人大版微积分LHospital法则市公开课金奖市赛课一等奖课件

莫兴德广西大学数信学院Email:moxingde@微积分第1页第1页链接目录第一章函数第二章极限与连续第三章导数与微分第四章中值定理,导数应用第五章不定积分第六章定积分第七章

无穷级数(不要求)第八章多元函数第九章微分方程复习第2页第2页参考书[1]赵树嫄.微积分.中国人民出版社[2]同济大学.高等数学.高等教育出版社第3页第3页第四章L.Hospital法则第4页第4页L.Hospital法则在第一章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小或都是无穷大时，两个函数之比极限也许存在也也许不存在，即使极限存在也不能用“商极限等于极限商”这一运算法则。这种极限称为未定式本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式极限L.Hospital法则，利用这一法则，能够直接求这两种基本未定式极限，也可间接求出等其它类型未定式极限第5页第5页定义比如,第6页第6页定理定义这种在一定条件下通过度子分母分别求导再求极限来拟定未定式值办法称为洛必达法则.第7页第7页证定义辅助函数则有第8页第8页注①定理条件：分子分母都是无穷小；分子分母都可导，且分母导数不等于0；导数之比极限存在或为∞②定理结论：函数之比极限等于导数之比极限③第9页第9页④仍有类似结论如：定理第10页第10页关于型极限，有下述定理定理结论仍成立第11页第11页证实第12页第12页例1解例2注在重复使使用办法则时，要时刻注意检查是否为未定式，若不是未定式，不可使使用办法则。第13页第13页例3解例4解第14页第14页例5证实证分两种情况①则连续使用μ次法则，得②则连续使用[μ]次法则，得第15页第15页本例阐明：但它们趋于+∞速度有快有慢由慢到快依次是：对数函数、幂函数、指数函数这一点从图上即可看出oxy第16页第16页例6解直接应使用办法则比较麻烦，先变形，再使用办法则第17页第17页例7分母→1，分子振荡而没有极限L.Hospital法则“失效”注分子分母中出现不可使用L.Hospital法则第18页第18页例8解注意：洛必达法则是求未定式一个有效办法，但与其它求极限办法——尤其是等价无穷小代换——结合使用，能够简化运算过程，效果会更加好，使用起来也更有效。第19页第19页关键:通过适当恒等变形将其它类型未定式化为洛必达法则可处理类型.仍可使用L.Hospital法则来求极限环节:即将其中之一个因子下放至分母就可转化为第20页第20页例9注意：对数因子不下放，要放在分子上环节:第21页第21页例10解环节:第22页第22页例11解第23页第23页例12解第24页第24页例13解第25页第25页例14解极限不存在洛必达法则失效。注意：洛必达法则使用条件．第26页第26页几点阐明①L.Hospital法则只是求未定式极限一个有效办法，是充足条件，当定理条件满足时，所求极限存在或为∞，当定理条件不满足时，主要是指（3）不成立，即导数之比极限不易求出，或不存在但不∞，函数之比极限未必不存在，此时L.Hospital法则：“失效”不宜使用L.Hospital法则②L.Hospital法则只能对这两种基本未定式才可直接应用，其它类型未定式必须先转化第27页第27页③L.Hospital法则与等价无穷小代换结合使用效果会更加好④使用L.Hospital法则前宜先行约去可约因子，尤其是极限不为0因子，宜将拟定后极限值提到极限号外，以简化计算（这相称于提前使用了一次乘积极限运算法则）⑤可考虑进行恒等变形或引入适当变量代换，以