不等式的证明的进一步应用，也是后面学习三角不等式、n维形式柯西不等式的基础，起到承上启下的作用.运用柯西不等式可以解决高中数学中一些比较典型的问题，如不等式的证明、求最值等.2.学情分析

已有知识与能力：

（1）学生系统学习了平面向量、基本不等式和不等式的证明方法.（2）对高中数学的探究方式已经有了比较成熟的认识，心智水平发育都很完善.问题：

（1）柯西不等式的发现过程，是一个难点.（2）对柯西不等式还比较陌生，不知道怎样构造灵活应用柯西不等式.解决方案：

（1）采用平面图形间的面积关系引入新课.（2）从柯西不等式的向量形式出发理解柯西不等式的结构特点和等号成立的条件.3.教学重难点

重点：二维形式的柯西不等式及其向量形式，等号成立的条件及其初步应用.难点：二维形式的柯西不等式的引入及初步应用.1教学目标

1.认识二维形式的柯西不等式代数及其向量形式，了解不等式的结构特征，并能运用柯西不等式初步解决一些简单问题.2.通过对二维形式的柯西不等式的探究、思考和讨论，让学生从数形两个方面认识柯西不等式，体会由特殊到一般、数形结合、类比的数学思想方法.发展学生的逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养. 3.引导学生养成细心观察、认真参与、独立思考的学习习惯.通过生生合作、师生互动，增强学生合作交流的意识，提高学生学习数学的兴趣，感受探索的乐趣，体会成功的喜悦.教学方法

本节课采用问题引导探究的教学方式，在课堂教学中始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过试验操作，设置问题串，引导学生思考、交流、讨论（直观感知、操作确认），调动学生参与活动的积极性，经历知识的形成和发展过程.教学工具

多媒体，ppt：充分发挥它们快捷、生动、直观的特点，有助于加深学生对问题的理解和认识，提高课堂效率.教学过程

1.创设情景、引入新课

情境：类比赵爽弦图给出一个由两组全等的直角三角形和一个小正方形构成的平行四边形，引导学生从中寻找面积之间的等量关系和不等关系.问题1你能用图中给定的数据从面积角度抽象出一个等量关系吗？ 设计意图：类比从赵爽选图中探究基本不等式的教学经验，找到本节课的知识生长点，继续从平面图形面积中所蕴含的等量关系引导学生探究新知，渗透数学抽象核心素养的培养，发展学生的类比思想.2.师生互动、探究新知

由图形中的面积关系可以抽象出如下等式：a2b2c2d2sinabcd(da)(bc)acbd.2由于sin1，所以我们有(a2b2)(c2d2)(acbd)2a2b2c2d2acbd问题2上述不等式中的等号何时成立？分析：sin190AEFDHEAEF∽DHEacadbcbd设计意图：从几何图形中探讨柯西不等式等号成立的条件，突出重点.问题3上述不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2对任意的实数a,b,c,d是否也成立？等号何时成立？ 活动设计：师生互动，小组合作，运用所学知识多角度探索柯西不等式的证明，请小组代表展示探究成果，教师适当地引导、点拨、总结（作差法、分析法、构造法等）.设计意图：将不等式成立的范围由正数区间推广到实数区间，逐渐揭开定理的神秘面纱，培养学生由特殊到一般的数学思想方法，通过自主证明，培养学生自主探究的能力，增强合作交流的意识，获得学习成功的体验，提高学习数学的兴趣.教师板书定理1（二维形式的柯西不等式）)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时若a,b,c,d都是实数，则(a2b2等号成立. 问题4为什么上述不等式会称为柯西不等式呢？（引出对数学家柯西的介绍）

设计意图：通过介绍伟大数学家在数学上的成就，一方面是为了激励学生树立远大目标，激发学习热情.另一方面渗透数学史和数学文化的教育.再论定理分析柯西不等式的一个变式a2b2c2d2acbd的结构特征，引导学生发现其与向量的内在联系.α(a,b,)β(c,d)，则上述变式等价于αβαβ解释：设问题5设α,β是两个向量，则αβαβ吗？等号成立的条件是？分析：从数量积定义来看，αβαβcosαβ，其中为向量α,β的夹角.当α,β共线时等号成立；3结论：αβαβa2b2c2d2acbd(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当α,β共adbc.线时等号成立，此时有设计意图：从柯西不等式的变式中发现其与向量的密切联系，再从代数和几何两个方面验证αβ|αβ|，最后又通过它验证了柯西不等式的正确性，体现了柯西不等式与向量之间的密切联系，充分说明了向量形式是柯西不等式的另一种表现形式，从几何直观上对柯西不等式进行诠释. 教师板书定理2（柯西不等式的向量形式）设α,β是两个向量，则αβαβ，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使αkβ时等号成立.(acbd)2有哪些结构特征问题6柯西不等式(a2b2)(c2d2)平方和（模的平方）的积不小于积的和（数量积）的平方；当且仅当adbc（向量共线）时等号成立. 设计意图：联系向量运算公式，概括柯西不等式的结构特征，易于掌握，便于记忆，这是本节课数与形相结合的完美体现.

3.典例讲解、能力提升例1已知a,b都是实数，证明：(a4b4)(a2b2)(a3b3)22a)2变式：已知a,b都是实数，则(a4b4)(a2b2)(a2bb 活动设计：学生独立思考后，小组交流、讨论，教师请学生谈解题思路和方法，并通过多媒体或板演呈现解题过程.设计意图：例题和变式一方面是加强对柯西不等式结构的认识，强调使用柯西不等式时需要明确公式中a，b，c，d分别对应什么样的量，对应不同，结果不同，并形成解题技能，突出等号成立的条件，训练解题的规范性，提高推理论证能力.此外，通过一题多解（还可以作差）让学生感受柯西不等式的应用价值.例2求函数y=5x-1+5-x的最大值．10-2x的最大值．变式：求函数y=5x-1+设计意图：例2学生很容易从结构特点发现可以使用柯西不等式求最值，进一步加强对公式结构特点的认识，变式的设置是例2的延伸和拓展，让学生明确在使用柯西不等式时往往需要对表达式进行简4单的结构变形，提高学生学生利用重要结论进行推理论证的能力. 4.总结反思、提高认识

知识：（1）（二维形式的柯西不等式）定理1若a,b,c,d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2当且仅当adbc时等号成立.αβ，当且仅当β是零向量，（2）（柯西不等式的向量形式）定理2设α,β是两个向量，则αβ或存在实数k，使αkβ时等号成立.方法：

由特殊到一般：几何图形面积---发现不等式（正数范围）---推广不等式（实数范围）数形结合：两个定理分别从代数和向量形式解释. 构造法：柯西不等式的证明（构造二次函数）及例题2条件较隐蔽，构造柯西不等式解决. 类比：类比基本不等式求最值“正、定、等”步骤，用柯西不等式求最值时也需要从定值和等号成立两个方面进行. 设计意图：通过小结突出重点，使学生对所学知识有一个清晰、完整的认识，学会解决问题的思想和方法，鼓励学生多总结、多反思，并且可以培养学生的抽象概括能力.5.分层作业、自主探究

必做：（1）教材第36页习题3.1第3,5,7,9题

（2）根据两点间的距离公式和三角形的边长关系，发现：x12y12x22y2(x1x2)2(y1y2)2你能由柯西不等式证明它吗？2选做：类比二维形式的柯西不等式，你能写出三维形式的柯西不等式吗？设计意图：新课标指出，不同的学生学习数学获得不同的发展，因而设置分层作业，通过作业，进一步巩固新知，强化基本技能和解题规范化的训练，提高学生应用新知解决问题的能力.选做题为学有余力的学生安排，是本节课内容的延伸与拓展，体现因材施教. 板书设计（略）

教学评价（略）

二、赛后反思：

2.1深度解读教材并渗透核心素养

课程标准和教材是执教者最重要的纲和本，《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：学科核5心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐渐形成的正确价值观念、必备品格和关键能力.数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用过程中逐步形成和发展的.因此，数学教学要树立以发展学生学科核心素养为导向的教学意识，创设有利于培养学生数学核心素养教学环境及问题情境.教材是载体，是编写者写给学习者的书信，但是教材在编写的过程中，限于篇幅，有时会淡化数学知识的生成过程，将一些重要的思维过程一笔带过.因此一线教师应认真研读教材，领悟教材编写者的编写意图，融会贯通的做好教学设计，这里的教学设计应考虑到知识能力应达到什么水平、方法和过程体验需要完成什么目标、情感态度价值观方面有什么要求，真正做到课堂的每个环节都有的放矢，让课堂过程成为落实学科核心素养的沃土.d2)在本节课的引入阶段，我放弃了课本上的引入（类比a2b22ab(a、bR)考虑(a2b2)(c2）主要还是因为没有完全领悟教材的编写意图，认为教材的引入突兀难理解，故而设计了类比赵爽弦图从平面几何图形间的面积关系入手引入新课.后来经过评委老师的点评才幡然领悟课本的设计意图：课本引入式子中(a2b2)(c2d2)(acbd)2(adbc)2的右侧包含明显的向量特征，其中acbd表示向量α(a,b,)β(c,d)的内积，adbc表示向量α(a,b,)β(c,d)的外积.这其中就已渗透二维形式的柯西不等式与向量的内在联系，为后续探究柯西不等式的向量形式铺垫.在例题的设计阶段我通过阅读教参并对例题深入分析，深刻把握两个例题的设计意图（见说课稿），在继续沿用课本例题的同时设置了相应变式，目的是更有层次和直观的体现例题的教学价值.所以我们需要在尊重教材、深度理解教材的前提下，为提高教学效果，达成教学目标才可以灵活地对教材进行优化处理.2.2创造探究式教学

教学的宗旨是教会学生学习，单纯的教，而没有学生的学那不是教学，课堂教学中要努力为学生创造探究式教学的场景，逐步搭建自主学习平台，巧妙设置问题情境，让学生从问题中质疑、尝试、交流，通过观察、分析、类比、猜想、归纳等学习方法，通过生生合作、师生互动解决问题，让学生成为课堂的主体.高效地实现探究式教学需要执教者首先充分了解所教内容的地位和作用，宏观上对课时教学内容进行设计，准确地领悟教学目标.其次是充分认识所教学生的已有认知水平和最近发展区，所有教学策略和教学活动的设计最终落脚点都是为了帮助学生更好的理解知识.最后通过对前面两方面的把握设置恰当的“问题串”调动学生思维，突破学习障碍，凸显教学重点和难点.问题串的设置是决定探究式教学效果的主要因素.本节课为实现探究式教学首先通过设置6个具有关联性的大问题，构建起本节课的一6个整体框架.在具体每个环节中根据学生的表现又设置若干的小问题，例如问题3引导学生探究柯西不等式的证法这一环节，问题3是一个开放性问题，首先面对所有学生，引导学生由易到难、由浅入深地探究，学生基本都会想到作差法或分析法去证明，在这时教师可以继续追问是否还有其它的证明方法（如构造法等，构造fx()=(a2+b2)x2+2(ac+bdx+(c2+d2)³0(0)），该活动过程确保兼顾所有水平的学生，让每一个学生参与到课堂中来，每个学生可根据自己的实际水平思考出不同证明方法，可以让程度弱的学生尝试够一够，同时也可以提升程度较好学生的思维能力，把握数学的本质、找到思考问题的抓手。所有学生不仅能学到知识、形成技能，还能掌握数学探究方法、积累基本活动经验.2.3重视数学文化的传递

《2017年版新课标》指出：数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动.并一再强调要将数学文化融入课程内容.从近几年高考命题来看，数学文化已纳入到考试范围，这至少已经说明我们应当重视数学文化，但是很多与一线教师误认为数学文化就是数学史，这种认识是不全面的.从新课标对数学文化的界定来看，数学文化应包含两个层面：

第一层面是纯粹的数学，数学的知识、方法、思想、精神和数学的形成和发展历史，这些都是实实在在的数学，是数学文化的重要内容，人们所说的数学史包含在这个范畴内.对于广大教师来说首先要把第一层面的数学文化落实好，这是数学的根基，例如本节课教学过程中特意设定一个教学环节介绍伟大的数学家柯西及其研究成果，目的就是激发学生的学习热情，让学生爱学、好学，充满好奇心和求知欲，提高学习兴趣，始终抱有探究世界的积极态度.此外我认为数学教学的本质是教会学生思考，经常听学生说：“一听就懂，一做就错.”产生这个问题的根本原因就是我们没有想给学生听，想给学生看.为解决这个问题，借助数学文化的渗透会起到良好效果。例如在等差数列求和公式的探究过程中我们可以介绍高斯小时候是如何求得“123100”并提出问题高斯是如何想到首尾相加乘以项数除以2的，借助数学文化不仅可以激发学生学习热情，还可以教会学生如何思考，从而习得数学思想方法，掌握以数学的视角看待问题.第二层面是数学与人类活动，这是广义的数学文化，只要与数学相关都属于数学文化的范畴.数学教学的最高境界不是停留在知识传授层面而是教会学生运用数学的眼光看待世界、思考问题.其实本节课在探究柯西不等式的几何意义时也是在渗透数学