高考数学模拟试卷及答案

高考模拟测试数学试题

（满分：150分考试时间：120分钟）

一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.

1.设集合4={尤|一2<%<2},8={刀|》2一4毛,0},则A|JB=（）

A.（-2,4］B.（-2,4）C.（0,2）D.[0,2)

2.已知复数z与（z+2）2-8i均是纯虚数，则z的虚部为（）

A.-2B.2C.-2/D.-2i

3.已知直线/,加和平面且/_La,贝是加〃a的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知万,日是两个夹角为三的单位向量，则，方的最小值为（）

11八3D.B

A.-B.—C.一

4242

5.函数y=2x（lnx+l）在x=l处的切线方程为（）

A.y=4x+2B.y=2x-4C.y=4x-2D.v=2x+4

6.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样,

获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照［0。5）,［0.5,1）,…，［4,4.5］分成9

组，制成了如图所示的频率分布直方图.则估计全市居民月均用水量的中位数是（）

A.2.25吨B.2.24吨C.2.06吨D.2.04吨

7.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是〕,则

6

A.a=7B.。二6

C.a=5D.a=4

8.函数/（力=（总7-l}inx的部分图象大致形状是（）

9.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾八步，股十

五步，问勾中容圆径几何？’‘其意思是：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直

径是多少？”现若向此三角形内投豆子,则落在其内切圆内的概率是（）

3汽3万712K

A.—B.—C.一D.—

201045

10.已知点M（2,%）为抛物线丁2=2〃乂（〃>0）上一点，F为抛物线焦点，O为坐标原点，若

S\MF\^7\MO\.则p的值为（）

A.1或一B.之或3C.3或3D.1或』

4242

11.点C,。是平面0内的两个定点，CD=2,点A,8在平面a的同一侧，且AC=4,3C=2,若AC,6c

5TTIT

与平面a所成的角分别为二，一，则下列关于四面体ABC。的说法中，不正确的是（）

124

A.点A在空间中的运动轨迹是一个圆B.AA6c面积的最小值为2

C.四面体4BC。体积的最大值为2GD.当四面体A8CD的体积达最大时，其外接球的表面

积为20兀

12.已知点A,B,C是函数y=+的图象和函数了=行5皿"一看］,0>0图象的

连续三个交点，若AABC是锐角三角形，则。的取值范围为（）

A6'+8）［。闯D.陷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

（1、3

13.（X2-2X-1）-+2的展开式中的常数项是.

）

22

14.已知耳、鸟双曲线1一2=1（4>0/>0）的左、右焦点，A、8为双曲线上关于原点对称的两点，且满

TT

足AFX±BF｝,ZABFt=—，则双曲线的离心率为.

15.已知数列｛4｝前"项和5“=1%+〃一：，则久的最大值为.

16.如图，等腰△P48所在平面为a,PA上PB，AB=6.G是APAB重心.平面a内经过点G的直

线/将△PAB分成两部分，把点尸所在的部分沿直线/翻折，使点尸到达点?'（尸任平面。）.若P'在平

面a内的射影，恰好在翻折前的线段AB上，则线段P'H的长度的取值范围是.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在ZiABC中，角A,B,C的对边分别是b,c,且2cosBsinC=2sinA-sin5

⑴求C；

(2)若c=G(b—a),AA5c的面积为2日一3,求从

18.如图，在四棱台ABC。—44GA中，底面四边形ABC。为菱形，AA=A4=；A8=1,

ZABC=60J.平面A3CD.

D

B

⑴若点"是AO的中点，求证：C.M±\C-

(2)棱3c上是否存在一点E，使得二面角E-A〃-£＞余弦值为:？若存在，求线段CE的长；若不存

在，请说明理由.

19.红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度》有

关.现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

平均温度x/°c21232527293235

平均产卵数y/个711212466115325

〃/—\/—

）£（西-;r

XyZZ（为-矶Zj—Z

i=\i=l

27.42981.2863.61240.182147.714

-17

表中Z,.=lny,Z=-^Z,.

7,=1

产卵我A

350•

300­

250­

200­

150­

100•

202224262830323436iX/f

(1)根据散点图判断，y=a+灰与y=ce&'(其中e=2.718…为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵

数y关于平均温度x的回归方程类型？(给出判断即可不必说明理由)并由判断结果及表中数据，求出>关于

x的回归方程.(计算结果精确到小数点后第三位)

(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均

不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为〃(0<。<1).

(i)记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为/(.),求/(p)的最大值，并求出相应的概率P。.

(ii)当/(0)取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X，求X的数学期望和方差.

附：对于一组数据(玉,4),(9*2),…,(七*7),其回归直线1=a+的斜率和截距的最小二乘法估计分

7

.^(x,.-x)(z,.-z)

别为：b=—~~Q>a-z-bx-

£(%-才

/=1

1丫22

20.已知离心率为-的椭圆G:*■+方=1(a>6〉0)与抛物线G：丁=4x有相同的焦点F,

尸(L2),。是坐标原点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知直线/：x=〃zy+f与抛物线交于A,8两点，与椭圆交于C,。两点，若八钻。的内切圆圆心始

终在直线P尸上，求AOC。面积的最大值.

21.已知函数/(x)=alnx+x-8cosx.

(1)若a=0,函数/(x)在区间(0,+8)上是增函数，求实数》取值范围;

a

(2)设0<b<l,若存在0<%使/(%)=/(々)，求证：a<0且<

b—1

夜

X=CL~\-------1

2

22.在平面直角坐标系xQy中，曲线G过点。(。，1)，其参数方程为〈:（f为参数，aeR）.以。

V=1H---1

-2

为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕cos2e+4cos。-2=0.

(1)求曲线G的普通方程和曲线G的直角坐标方程;

(2)已知曲线G与曲线。2交于两点，且|PA|=2|P5|,求实数。的值.

23.已知函数/(x)=|x-a|+2a,g(x)=|x+l|.

(1)当。=1时，解不等式〃x)-g(x)W3；

(H)当xeR时，/(x)+g(x"4恒成立，求实数。的取值范围.

答案与解析

一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.

1.设集合4={%|—2<x<2},3={x|炉一4三o},则AUB=()

A.(-2,4JB.(-2,4)C.(0,2)D.[0,2)

［答案］A

［解析］

［分析］先求出集合B,再根据并集定义即可求出.

［详解］因为集合8={x|x2-4x<01={x［0<x<4},

所以Au8={x卜2<x<4}=(-2,4］.

故选：A.

2.已知复数Z与(z+2)2-8i均是纯虚数，则Z的虚部为()

A.-2B.2C.-2/D.—2i

［答案］A

［解析］

［分析］利用复数的乘方运算以及复数的概念即可求解.

［详解］设z="i(beR,且"WO),

则(z+2/—8i=(4+2)2_8i=(4—尸)+(如_8)i；

2［4—/?2=0,

若(z+2)-8是纯虚数，则《,解得b=-2.

')［痴-8w0,

故选：A

3.已知直线/,〃？和平面a,且/_La,则/，机是加〃1的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

［答案］B

［解析］

［分析］从充分性和必要性两方面分别分析判断得解.

［详解］因为/_La,所以：

当/_1_m时，可得mu。或加〃故充分性不成立；

当m〃a时:显然/_1_机成立，故必要性成立.

所以/_L加是m//a的必要不充分条件.

故选：B.

［点睛］方法点睛：判定充要条件常用的方法有三种：

(1)定义法：直接利用充分必要条件的定义分析判断得解；

(2)集合法：利用集合的包含关系分析判断得解；

(3)转化法：转化成逆否命题分析判断得解.

4.已知a,B是两个夹角为g的单位向量，则|扬一@的最小值为()

11C3V3

A.-B.—C.—D.----

4242

［答案］D

［解析］

［分析］根据公式7对所求向量的模进行平方，然后结合二次函数的性质求上5-@的最小值.

［详解］因为万，日是两个单位向量，所以同=i,w=i,

所以|历一a-［kb—-k2b+a-2ka-b-k21^|+|a|cosy

=£―左+1=(上-g)+??；，所以|历

故选：D.

5.函数y=2x(lnx+l)在x=l处的切线方程为()

A.y-4x+2B.y=2x-4C.y=4x—2D.y=2x+4

［答案］C

［解析］

［分析］

先求出导函数，代入x=l可得切线斜率，再求出切点，进而可得切线方程.

［详解］解：由已知/=2(lnx+l)+2x--=21nx+4,

x

则y'L=4,

又％=1时,y=2,

则切线方程为)，=4元-2.

故选：c.

［点睛］本题考查利用导数求切线方程，是基础题.

6.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样,

获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照［0,05),［0.5,1),…，［4,4.5］分成9

组，制成了如图所示的频率分布直方图.则估计全市居民月均用水量的中位数是()

6

06..12

S.8

804

.0

A.2.25吨B.2.24吨C.2.06吨D.2.04吨

［答案］D

［解析］

［分析］利用中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的求解即可.

［详解］由频率分布直方图可知，月用水量在［0,0.5)的频率为0.08x0.5=0.04.

同理，在［0.5,1),［1.5,2),［2,2.5),［3,3.5),［3.5,4),［4,4.5］等组的频率分布为0.08,0.21,0.25,

0.06,0.04.0.02.由l-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=2x0.5xa,解得a=0.30,设

中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,前4组的频率之和

为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5,所以2,x<2.5.由0.50x(%-2)=0.5-0.48,解得x=2.04.

故选：D

［点睛］利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标

即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于

频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.

7.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是〕,则

6

A.a—1B.a-6

C.a=5D.a=4

［答案］C

［解析］

［分析］

分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算累加

并输出满足条件的S值，模拟程序的运行结果，可得a满足的条件为5”。<6,结合选项即可得到答案.

［详解］解：模拟程序的运行，可得：

S=1,k-\

不满足条件A>a,执行循环体，S=l+—匚，k=2

1x2

不满足条件女>a,执行循环体，S=l+」一+」一,k=3

1x22x3

不满足条件A>a,执行循环体，S=l+—!—+」一+—1—,k=4

1x22x33x4

不满足条件%>a,执行循环体，S=l+」一+」一+—'-+」一,k=5

1x22x33x44x5

不满足条件%>a,执行循环体，

S=l+—+—+—+—+—=1+(1--)+(---)+...+(---)=1+1--=—,k=6

1x22x33x44x55x62235666

由题意，此时应该满足条件上〉a,退出循环，输出S的值为

6

故可得5,,a<6,

故选：C.

［点睛］本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，其中利用模拟程序执行过程的方法，求解程序的运

行结果是解答此类问题常用的方法，属于基础题.

8.函数=卜nx的部分图象大致形状是()

［解析］

［分析］判断函数的奇偶性，再根据指数函数的性质和正弦函数的性质，用特殊值法进行判断即可.

［详解］/(x)=fj^7-ljsinx=1^.sinx,显然定义域为全体实数集，

因为/(-%)=-~—•sin(-x)=-——--(-sinx)=-~—sinx=f(x).

l+e~xex+11+e*

所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，因此排除B、D,

当无>()时、有e*>l，因此当xe(O,幻时，sinx>0.所以当xe(O,幻时，/(x)<0,

显然选项A不符合，选项C符合，

故选：C

9.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾八步，股十

五步，问勾中容圆径几何？’‘其意思是：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直

径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是()

3兀3兀„712n

A.—B.--C.——D.—

201045

［答案］A

［解析］

［分析］根据直角三角形的内切圆半径二(。，〃为直角边，。为斜边)，求出圆的面积，再利用几

2

何概型-面积比即可求解.

［详解］由题意两直角边为。=8,6=15,斜边c=而+15?=17'

a+b-c8+15-17

所以内切圆半径厂=

~2—一2

所以落在其内切圆内的概率:

2

n7ix33万

FT万

一XoX1J

2

故选：A

［点睛］本题考查了几何概型的概率计算公式-面积型，属于基础题.

10.已知点M(2,%)为抛物线丁2=2庶,(〃>0)上一点，尸为抛物线的焦点，O为坐标原点，若

8|MF|=7|MO|.则p的值为()

A.1或之B.士或3C.3或3D.I或3

4242

［答案］C

［解析］

［分析］根据抛物线的定义，表示出|〃F|,再根据平面直角坐标系上任意两点的距离公式表示出|明，即可

得到方程，解得即可；

［详解］解：因为点〃(2,%)为抛物线丁2=2*,(〃>0)上一点，尸为抛物线的焦点，所以|"月=2+5，

\MO\=百+%2=74+47，又81M同=7|MO|,所以8(2+=744+4p,即4(4+/?)2=49(1+/?)

解得p=3或p=*

4

故选：C

11•点C,。是平面a内的两个定点，C£>=2,点A,B在平面a的同一侧，且AC=4,BC=2,若AC,6C

5JTTT

与平面a所成的角分别为二,一，则下列关于四面体ABC。的说法中，不正确的是（）

124

A.点A在空间中的运动轨迹是一个圆B.AABC面积的最小值为2

C.四面体4BCD体积的最大值为26D.当四面体ABC。的体积达最大时，其外接球的表面

积为2（比

［答案］C

［解析］

［分析］由题意画出图形，过C作平面a的垂线/,分析可知A在以/为轴线，以C4为母线的上底面圆周上,

可判断A；写出AABC的面积，求出NACB的最小值，可得△MC面积的最小值可判断B；当乙4cB最

大，且平面ACB_L8时，四面体A8C。体积取得最大值，求出最大值可判断C；求出四面体A8C。体积

取得最大值时，其外接球的半径，进一步求出外接球的表面积可判断D.

［详解］如图所示,

则A在以/为轴线，以C4为母线的上底面圆周上，故A正确；

对于B,B在以/为轴线，以CB为母线的上底面圆周上，则SVABC=（AC-sinNACB,由图可知，

TT'JiTTTT'JI'JII

------<ZACB<-+—,即则AABC面积的最小值为S=—x4x2x—=2,故B

4124126322

正确；

对于C,当NACB最大，且平面ACB_LCD时，四面体ABC。体积取得最大值为

—X—x4x2x^^x2=4币,故C错误;

3223

TT

对于D,当四面体ABC。体积取得最大值时，ZACB=-,AC=4,BC=2,利用余弦定理求得

3

AB2=16+4-2x4x2xl=12,满足AB?+BC?=AC?,可得则AABC所在截面圆的圆

2

心为AC中点E,设四面体ABCD外接球的球心为0,则0E±平面A8C,则OE//CD,0E=工CO=1,

2

在直角△OEC中，求得OC=JOE2+EC2=5即四面体A8CO外接球的半径为逐，其表面积为

4">=20",故D正确；

故选：C

［点睛］方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆

的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.

(2)若球面上四点P,4,B,C构成的三条线段PC两两互相垂直，一般把有关元素“补形”成为一个

球内接长方体，PA1+PB2+PC2=47?2

12.已知点A,B,C是函数y=J5sin［&x+?)6y>0的图象和函数y=Csin［tyxqJ,3>0图象的

连续三个交点，若AAHC是锐角三角形，则。的取值范围为()

A.你+8)B.仅+8)C.［0,f］D.陷

［答案］A

［解析］

［分析］作出函数图象，结合锐角三角形的等价条件进行转化，求出三角形的底和高，结合三角函数的相交性

质进行求解即可.

［详解］作出两个函数的图象如图，则根据对称性可知A8=3。，即AABC为等腰三角形，

函数的周期为T=/，且AC=T,

co

取AC中点M，连接BM,则8W_L4C,

要使AABC是锐角三角形，只需要NABM<45”即可,

即tanNABM=<1即可，即AM<BM,

BM

由0sin"x+WJ=J^sin(iyx-?J得sin"x+?)=sinsx一弋

71（九、［兀5万

则CDX~\-71—\（0X---=------CDX,可得0）X=,

3v6J612

则y=5/2sin+yl-41sin+y=V2sin=V2x-1,

即A点的纵坐标为1,则3"=2,

由AM<BM得，AC<3M,即」T<2,则T<4，

22

即也<4,得二，即切的取值范围为+8.

co2<2J

故选：A.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.12_2》_1)(/+2)的展开式中的常数项是.

［答案卜26

［解析］

［分析］首先原式展开，再按照生成法求展开式中的常数项.

［详解］原式=》2(！+21-2x(-+2］-(-+2］，展开式中的常数项是：

lxJ1％JlxJ

21+(-2^)-Cff-1-22+(-l)-23=-26.

I"'^xj

故答案为：-26

22

14.己知耳、B双曲线二一斗=1(。＞0力＞0)的左、右焦点，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，且满

ab“

77

足AFX±BF］,ZAB^=—,则双曲线的离心率为.

1答案］&

［解析］

［分析］可得四边形4与期为矩形，运用三角函数的定义可得，|A制=2csina,忸制=2ccosa由双曲线

的定义和矩形的性质，可得2c|cosa-sina|=2a,由离心率公式求解即可.

fv2

［详解］6、5为双曲线彳—京=1（。>0/>0）的左、右焦点，从《，86

可得四边形AgB月为矩形，

在放△从幽中，Q用=c,.•.|AB|=2c,

在RfZSSB耳中,ZABFt-a,可得|A耳|=2csina,忸耳|=2ccosa,

.•.忸工HA引=||A£|TA勾卜2c|cosa-sina\=2a,

_c_]_1

.•・八1|cosa-sinT及cos(a+£j，

7i/万、7ti

a-——,7.cosa+—=cos—=—,

12I4j32

e=y/2>

故答案为：、历.

［点睛］关键点点睛：得出四边形A心8a为矩形，利用双曲线的定义解决焦点三角形问题.

15.已知数列｛0“｝的前〃项和5.=一4+〃一一，则的最大值为.

33

7

［答案］——

［解析］

［分析］由数列的递推公式可得数列｛4-1｝是首项为-2,公比为-2的等比数列，从而可求得数列｛4｝的通

项公式，写出纵的表达式，分"为偶数和奇数两种情况求得刍出的取值范围即可得解.

an

2424

［详解］已知S=—。—，令〃则百=—q+1—，解得q=-1,

3333

24

当〃N2时t，Si，

22

两式相减，得牝=§。,,一§。,1+1，即4-1=-2(a,i-1)(〃22),

,数列｛4-1｝是首项为一2,公比为—2的等比数列，

.(-2严+1_213

.•.4一1=(一2)",贝必“=(一2)"+1,

a“(-2)n+l(-2)n+l

a,三3,c7,

当"为偶数时，n+=-2+2“+］e(-2,--］；

当“为奇数时，=-2+e［-5,-2).

an-2+1

e［-5,-2)u(-2,-,即也■的最大值为一二.

%5a,5

_,7

故答案为：—

5

［点睛］已知S“求/步骤：

1、先利用4=S1求出力.

2、用n-\替换S“中的〃得到一个新的关系，利用4=s“-S“T(〃>2)便可求出当〃22时a„的表达式.

3、对〃=1时的结果进行检验，看是否符合〃22时凡的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合

写；如果不符合，则应该分〃=1与〃N2两段来写.

16.如图，等腰△尸A3所在平面为a,PALPB,AB=6.G是△出3的重心.平面a内经过点G的直

线I将APAB分成两部分，把点P所在的部分沿直线/翻折，使点P到达点P(P'史平面a).若尸'在平面

a内的射影”恰好在翻折前的线段AB上，则线段户〃的长度的取值范围是.

p

t答案］(o,5］

［解析］

［详解］因为等腰△PAB所在平面为a-PAA.PB'AB=6.

G是"AB的重心，所以可得PA=30,PG=2>

连接P'G,〃G，在RAP0G中，P'G=2,

P'H=yJP'G2-HG2=V4-HG2-

当〃与A重合时"G最大为2,此时P'”最小，P'"=0,(P'与A重合)

作G/7LAB于H，此时G”最小1,产〃最大为JQ=G，

P'H的长度的取值范围是(0,6］，

故答案为(0,6］.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是。，b,c,H2cosBsinC=2sinA-sinB

⑴求C；

(2)若c=&(b-a),△43。的面积为2个一3,求从

JI

［答案］(1)C=§;(2)6=G-1.

［解析］

［分析］

(1)由于sin>4=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,代入2cos3sinC=2sinA—sin5化简得

2sinBcosC=sinB可得答案；

(2)由已知得?=3W+a2-2ab),结合余弦定理得b=2a,由面积公式S=("sinC=2^-3可得答

案.

［详解］(1)由于sin4=sin(3+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以2cosBsinC=2sinA-sinB=2(sinBcosC+cosBsinC)-sinB,

化简得2sinBcosC=sin8,因()<3〈乃，所以sin8>(),

1JI

所以cosC=—,C=~.

23

⑵由⑴得C=(得，由已知条件c=G仅—a)，

得c?=3伊+/一2ab),b>a,

由余弦定理得c?=/+b--lahcosC^a1+b2-ah<

且/?>a,得b=2a,

工n八ic1,.2\/3—3HUh~^32s［^>—3

由面积公式S=—absinC=-------，即一x—=-------

24424

解得力=6-1.

［点睛］本题考查了利用两角和公式、余弦定理、面积公式解三角形，关键点是利用公式熟练进行边角之间的

转换和计算.

18.如图，在四棱台ABCO-AgGA中，底面四边形ABCD为菱形，AA.==^AB=\,

ZABC=60-明,平面45。。.

M

B

(1)若点M是A£＞的中点，求证：C,M±A,C；

(2)棱8C上是否存在一点E，使得二面角E-AR-。的余弦值为g?若存在，求线段CE的长；若不存

在，请说明理由.

［答案］(1)证明见解析；(2)存在，且。七=1—正.

2

［解析］

［分析］(1)取中点Q,连接AQ、4。、AC,以点A为坐标原点，以AQ、A。、A4所在直线分别

为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，计算出不/章:=o,进而可证得

(2)设点E的坐标为(6,40),其中利用空间向量法可得出关于实数4的方程，由题意得出点

£在线段QC上，可求得力的值，进而可求得CE,即可得出结论.

［详解］(1)取中点Q,连接AQ、4C、AC,

因为四边形ABC。为菱形，则AB=BC,QNABC=60°，.1△ABC为等边三角形，

•••Q为6c的中点，则AQL6C,

由于A&_L平面ABC。，以点A为坐标原点，以AQ、A。、A4所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立

空间直角坐标系，如图.

(出1)

则A((),(),0)、4(0,0,1)、A(0,1,1)、Q(6,o,o)、c(73,l,o),C,+，不,1、A/(0,1,0),

I22J

QM=而=M，1，T，

.•.时.而=-|+g+(—1)2=0,1A,C；

(2)假设点E存在，设点E的坐标为(G,4。)，其中一1W/IW1，

荏=便,尢0),⑼=(0,1,1),

设平面的法向量为7=(x,y,z),贝/〃,竺=°,即卜3V=

I')[n-AD,=0[y+z=0

取y=-石，则x=2，z=也,所以，〃=(%—6,月)，

平面的一个法向量为五=(1,0,0),

I--I，小〃21百

所以，COSVW〉==7，解得4=±—，

1j1jmH〃|=_V/^<+..6...32

又由于二面角E-A。—。为锐角，由图可知，点E在线段QC上，所以几=正，即。七=1一走.

22

1同

因此，棱8c上存在一点E，使得二面角E-A。-。余弦值为§,此时。后=1一号.

[点睛]方法点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：

(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；

(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知

限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在.

19.红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度》有

关.现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

平均温度X/°C21232527293235

平均产卵数y/个711212466115325

))2

XyZ之(西―矶Zj-Z七1j—X

/=1/=1

27.42981.2863.61240.182147.714

_]7

表中z,.=lny,z=~YjZi

'i=\

产卵较“

350■

300*,

250•

200•

150­

100-・

50-..・

0La--_i_u__।----1__i»_•।-----

202224262830323436S/t

(1)根据散点图判断，y=a+灰与y=ce&'(其中e=2.718…为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵

数y关于平均温度x的回归方程类型？(给出判断即可不必说明理由)并由判断结果及表中数据，求出>关于

x的回归方程.(计算结果精确到小数点后第三位)

(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均

不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28C以上的概率为

(i)记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为/(.),求/(0)的最大值，并求出相应的概率p0.

(ii)当/(p)取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X，求X的数学期望和方差.

附：对于一组数据(玉,4),(9*2),…,(七*7),其回归直线1=a+的斜率和截距的最小二乘法估计分

.^(x,.-x)(z,.-z)

别为：b=—~~Q>a-z-bx-

£(%-才

/=1

［答案］(l)y=C*更适宜；y=萨72一849；⑵⑴=|||,此时相应的概率为^=|；(ii)E(X)-3,

D(X)咚

［解析］

［分析］

(1)根据题意，得到y=ce"更适宜作为平均产卵数，利用回归方程的定义，直接求解即可：

⑵(i)由/(p)=Cp3(］_p)2,得7(p)=Cp2(］-p)(3—5p),利用导数性质求解即可；

(ii)利用期望和方差的公式进行求解即可

［详解］(1)根据散点图可以判断y=ce"■'更适宜作为平均产卵数V关于平均温度x的回归方程类型.

对,=ce'&两边取自然对数得Iny=lnc+dc,令z=lny,<a=lnc.b=d,^z=a+bx.

40.182

“0.2720,所以a=1一妖=3.612-0.272x27.429«-3.8491

147.714

所以z关于x的线性回归方程为0.272%-3.849，所以》关于8的回归方程为g=e°-272jt-3-849.

(2)(i)由/(p)=C；p3(l—〃)2,得r(p)=Cfp2(i—p)(3—5p),因为

33

令/'(p)>o得3—5“>0,解得0<〃<二；令/'(p)<0得3—5〃<0,解得g<p<l,

所以/(〃)在(0,()上单调递增，在(|』)上单调递减，所以/(〃)有唯一极大值/(|),也为最大值.

所以当p=|时，/(p)nm=|||,此时响应的概率为=|.

(ii)由(i)知，当/(〃)取最大值时，p=|,所以

所以E(X)=5x|=3,