实验五常微分方程初值问题数值解

实验五常微分方程初值问题数值解第1页，共22页，2023年，2月20日，星期六一、基本概念与结论1．常微分初值问题常微分方程特解问题称为初值问题，通常其形式为2．常微分初值问题数值解常微分方程初值问题的解在上的有限个值的近似值称为常微分方程初值问题数值解，其中称为节点，称为步长。通常步长取等距步长,其中为区间的分割数。第2页，共22页，2023年，2月20日，星期六3．单步法4．多步法在计算时只用到的方法，其计算公式为显式单步计算公式隐式单步计算公式式中函数为连续函数，称为增量函数。在计算时不仅用到,还要用到的方法，一般步方法要用到,多步法也有显式方法和隐式方法之分。第3页，共22页，2023年，2月20日，星期六5．数值解法的局部截断误差6．数值解法的阶为该数值方法的局部截断误差。假设某常微分方程初值问题数值解法在没有误差，即，称显式单步法局部截断误差为某常微分方程初值问题数值解的局部截断误差为则称该数值解法的阶为。第4页，共22页，2023年，2月20日，星期六二、Euler折线法

Euler折线法是最简单的求常微分方程数值解的法方。此方法精度不高，实用中较少使用。此方法常用来说明求常微分方程数值解所涉及到的一些问题。1．Euler折线法的构造过程之一设充分光滑，将在点作泰勒展开，得：取其关于的线性部分，有第5页，共22页，2023年，2月20日，星期六注意到，用代替，并将约等号换为等号，得到Euler公式Euler折线法是单步显式方法。其截断误差因此，Euler折线法是一阶方法。由初始条件，借助Euler公式就可依次计算出微分方程初值问题的数值解法，此方法称为Euler折线法。第6页，共22页，2023年，2月20日，星期六将微分方程的初值问题2．Euler折线法的构造过程之二记,从而,则有化成一个代数方程(差分方程),主要步骤是用插商代替微商,于是第7页，共22页，2023年，2月20日，星期六3．Euler折线法的构造过程之三假设及其对的偏导数在包含点的某一邻域内上连续且有界，由牛顿－莱布尼兹公式有取不同的,用不同的近似函数代替可得到不同的数值解法。在上式中，取，而积分用矩形公式，则有左矩形公式：显式Euler折线法右矩形公式：隐式Euler折线法第8页，共22页，2023年，2月20日，星期六对于显式Euler折线法：误差分析：由泰勒公式显式Euler折线法是一阶方法。对于隐式Euler折线法：可见，隐式Euler折线法也是一阶方法。及第9页，共22页，2023年，2月20日，星期六4．Euler折线法的算法

(1)输入函数,初值,变量区间端点及步长;(2)计算节点数和节点;(3)用Euler公式求数值解。例1．用Euler折线法求初值问题的数值解，步长，并在同一坐标系中画出数值解与准确解的图形。5.例题与实验第10页，共22页，2023年，2月20日，星期六三、改进的Euler方法在上述公式中，对积分用梯形公式，有：可得求微分方程初值问题数值解的梯形公式：误差分析：由前可知于是有可见，上述公式是单步隐式公式，且为二阶方法。1．改进的Euler方法的构造过程第11页，共22页，2023年，2月20日，星期六上述方法比Euler折线法阶数高，但是在给定初始条件后要求出数值解，每一次计算的值都要进行非线性方程求根的迭代解法来完成，因此计算量大。为了减少计算量，通常采用先用Euler公式进行一次预测，然后再用梯形公式进行校正，从而得到下一步的值，其计算格式为此方法称为Euler予估-校正法。第12页，共22页，2023年，2月20日，星期六2．Euler予估-校正法的算法

(1)输入函数,初值,变量区间端点及步长;(2)计算节点数和节点;(3)用改进的Euler公式求数值解。3．例题与实验例2．用Euler予估-校正法求初值问题的数值解，取步长和计算，并与准确解进行比较。第13页，共22页，2023年，2月20日，星期六四、Runge-Kutta法1．Runge-Kutta法的构造过程在公式中,仍取,而积分利用积分中值定理，有：为增加求解精度，把写成一个线性组合的形式并用代替,就得到Runge-kutta方法的一般形式上式若选择不同的值，就得到不同形式的Runge-kutta计算公式。第14页，共22页，2023年，2月20日，星期六通常为方便获得Runge-Kutta计算公式，常把Runge-Kutta方法的一般形式写为：利用二元泰勒展开将公式中的在展开并适当的选择参数，就可以得到具体的Runge-Kutta计算公式。第15页，共22页，2023年，2月20日，星期六它的增量函数为时二阶Runge-Kutta计算公式为它的局部截断误差为第16页，共22页，2023年，2月20日，星期六这是4个参数3个方程的方程组，其解有无穷多个。例如可取，可以得到。于是得到一个的二阶计算公式它被称为中点公式。利用在作二元泰勒展开，其阶数为2阶，则有第17页，共22页，2023年，2月20日，星期六经典的Runge-Kutta法是四阶的，其形式为Euler折线法实为一阶Runge-Kutta法。第18页，共22页，2023年，2月20日，星期六2．四阶Runge-kutta法的算法

(1)输入函数,初值,变量区间端点及步长;(2)计算节点数和节点;(3)用四阶Runge-kutta公式求数值解。3．例题与实验例3．用经典Runge-kutta求初值问题的数值解，分别取步长和计算,并与准确解在处进行比较。第19页，共22页，2023年，2月20日，星期六练习题1．用Euler折线法求初值问题的数值解，步长，并在同一坐标系中画出数值解与准确解的图形。2．用Euler折线法求初值问题的数值解，取步长和计算，并与准确解进行比较。第20页，共22页，2023年，2月20日，星期六4．用Euler予估-校正法求初值问题的数值解，取步长和计算，并与准确解进行比较。3．用Euler予估-校