2023暑期文化培训初一数学教材

第1讲方程（组）、不等式（组）的应用解二次方程、二次不等式一、知识回顾1．解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）系数化为12．解方程组的基本思想是：“消元”，通过消元把二元一次方程组转化为一个一元一次方程来求解。常用的消元法有代入消元法和加减消元法。3、使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。能使不等式成立的所有未知数的值组成的集合，叫做不等式的解集。4、不等式的性质性质1：性质2：性质3：5、不等式组的解集（借助数轴）当时，填表不等式组解集二、例题精讲【例1】解下列方程（组）：（1）（请使用代入和加减两种方法完成）（2）（3）【例2】解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来：（1）（2）三、含参数的方程和不等式的应用【例3】（1）已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围。（2）当k取何值时，关于x和y的方程组中的？四、二次方程，二次不等式的解法问题：1、你能否写出一元二次方程的所有形式？2、你能否写出一元二次不等式的所有形式？【例4】（1）探讨，的形式的一元二次方程如何求解？举例说明并总结。（2）探讨的形式的一元二次方程如何求解？解决问题的主要困难在哪里？巩固练习：解下列一元二次方程1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、【例5】（1）探讨，的形式的一元二次不等式如何求解？举例说明并总结。（2）探讨的形式的一元二次方程如何求解？解决问题的主要困难在哪里？巩固练习：解下列一元二次不等式并在数轴上表示解集1、2、3、4、5、6、第2讲应用题（1）方案设计问题一、知识要点利用一元一次方程或不等式（组）解决实际问题时，应注意以下几个关键步骤：审题（划线关键词）设未知数（一定要写单位）列方程或不等式（组）求解（写出关键步骤即可）检验（应该代入原题检验）回答（完整）二、例题精讲【例1】把若干个苹果分给几个孩子，如果没人分3个，则余8个，每人分5个，则最后一人分得的苹果数不足5个。问共有多少个孩子，多少个苹果？【例2】.某超市销售有甲、乙两种商品．甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．（1）若该超市同时一次购进甲、乙两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲乙两种商品各多少件？（2）该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润（利润售价进价）不少于600元，但又不超过610元．请你帮助该超市设计相应的进货方案．【例3】.某校校长暑假将带领该校市级优秀学生乘旅行社的车去A市参加科技夏令营，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票的6折优惠.”已知全票价为240元.（1）设学生数为x，甲旅行社收费为，乙旅行社收费为，分别计算两家旅行社的收费（建立表达式）；（2）当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？（3）就学生数x讨论哪家旅行社更优惠.【例4】A，B两村盛产橙子，A村有橙子200吨，B村有橙子300吨，现将这些橙子运到C，D两个冷藏库，C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C，D两处的费用分别为15元和18元，设从A村运往C仓库的橙子为x吨，A，B两村运往两仓库的橙子运输费用分别为,元。（1）完成表格（要求：在横线上填每吨橙子运输费用，在括号内填橙子吨数）C仓库（240）吨D仓库（）吨A村（200）吨__20___（x）_______（）B村（）吨_______（）_______（）（2）根据（1）中表格，请写出与用x表示的式子和用x表示的式子，并指出x的取值范围（3）由于受B村的经济承受能力的影响，B村的橙子运费不得超过4860元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两村运费之和最小？并求出这个最小值。巩固练习1.某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件.（1）求A、B两种纪念品的进价分别为多少？（2）若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出候总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？2．荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同．（1）求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？（2）若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元．通过计算求出该公司有几种租车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用．3.某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：原料维生素C及价格甲种原料乙种原料维生素C（单位：千克）600100原料价格（单位：元/千克）84现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，（1）设需用千克甲种原料，求x的范围.（2）两种原料各取多少千克配制成10千克这种饮料，费用最省？第3讲应用题（2）设而不求设而不求：有时应用题涉及的量比较多，量和量之间的关系不明显，直接设未知数不容易解决问题，需要设一些辅助的未知数，将不明显的关系表示出来；而在解方程（或不等式）的过程中，可以消去这些辅助的未知数，求出原方程（或不等式）的解。这种方法称为设而不求。例题精讲【例1】小强上山的速度是4千米/小时，到达山顶后沿原路下山。下山的速度为6【例2】苹果的进价是每千克1.5元，销售中估计有5%的苹果正常损耗。商家把售价至少定为多少，就能避免亏本？【例3】某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市想要至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价基础上应至少提高多少？巩固练习1.有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草。设每头牛每天吃草的量是相等的，问：(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完草？(2)要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？2.一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个粗细相同的进水管。打开4个进水管时，需要5小时注满水池。打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池。现在要在2小时内将水池注满，至少要打开多少个进水管？3.小明和小亮同时出发，从甲地往乙地。小明走完全程的一半时，小亮才走了16千米，小亮走完全程的一半时，小明已走了25千米。小明走完全程时，小亮未走完的路程还有多少千米？4.甲、乙、丙三个车站处于一条直线上，乙站恰好是甲丙两站的中点，即乙站到甲站和到丙站的距离相等。A、B两人分别从甲、丙两站同时出发，相向而行。A经过乙站后在再走100米，与B第一次相遇。然后两人又继续前进，A走到丙站后立即返回，后在经过乙站300米后又追上B。甲、乙两站的距离是多少米？5.有一个水库，有水流进，同时也向外放水，可使用40天。最近库区降雨，流入水库的水量增加20%。如果放水量增加10%，仍可使用40天。如果按原来的放水量放水，可使用多少天？6.已知三种混合物由三种成分A、B和C组成。第一种仅含成分A和B，重量比为3:5。第二种仅含成分B和C，重量比为1:2。第三种仅含成分A和C，重量比为2:3。问以什么比例取这些混合物，才能使所得的混合物中，A、B和C这三种成分的重量比为3:5:2？第4讲平面直角坐标系方程和不等式在坐标系中的表示一、二元一次方程的图像【例1】二元一次方程的解有________个，写出其中的5个解为_____________________________________；（2）.若把（1）中方程的一个解中的x作为横坐标，y作为纵坐标可以得到点（，）。请在平面直角坐标系中描出（1）中的5个点。观察这5个点，可以发现__________________________________________________________。所以说二元一次方程的图像是_________。（3）.你能说出二元一次方程的图像的一些其他特征吗？【例2】请在平面直角坐标系中画出二元一次方程的图像（至少取5个点连线），并说出它的特征。总结：1.一个二元一次方程的图像是一条直线，因为经过两点有且只有一条直线，所以画一个二元一次方程的图像时，只需挑选______个解，在坐标系中画出对应的_____个点，再连接即可。这样的两个点最好找什么样的点？例如：画二元一次方程的图像可以取点_________和点_________，连线即可。画出二元一次方程的图像可以取点_________和点_________，连线即可。2.一个二元一次方程组有两个二元一次方程组成，在平面直角坐标系中他们的图像是两条直线，那么这两条直线的交点坐标意味着什么？例如：的解是_________，那么直线的图像与直线的图像____________________________________。巩固练习1.下列四个点中，在二元一次方程的图象上的点是（）A．B．C．D．2.直线y=x+3与y轴的交点坐标是（）A．（0，3）B．（0，1）C．（3，0）D．（1，0）3.已知点，在直线上，则____．（填“”“”或“=”号）4.二元一次方程的图象与x轴的交点是_________，和y轴的交点是_________。5.已知直线：和直线：，求两条直线和的交点坐标，并判断该交点落在平面直角坐标系的哪一个象限上．二、二元一次不等式的图像【例3】观察二元一次方程的图象如图所示，回答：22-1图1图2图3图1中：（1）当x_______时，y=0；（2）当x_______时，y<0；（3）当x_______时，y>0图2中：（1）当x_______时，y=0；（2）当x_______时，y<0；（3）当x_______时，y>0图3中：（1）当x_______时，y=0；（2）当x_______时，y<0；（3）当x_______时，y>0总结：二元一次不等式的图像与二元一次方程的图像之间有什么关系？例如：如图，关于x、y的方程（）的图象经过点A．当时，x的取值范围是______________．巩固练习1.如图，直线交坐标轴于两点，则不等式的解集为（）A．B.C.D.xxyABOy=kx+b2.直线的图象如图所示，当x>2时，y的取值范围是______________．3.已知直线的图象过第一、二、四象限，且与轴交于点（2，0），则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．yxOP2a4.直线与轴的交点坐标是（2，0），则关于的方程的解是x＝yxOP2a5.如图，直线：与直线：相交于点P（，2），则关于的不等式≥的解集为______________．6.如图，直线与的交点坐标为（1，2），则使的x的取值范围为______________．7.如图，直线过点A（0，2），且与直线交于点P（1，m），则不等式组mx＞kx+b＞mx－2的解集是______________.第5讲三角形(1)基本的边、角关系知识回顾两点之间，线段最短【与三角形有关的边】三角形ABC记作△ABC，△ABC的边有_______________，也可表示为_________问题：如右图，从B出发沿三角形的边到C的路线有_________________________________，其中，最短的路线是________，你的依据是_______________________________________你能得出的结论是：_____________________________________________推论是：_____________________________________________三角形按边分类如下:三角形不等边三角形等腰三角形底和腰不等的等腰三角形等边三角形1.以下各组线段为边，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，4cmB．8cm，6cm，4cmC．12cm，5cm，6cmD．2cm，3cm，6cm2.以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出____个三角形3.在△ABC中，AB=3,BC=4,则AC边的取值范围是__________________4．一个等腰三角形的两边长分别是4cm和6cm，则它的周长是5.若一个三角形的两边长是9cm和4cm，且周长是偶数，求第三边的长6．若三条长为5，x，2x-1的线段能构成三角形，求x的取值范围.【与三角形有关的角】问题：已知任意,求证：∠A+∠B+∠C=180°结论：三角形的内角和为_____度三角形按角分类如下:三角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形7.△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，则∠C＝________8.如果一个三角形的两个内角是20°、30°，那么这个三角形是__________三角形．9.已知ABC中，比2大40°，比2少10°，求各内角的度数．10．已知：如图，在△ABC中，，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，BACDBACDE巩固练习1．已知ΔABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形（）A．一定有一个内角为45B．一定有一个内角为60C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形2．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，③④中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B.2个C.3个D.4个3.在ABC中，如果∠B－∠A－∠C=50°，则∠B=____________4.在△ABC中，∠A=3∠B，∠A－∠C=30°，则∠A=______，∠B=______，∠C=_______.5.在锐角三角形中，最大内角的取值范围是（）A.0°＜＜90°B.60°＜＜180°C.60°＜＜90°D.60°≤＜90°6.如图，在△ABC中，∠C=2∠A=∠ABC，BD是边AC上的高，则∠DBC=______7．如图，△ABC中，∠A=40°,∠B=72°,CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=____________8.如图，∠C=30°，∠B=50°，∠A=70°.求∠BDC的度数.9．△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O。（1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC=____________（2）若∠ABC+∠ACB=116°，则∠BOC=____________（3）若∠A=76°，则∠BOC=____________（4）若∠BOC=120°，则∠A=____________（5）你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗？10．（1）如图①∠1＋∠2与∠B＋∠C有什么关系，为什么？（2）把图①△ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______∠B＋∠C（填“＞”“＜”“＝”）当∠A＝40°时，∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝_______（3）如图③，是由图①的△ABC沿DE折叠得到的，如果∠A＝30°，则x＋y＝360°－（∠B＋∠C＋∠1＋∠2）＝360°－_______＝_______,猜想∠BDA＋∠CEA与∠A的关系，并说明理由.图①图②图③第6讲三角形(2)简单的面积问题一.知识要点1、求图形的面积是平面几何中的基本问题之一,常见的方法有:①和差法:把图形面积用常见图形面积的和差表示,通过常规图形面积公式计算;②运动法:通过平移、旋转、割补等方式，将图形中的部分图形运动起来，把图形转化为容易观察或解决的形状，就可在动中求解；③等积变形法：找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形，通过代换转化求面积；④代数法：利用图形面积之间的关系，引入未知数，通过解方程（组）求解。2、作出下列三角形的高AD,BE,CF.△ABC的面积记为S△ABC的面积记为S△ABC则S△ABC=_______=________=________△ABC的面积记为S△ABC则S△ABC=_______=________=________△ABC的面积记为S△ABC则S△ABC=_______=________=________3、熟悉以下基本图形及结论条件：_________条件：_________条件：平行四边形结论：_________结论：_________结论：_________条件：平行四边形条件：平行四边形条件：长方形的长和宽平移结论：_________结论：_________结论：_________二.例题精讲【例1】已知△ABC中三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为求a∶b∶c．【例2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=8cm,BC=6cm.分别以AC、BC为边作正方形AEDC、BCFG，则△BEF的面积是_____________【变式】如图，正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，已知正方形BEFG的边长为4，求△DEK的面积.备用图备用图【例3】如图，设E、F分别是△ABC的边AC、AB上的点，线段BE、CF交于点D，已知△BDF、△BCD、△CDE的面积分别为3、7、7，求四边形AEDF的面积.三.巩固练习1.如图，△ABC中，三个三角形面积已给出，△CDE的面积=________.2.如图，S△ABC=1，BD:AB=3：1，CE:BC=2：1，△AED的面积=________.3.O为正方形ABCD内一点，EF=GH=KL=IJ，三个三角形面积已标出，△OKL的面积=____.4.如图，一个长方形被分成4个不同的三角形，绿色三角形面积等于长方形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米，长方形的面积是________平方厘米.5.如图，四边形ABCD的面积为16，AC、BD交于O，AO:OC=3：5，求△ABD的面积.6.如图，△ABC的面积为1，BD:DC=2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，求四边形PDCE的面积.第6题第6题7.如图，P为△ABC内一点，AP、BP、CP分别与对边交于D、E、F，把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出，△ABC的面积是多少？8.用面积方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边．第7讲几何计算和证明辅助线的使用解几何题时，如果缺少某些已知条件，无法直接证明或求得结果，就常常需要作辅助线，先证明或求得这些条件。作辅助线时，常运用逆向思维，看得到所需证明或其它结果，除已知条件外，还缺什么条件。作什么样的辅助线，通过什么定理或等量代换可以求得所缺条件。课堂例题【例1】证明三角形的内角和等于180°.【例2】如图，在所示的直角坐标系中，四边形ＡＢＣＤ的各个顶点的坐标分别是Ａ（０，０）、Ｂ（２，５）、Ｃ（９，８）、Ｄ（１２，０）求这个四边形的面积.【例3】如图，∠B+∠C+∠D=360°，求证AB//DE.【例4】如图，已知AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠P和∠A、∠C的关系，并写出理由。=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④【例5】如图CD∥EF，，求证：AB∥GF巩固练习：1.如图1，已知AB∥CD，∠1=30°，∠2=90°，则∠3等于__________.2.如图2，已知AB∥CD，∠BAE=135°,∠AED=80°，∠EDC的度数是__________.3.如图3，AB∥CD，∠B=105°,∠DCE=40°，则∠CEF的度数为__________.图1图2图34.若∠O=∠A+∠C，AB和CD平行吗？说明理由。5.如图，AB∥ED，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D．证明：β=2α.EEDCBA6.如图，AB∥CD，点E是线段AC上一点，试说明∠A、∠CED和∠D之间的数量关系.EEDCBA7.如图，已知C是线段AB上的一点，AD∥BE,∠ADC=∠ACD,∠BCE=∠BEC,求证：DC⊥CE8.如图，FG∥HI，∠GEK=120°，∠B=30°，∠C=48°，∠CDI=30°，求∠A的度数.KKEGFIHDCBA第8讲SSS全等判定和尺规作图尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；【环节1】已知三边作三角形。已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a.用同样的方法再作△DEF，使DE=c，DF=b，EF=a.思考1：你作出的两个三角形形状、大小是否一样？像这样，两个形状、大小完全一样的三角形称为全等三角形。全等三角形通过一定的变换可以完全重合，其中重合的边称为对应边，重合的角称为对应角。对应边和对应角都相等。思考2：根据以上的作图步骤，你认为两个三角形只需要满足什么条件就可以全等？结论：____________________________________________________________________以上的方法就称为SSS判定方法。用几何语言表示为：______________________________________________________________________________________________________【环节2】作一个角等于已知角.(尺规作图)已知：如图，∠AOB，求作：∠CDE，使∠CDE=∠AOB.你能用刚学过的SSS判定三角形全等的方法证明你作图是否正确吗？【环节3】请你继续思考尺规作图：作一个已知角的平分线，自己写出已知，求作，并给出证明。巩固练习：1.尺规作图，过一点作已知直线的垂线。自己作图，写已知、求作并证明。2.尺规作图：作已知线段的垂直平分线。自己作图，写已知、求作并证明。3.如图，在△ABC中，尺规作图：（1）作出△BAC的角平分线AE；（2）作出△BAC的中线AD；（3）作出BC边上的高AF4.如图，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB。请过C点作出与AB平行的另一条边。（要求尺规作图）5.如图，已知∠α，线段a。求作:Rt△ABC,使∠C=90°，∠A=∠α,AC=a6.小芸在为班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法．第9讲数与式的计算知识回顾：1.实数：有理数和无理数统称为实数。实数的计算包括有理数和无理数的加、减、乘、除、乘方、开方运算。2.整式：单项式和多项式统称为整式。整式的计算包括单项式和多项式之间的加、减、乘、除、乘方、（开方）运算。实数的运算法则同样适用。3.数与式的运算除了要注意运算法则外，有时还必须考虑它们隐含的意义和取值范围。【例1】（实数加、减、乘、除、乘方、开方混合运算）计算：（1）－-×（2）+【例2】（从数过渡到式）（1）使式子有意义的的范围是________________；使式子有意义的的范围是________________________.（2）已知实数x，y满足｜x－3｜＋＝0，求代数式（x＋y）2023的值．（3）已知、是实数，且求的值.【例3】整式的计算：（1）单项式单项式（去括号、合并同类项法则）单项式单项式，单项式单项式（幂的运算法则），，，.（2）单项式多项式（去括号、合并同类项法则）单项式多项式（乘法分配律），多项式单项式（3）多项式多项式（去括号、合并同类项法则）多项式多项式（乘法分配律），多项式多项式（暂不考虑）计算：（1）·（2）·（3）（4）（5）（6）（7）【例4】（数形结合）(1)实数a、b、c在数轴上的点如图所示，化简：.(2)是有理数，的最小值是.【例5】给出一个“三角形”的数表如下：

此表构成的规则是：第一行是0，1，2，…999，以后下一行的数是上一行相邻两数的和，问：第四行的数中能被999整除的数有多少？巩固练习：1．的平方根是.2．如果代数式2a-3b＋8的值为18，则代数式9b－6a＋23.规定如果那么.4.某计算程序编辑如图1所示，当输入x=时，输出的y=3.5.如图2，把一个长为m，宽为n的长方形（m＞n）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为.图1图26.计算：（1）（6m2n－6m2n2－3m2）÷（－3m27．利用数轴解决以下问题：（1）若m，n同为正数，且m＞n，那么m，n的相反数哪个大？（2）若m，n同为负数，且m＞n，那么m，n的相反数哪个大？（3）若m，n为一正一负，且m＞n，那么m，n的相反数哪个大？综上所述，若m＞n，在有理数范围内，它们的相反数有何特点？8.如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2时的绿化面积．9．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．（1）请你检验这个等式的正确性．（2）若a=2005，b=2006，c=2007，你能很快求出的值吗？10.已知，，求的最大值与最小值.第10讲图形面积与代数恒等式代数恒等式：，像上述这种不论字母取什么值，左边恒等于右边的式子叫做代数恒等式。【例1】写出下列图形的面积：【例2】说出下列式子的几何意义：【例3】用多种方法表示图5的面积：________________________________________________________________________________________________由此可以得到一个代数恒等式为_________