理论力学第9章 分析动力学基础

第9章分析动力学基础2023/4/191整理ppt动力学普遍方程拉格朗日方程拉格朗日方程的首次积分2023/4/192整理ppt运用矢量力学分析非自由质点系，必然会遇到约束力多，方程数目多，求解烦琐，能否建立不含未知约束力的动力学方程？将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为第二类拉氏方程，实现用最少数目方程，描述动力系统。2023/4/193整理ppt

一.方程的一般形式动力学普遍方程或达朗贝尔－拉格朗日原理理想约束，不论约束完整，定常与否均适用§9-1动力学普遍方程2.直角坐标形式：1.矢量形式：2023/4/194整理ppt3.广义坐标形式设完整约束系统有K个自由度，可取广义坐标.广义主动力广义惯性力注意:

包含了惯性力虚功!2023/4/195整理ppt例1

图示为离心式调速器已知：m1,m2

,l,,求：(θ)

的关系。BACllllθθ答：m1gm2gm1g2023/4/196整理ppt例2已知求a?答:2023/4/197整理ppt2023/4/198整理ppt例3已知重量 轮纯滚,水平面光滑,求三棱柱加速度。2023/4/199整理ppt解:加惯性力，受力如图。选广义坐标。由有即(a)又由

有2023/4/1910整理ppt式(a)代入(b),可得令时，牵连惯性力并不为零；

令时，相对惯性力并不为零，两者相互独立。(b)即注意:2023/4/1911整理ppt

例4

均质圆柱1与薄壁圆筒2用绳相连，并多圈缠绕圆筒(绳与滑轮A的重量不计)。已知试求运动过程中轮心C与轮心O的加速度大小。

图(a)2023/4/1912整理ppt图(b)取两轮转角为广义坐标，其受力与运动分析，如图(b)所示，令

，由(a)有

(b)解:自由度k=22023/4/1913整理ppt将式(a)及代入(b)式，得(c)再令由有

联立

(c)和(d)式，可得即(d)图(b)2023/4/1914整理ppt1.本题中如何求绳的张力及圆柱纯滚的条件?2.用动力学普遍定理如何求解?3.计入滑轮A质量,结果有何变化?图(b)思考2023/4/1915整理ppt

不便计算，拉格朗日方程利用两个经典微分关系。将能量化从而导出拉氏方程。

§9-2

拉格朗日方程对于完整的约束系统，动力学普遍方程的广义坐标形式为1)

“同时消点”2)“交换关系”（求导）

2023/4/1916整理ppt一、拉氏方程的一般形式第二类拉氏方程，以t为自变量，为未知函数的二阶常微分方程组，2k个积分常量，须2k个初始条件2023/4/1917整理pptOARrM例1

均质杆OA质量为m1、可绕轴O转动,大齿轮半径为R，小齿轮质量为m2，半径为r

，其上作用一常力偶M，设机构处于水平面。求：该杆的运动方程。答：2023/4/1918整理ppt例2

已知：m1,m2,R,f,F

。求：板的加速度a。FCR答：Oxx2023/4/1919整理ppt解:本系统为完整约束，主动力非有势，采用基本形式的拉氏方程求解。例３.

如图所示，铰盘半径为R，转动惯量为J，其上作用力偶矩为M的力偶，重物质量分别为不计摩擦与滑轮质量，求铰盘的角加速度①判断系统的自由度，取广义坐标。本题中，

，取

为广义坐标，2023/4/1920整理ppt②计算系统的T与则有2023/4/1921整理ppt③代入拉氏方程，得系统的运动微分方程。代入中，得(a)代入

中，得(b)④解方程，求加速度。，得2023/4/1922整理ppt二、势力场中的拉氏方程

若主动力有势则有

引入拉格朗日函数注意到2023/4/1923整理ppt例１.图示两均质圆轮沿斜面纯滚，均质杆AB与两轮心铰接。已知试求系统微振动微分方程及圆频率。

2023/4/1924整理ppt，代入拉氏方程

中，有

解:系统自由度为1。取轮心B沿斜面位移x为广义坐标。平衡位置为零势能位置，则任意x位置时，系统的拉氏函数:2023/4/1925整理ppt与简谐振动微分方程对比可知振动圆频率

即

为所求微分方程。

2023/4/1926整理ppt

例２与刚度为k

的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l，摆锤质量为m2

，试列出该系统的运动微分方程。答：2023/4/1927整理ppt例３如图所示，物A重为Ｇ１，物B重为Ｇ２，弹簧刚度系数为k，其O端固定于物A上，另一端与物B相连。系统由静止开始运动，不计摩擦与弹簧质量，且弹簧在初瞬时无变形，试求运动中物A的加速度。2023/4/1928整理ppt解：系统处于势力场中，自由度为2，取A的绝对位移，B的相对位移(弹簧的绝对伸长量)为广义坐标。取系统的初始位置为零势能位置。在任意时刻t,2023/4/1929整理ppt将以上各项代入下列拉氏方程得

(a)(b)2023/4/1930整理ppt由式(a)和式(b)消去，得

(c)其中由式(c)解得由

时，

，得

故(d)

2023/4/1931整理ppt将式(d)代入式(c)，再将式(c)和(d)代入式(b)得率为。

顺便指出，由式(c)和(d)可知，物B相对于物A作在常力作用下的简谐振动，其振幅为，固有频2023/4/1932整理ppt思考：本题中，a)如何求A，B两物块所受光滑面的约束力?b)若初瞬时弹簧有一初始伸长结果有何变化?

c)试用质心运动定理和动能定理求解本例，并比较各种方法特点。2023/4/1933整理ppt§9.3拉格朗日方程的初积分

拉氏方程是关于广义坐标的二阶非线性常微分方程,寻求其解析解通常是十分困难的。但对于保守系统，在某些条件下，可经首次积分降为一阶，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。且具有明显的物理意义。

循环坐标－如果拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标qr

,则该坐标称为系统的循环坐标。一、广义动量积分

保守系统拉格朗日方程的初积分包括：广义动量积分、广义能量积分。2023/4/1934整理ppt于是拉氏方程成为称为循环积分称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。2023/4/1935整理ppt二.广义能量积分广义能量积分

保守系统的拉格朗日函数不显含时间t时，保守系统的广义能量守恒。

当系统约束为定常时，系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒。2023/4/1936整理ppt

一个系统循环积分可能不止一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分；但能量积分只可能有一个。

循环积分和能量积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。2023/4/1937整理ppt例１质量为m半径为r的圆环在圆心A上铰接一长度为l质量亦为m的单摆B如图示。试就以下两种情况讨论其拉格朗日方程的初积分：（1）圆环作纯滑动；（2）圆环作纯滚动。答：(1)圆环作纯滑动

AxOφ(2)圆环作纯滚动

2023/4/1938整理ppt例２均质轮与均质杆质量均为m，轮半径为r，杆长l。若杆由水平静止释放，轮纯滚。求时及。选x和θ为广义坐标。2023/4/1939整理ppt故有循环积分，常数(初始为0)又约束定常、完整、理想、且系统保守。即(b)x方向广义动量守恒，并非系统x方向动量守恒。故常数2023/4/1940整理ppt时，(a)，(b)两式为解之得1.

若接触平面光滑(f=0)，结果如何?2.

若左边连接一水平弹簧(k)，结果又如何?3.能否用动力学普遍定理求解?2023/4/1941整理ppt例3

如图所示，质量为m，半径为r的匀质轮在质量为、半径为R的薄壁筒内无滑动地滚动，设OC与重力方向夹角为，起始时系统静止。试求运动中圆筒转角与的关系。

2023/4/1942整理ppt系统保守且约束完整、定常，自由度为2，取与为广义坐标。设圆轮角速度为，由，有。

因L不含(为循环坐标)，故相应的广义动量守恒，并考虑到