2020版 江苏 步步高二轮数学专题四 高考提能 求解导数问题的几种策略

lnlnnlnxx2()(lnlnnlnxx2()()ee2lnlnn求解导数题的几种策一、直接求导求函数最值通过构造函数，直接用导数函数的最值证明不等式或解决不等式恒成立的问题．例若>，且m

＝nm

，求证>e

证明∵>nn∴nmmlnn

∴

f(x)f)nmn∵()(0∞f′(f(x<ef′(x)<0x>e∴()e∞→fx)→f01<n，mn>>eff

f(n)<()2

n<ene2

ln2lnG)e2

ln22x

lnx<e)

e2e2()()e2e2()()G(x)4lnxx

(2x

)ln

∵1<x<e∴G(x∴G()(1e)∴()<G(e)∈(1e)∴>e2

二、分离参数求范围对一些恒成立或已知零点个数求参数范围的问题，可以通过分离参数构造新函数，来求解参数的取值范围．例设数f(x＝2ln－，∈若不等式ex实数的取值范围．

f(x－x

－≥0对意实数x≥恒立，求解

f)x

1≥x(xa

≥x

1x≥1x1≥xx≥1exx1g(x2x(≥1)ex()xxexg′x)ln1e

()x1ex

2

()2x

≥′(x()[1∞)()≤g(1)aeaea∞e

例已函f()＝－x＋－试讨论函数(＝(在区间(上点的个数．解

(xax

2x2φ2x2φ(0,1))0axφxx2∈x31∴′()2x<φ(x)<0φx)>φ((xφ(1)y()(0<x<1)ya()yφ()agx)(0,1)aa时g)(<a<gx)(0,1)三、讨论参数求最值含参数的函数最值或参数范围问题，可以对参数展开讨论，然后求出含参最值，从而确定参

13minminmin13minminmin数范围．例设f(x＝x

－＋)＋＋24a，其中∈若f()有极值，求的值范围；若当≥0时f(x)>0恒立，求a的值范围．解

(1)f′(x

2(1a)x4af)f())24(1)

aa(∞∪∞)x≥0fx)>0f(0)24aaf(x2axa(x2)(x2a①a<1()x2∵(2)(0)∴0<aff1∴f)f(2)28>0∴>∴

1<<.af)f(0)8>0

<f(2)>(0)∴f)f(0)24∴<∴<②a1f(x)≥f(x)[∞)f(0)f(x)≥③a>1()2∴a)(0)a34

minminminxeexexx2eminminminxeexexx2ea<3f(2)>(0)∴f)f(0)24∴1<a<3.afx)

)fa>3fa)<(0)fx)

f(2a)a3224a>0∴a<6∴3<a∴1<a6四、通过放缩证明不等式例已函f()＝ax－x－1.设＝2是f)的极值点，求，并求f()的单调区间；证明：当≥时，(≥0.e解f)(0∞)f()aexf(2)a.2e2fx)2e

ex

ln′()

1ex2e0x2′(x)0x′(x0.fx)(2∞)(0,2)证明a时fx)lng(x1(∈∞))g(xeex0x1g(x)g′(x0.1gx)0g()≥g0.a时f)≥e五、变形拆分，构造新函数例证：一切∈(0，＋∞，有lnx>－exex证明ln>

emin1x2emin1x2xe2f)xf(x)lnx∈0

f(x)<0fx)∈∞f(xf(∈∞)fx

f

eg(x′()g′)0xexe∈(0,1)′(x()∈∞)g(x()x1g(x)

.x∈∞)fx)>)x∈(0∞ln>exex例已曲f()＝ln－2ax(≠在点(1，(1))处的切线与直线x－y－1＝0垂．求函数fx)最小值；若1<<2证明：f(2

－mx－ln解fx)axx2axf()(lnx2alnaf(1)afx)lnaxP(1fxy10()×11a1f)xx′()ln1.f()x∈(0′()<0f(x∈(e∞f(fx)fx)fe.证明f)<x

lnlnx<2mxln

lnln1lnlnln1lneminx>0,lnx.xF()lnF(1x