青岛市2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精山东省青岛市2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题含解析高二数学试题一．单择题(本大题共8个小题,每小题5分,满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1。已知复数满足(为虚数单位)，则（)A。 B. C。 D。【答案】B【解析】分析】根据复数除法运算法则，求出，即可得出结论。【详解】.故选：B.点睛】本题考查复数代数运算和共轭复数,属于基础题。2。在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（）A. B。 C. D。【答案】D【解析】【分析】化简得到，得到，，得到答案。【详解】，故,，。故选：.【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.3。函数的最大值是（）A.1 B. C.0 D。【答案】A【解析】【分析】求导函数，求出函数的单调区间,得到函数在处取得最大值。【详解】，令解得在上单增，在单减故选：A【点睛】解决函数极值、最值问题的策略（1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2）函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．4。抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B:“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则的值等于（）A B. C. D。【答案】C【解析】本小题属于条件概率所以事件B包含两类:甲5乙2；甲6乙1；所以所求事件的概率为5。已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（)A。 B。C。 D.【答案】C【解析】【分析】首先通过函数的定义域排除选项A，再通过函数的奇偶性排除选项D,再通过函数的单调性排除选出B，确定答案。【详解】由图象可知，函数的定义域为R,而函数的定义域不是R,所以选项A不符合题意；由图象可知函数是一个奇函数，选项D中，存在实数，使得，所以函数不奇函数，所以选项D不符合题意；由图象可知函数是增函数，选项B,，所以函数是一个非单调函数，所以选项C不符合题意;由图象可知函数是增函数，选项C，,所以函数是增函数，所以选项C符合题意。故选:C【点睛】本题主要考查函数的图象和性质,考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平。6。已知下表所示数据的回归直线方程为y，则实数a的值为x23456y3711a21A.16 B。18C.20 D.22【答案】B【解析】【详解】，代入回归直线方程得，所以，则，故选择B。7.已知函数的图象在点处的切线的斜率为3，数列的前项和为，则的值为（）A。 B. C. D。【答案】A【解析】【分析】由,求导得到,再根据函数的图象在点处的切线的斜率为3，由求解，从而得到，则，再利用裂项相消法求解。【详解】因为，所以，因为函数的图象在点处的切线的斜率为3，所以，解得，所以，数列,所以，。故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和,还考查了运算求解的能力，属于中档题。8.如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率为(）A. B. C. D。【答案】D【解析】【分析】小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，并且相互对立，最终落入③号球槽两次向右，三次向左，根据独立重复事件发生的概率公式，即可求解。【详解】设这个球落入③号球槽为事件，落入③号球槽两次向右，三次向左，，所以.故选:D.【点睛】本题考查独立重复试验概率求法，将实际应用问题转化为概率模型是解题的关键,属于基础题。二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分9.下列说法正确的是（）A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差也变为原来的倍B。设有一个回归方程，变量增加个单位时，平均减少个单位C。线性相关系数越大,两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D。在某项测量中,测量结果服从正态分布,则【答案】BD【解析】【分析】对A,将一组数据中的毎个数据都乘以同一个非零常数后，标准差变为原来的倍;对B，根据回归直线的意义；对C，线性相关系数越大，两变量的线性相关性越强；对D，服从正态分布；对D，根据正态分布曲线关于对称。【详解】对A，将一组数据中的毎个数据都乘以同一个非零常数后,利用公式标准差变为原来的倍，故A错误;对B,设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位,故B正确;对C，线性相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数越接近于0，两个变量的线性相关性越弱，故C错误；对D，服从正态分布，,则位于区域内的概率为0。5，故D正确；故选：BD.【点睛】本题考查标准差,线性回归方程，相关系数，正态分布等，考查对概念的理解与应用。10。在正方形中,，分别为棱和棱的中点，则下列说法正确的是()A。∥平面 B.平面截正方体所得截面为等腰梯形C。平面 D。异面直线与所成的角为60°【答案】ABD【解析】【分析】由∥及线面平行的判定定理知选项A正确；因∥，知平面截正方体所得截面为,故B正确；利用反证法可判断C不正确;因∥，可得异面直线与所成的角为即可判断选项D正确。【详解】如图,因为，分别为棱和棱的中点,所以∥，又平面,平面，由线面平行的判定定理，知∥平面,故A正确；由∥，知平面截正方体所得截面为，是等腰梯形，故B正确；若平面，则，又，，所以平面，而平面，这与垂直于同一平面的两条直线平行矛盾，故C不正确;异面直线与所成的角为，而为等边三角形,故D正确.故选:ABD【点睛】本题考查线面平行的判断、异面直线所成的角、平面的截面问题、线面垂直的判断，考查学生空间想象和逻辑推理能力，是一道中档题.11.若则(）A. B.C。 D.【答案】ABD【解析】【分析】A。利用通项公式求第三项的系数即可。B.根据,令求解.C.先令，得，再令求解。D。令求解.【详解】因为，所以，所以，故A正确。因为，令，得，故B正确。令，得，令得：，所以，故C错误.令，得,所以,故D正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查二项式的通项,二项式系数的和，还考查了赋值法的应用，属于中档题。12。已知为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（）A. B。 C. D.【答案】ACD【解析】【分析】采用逐一验证的方法，通过构造函数，，,，根据这些函数在的单调性可得结果。【详解】设,，则在上恒成立，故函数单调递增，故，即，A正确;设，，则,函数在上单调递增,在上单调递减,故当时,,即，故，B错误；设，，则在上恒成立，故函数单调递增,,即，C正确;设，，则在上恒成立，故函数单调递增，故，即,故，D正确.故选:ACD。【点睛】本题考查了根据函数单调性判断函数值大小关系，构造函数是解题的关键.三．填空题(本大题共4个小题，每小题5分,满分20分）13.在某市举行的数学竞赛中，A,B，C三所学校分别有1名、2名、3名同学获一等奖，将这6名同学排成一排合影,若要求同校的同学相邻，有____种不同的排法．(用数字作答）【答案】【解析】【分析】利用捆绑法将每个学校的同学看成一个整体，计算得到答案。【详解】利用捆绑法将每个学校的同学看成一个整体，则共有种排法.故答案为：。【点睛】本题考查了排列的应用,意在考查学生的理解能力和应用能力。14。设的展开式中的系数为，二项式系数为,则的值为_______.【答案】4【解析】【分析】列出展开式的通项公式，可知当时，为的项，从而可确定二项式系数和系数,作比得到结果。【详解】展开式通项公式为：当，即时，,【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项的系数、二项式系数的问题，属于基础题。15。《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线,"”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线的概率为_______。【答案】【解析】【分析】观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。【详解】八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线的一个，全为阴线的一个，1阴2阳的3个,1阳2阴的3个.抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴,或两卦全是1阳2阴。∴从8个卦中任取2卦，共有种可能,两卦中共2阳4阴的情况有，所求概率为.故答案为:。【点睛】本题考查古典概型,解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响，我们关心的是八卦中阴线和阳线的条数，这样才能正确地确定基本事件的个数.16.对于三次函数,定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心．"请你将这一发现为条件,解答问题：若已知函数，则的对称中心为_________;计算=_____________．【答案】（1).（2).【解析】【分析】求导得到，故得到对称中心，故，计算得到答案。【详解】，则,，则.，故的对称中心为。故，则.故答案为：;。【点睛】本题考查了求函数的导数，新定义问题，利用函数的对称性求值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.四．解答题(本大题共6个小题,满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．)17。在等差数列中，，（1)求数列的通项公式；（2）现从的前10项中随机取数,，求取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率．从下面两个条件中任选一个将题目补充完整，并解答．条件①：若每次取出一个数,取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响条件②：若从10个数中一次取出三个数【答案】（1）；（2）若选择条件①，，若选择条件②,【解析】【分析】（1）直接利用等差数列公式计算得到答案。（2）若选择条件①，；若选择条件②，，计算得到答案。【详解】（1），，故,，故。（2）若选择条件①:的前10项为.则.若选择条件②：的前10项为。则。【点睛】本题考查了等差数列通项公式，概率计算,意在考查学生的计算能力和综合应用能力。18。在如图所示的几何体中，，平面，，，，。（1）证明：平面；（2)求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；（2）。【解析】分析：（1)在中，由勾股定理可得.又平面,据此可得。利用线面垂直的判断定理可得平面.(2)（方法一）延长，相交于,连接，由题意可知二面角就是平面与平面所成二面角.取的中点为，则就是二面角的平面角。结合几何关系计算可得。(方法二)建立空间直角坐标系，计算可得平面的法向量.取平面的法向量为.利用空间向量计算可得。详解：（1)在中，.所以，所以为直角三角形,.又因为平面,所以。而,所以平面。(2）(方法一)如图延长,相交于,连接，则平面平面.二面角就是平面与平面所成二面角.因为,所以是的中位线.,这样是等边三角形。取的中点为,连接,因为平面.所以就是二面角的平面角。在,所以.（方法二)建立如图所示的空间直角坐标系，可得..设是平面的法向量，则令得.取平面的法向量为。设平面与平面所成二面角的平面角为，则,从而.点睛：本题主要考查空间向量的应用，二面角的定义,线面垂直的判断定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19。已知(为实数）．（1）当，时,求在上的最小值；（2）当时，若在R上单调递增，求的取值范围．【答案】（1)；（2）【解析】【分析】（1）求导得到，得到函数单调区间，得到，计算得到答案.（2）求导得到恒成立，设，，则，解得答案.【详解】（1）,则，当时，即时，函数单调递减,当，即时，函数单调递增，故.（2），故恒成立,即，设，，故在上恒成立，故，解得。【点睛】本题考查了函数的最值,根据函数的单调性求参数,意在考查学生的计算能力和综合应用能力。20.在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲:先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立。某选手在A点命中的概率为，命中一次记3分,没有命中得0分；在B点命中的概率为,命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮,否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次。（1)若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分的分布列和数学期望。(2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.【答案】（1）数学期望为3.05，分布列见解析（2)选择方案甲【解析】【分析】（1）在A点投篮命中记作,不中记作；在B点投篮命中记作，不中记作，其中，的所有可能取值为，即可求出,，,．,进而求出的数学期望．（2）分别求出选手选择方案甲通过测试的概率为，和选手选择方案乙通过测试的概率为，比较大小，即可求出结果．【详解】（1）在A点投篮命中记作，不中记作;在B点投篮命中记作，不中记作，其中，的所有可能取值为,则，，,．的分布列为：，，，．所以，所以，的数学期望为．(2）选手选择方案甲通过测试的概率为，选手选择方案乙通过测试的概率为,因为，所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法和应用，解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21.推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：得分［30，40)［40，50)［50，60）［60，70）［70，80)［80，90)［90，100]男性人数40901201301106030女性人数2050801101004020（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试试估计其得分不低于60分的概率：（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”(得分低于60)两类,完成2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度"与“性别"有关?不太了解比较了解合计男性女性合计（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样,共抽取10人，现从这10人中随机抽取3人作为环保宣传队长，设3人中男性队长的人数为，求的分布列和期望．附：．临界值表:0。150。100。050。0250.0100。0052。0722。7063.8415。0246。6357.879【答案】（1）；（2)列联表见解析，有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关;(3）分布列见解析