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文档简介
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向量数量积的物理背景与定义
山东省东营市胜利第一中学郝葆华
一、教学目标
(一)知识与技能目标
1、理解平面向量数量积的含义及其物理意义
2、知道平面向量的数量积与向量在轴上的射影的关系
3、能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直、共线关
系
(二)过程与方法目标
经历概念的形成过程,解题的思维过程,让学生亲身体验数形结合思想的指导作用。
(三)情感、态度与价值观目标
通过本节的自主性学习,让学生尝试数学研究的过程,培养学生发现、提出、解决数学
问题的能力,有助于发展学生的创新意识。
二、教学重点和难点
本节的重点是向量的数量积的定义及性质,难点是对向量数量积的定义及性质的理
解和应用.
三、教学方法
倡导“自主、合作、探究”的学习方式,采用自主探究、讲议结合、多媒体辅助教学.
四、教学过程
教学
师生互设计意
教学内容
动图
环节
1、一个力作用于一个物体,力的方向与前进方向有一
个夹角,则力使物体位移所做的功___________
2、已知两个非零向量、,作,,则______称作向量和的夹角,
记作_______,并规定它的范围是________
3、在轴上的正射影的坐标记作__,向量的方向与轴的___所使同学
引
成的角为,则_们通过
导要求同充分的
自4、(1)叫做向量和的数量积(内积),记作,即___________学们在自主参
8分钟与,对
学
之内阅教材知
,
读教识有个
感
材、积初步了
知极思解,带
知考,完着问题
成老师进入下
识
设置的一步的
问题.学习,
以充分
调动学
生的学
习兴
趣。
设
教学
师生活计
教学内容
动意
环节
图
(2),其中是_________,叫做_______,叫做________
引
导感
自知5、叙述平面向量数量积的性质
学知
,识
1、两个向量的夹角
已知两个非零向量、,作=,=,则∠AOB称作向量和向量
的夹角,记作:
(1)注意求两向量的夹角,须先将两个向量平移至公共起点.
(2)两个向量夹角的范围:0
(3)当=0时,与同向;
利用多借
媒体展助
当=π时,与反向。示出不几
同位置何
关系的直
(4)当=时,与垂直,几组向观
量,借加
记⊥.助几何深
直观对学
概念进生
行强调对
说明。两
向
(1)向量
量同起夹
(5)规定:零向量与任一向量垂直.点角
师的
理
解
(2)范,
生围为
学
习
向
(3)特量
互
殊情况数
量
积
的
动(4)突定
,出一规义
定奠
理
定
基
础
。
解
教学
师生活设计
教学内容
动意图
环节
2、向量在轴上的正射影
(1)概念:已知向量和轴,作,过点分别作轴的垂线,垂
足分别为,则向量叫做向量在轴上的正射影(简称射影)。
师生共
同回顾
自学时
所认识
的向量
在轴上
的正射
影的概
念。
(2)正射影的数量:
加强
即向量在轴上的正射影的数量,记作几何
直
设向量的方向与轴的正向所成的角为,则观,
有利
强调:正射影是一个向量,该射影在轴上的坐标才是一个于学
数量。生理
解概
念。
(3)时,;
时,;
时,;
时,;
时,。
师
生在正射
影的概
念的基
础上给
出正射
互
影的数
量的概
念。
动
,
理
区别
教学
师生活设计
教学内容
动意图
环节
3、向量数量积的定义两个向
概念:叫向量和的数量积(或内积),记作,即有量的数
量积是学习
一个数新概
探究1:两个向量的数量积与数乘向量有什么区别?量,这念与
个数量问题
两个向量的数量积是一个实数,符号由的符号所决定;的大小讨论
而数乘向量是一个向量。与两个相结
向量的合,
探究2:两个向量的数量积与两个实数的乘法有什么区长度及进一
别?其夹角步加
的余弦深学
①书写:实数乘积或;值有生对
关。新概
在实数中,若a0,且ab=0,则b=0;但是在数量积中,念的
若,且,不能推出,因为其中cos有可能为0。理解
与掌
②已知实数a、b、c(b0),则ab=bca=c,但是教师提握。
出问
③在实数中,有(ab)c=a(bc),但是题,学
生以小
组为单提出
4、向量数量积的性质位进行问题
探究。引导
(1)如果是单位向量,则学生
去探
;究,
培养
(2)学生
的探
且;索精
神。
师(3)或;
对于探
(4);究2此
(5).处重点
强调书
生写的区
别,其
它性质通过
或运算对书
律的区写的
互别学生强
若想不调,
到可在体现
后面例数学
1中展的严
动现.谨
性。
教学
师生活设计
教学内容
动意图
环节
性质的应用:
(2)可解决两向量的垂直问题;学生自
主观察
申:解决两向量共线的问题:性质特培养
点,自学生
主总结自主
且性质的探
应用价究、
师
(3)可求向量的长度;值,也合作
生可以以交流
互(4)可求两向量的夹角,同时也建立了向量与三角的联系;小组为的能
单位进力,
动
(5)建立了向量与不等式之间的联系.行探变
,理
究。“学
解会”
知为
“会
识
学”.
例1、判断正误:
①若,则对任一向量,
有。(√)教师出通过
典
示8个题目
②若,则对任一非零向量,判断帮助
有。(×)题,学学生
例
生进行更准
③若,则、至少有一个为分析、确的
零。(×)判断,认识
探
教师提向量
④若,,问个别的数
则.同学进量
究
(×)行回积,
,答,根并养
掌⑤若,则当且仅当时成立。(×)据回答成缜
情况进密推
⑥对任意向量、、,行强调理的
握有.(×)和纠好习
正。惯。
⑦对任意向量,
知有.
(√)
⑧对任意向量,
识
有。(×)
教学
师生活设计
教学内容
动意图
环节
例2、已知,,
当①,②,③与的夹角是30°时,分别求.教师出
示例让学
题,由生在
学生到掌握
例3、在正三角形中,边长为3,求(1)(2)黑板上向量
板演,数量
最后师积公
生共同式的
强调:点评完基础
典
成。上,
第(2)问是个易错点,此两向量首尾相接,所以两向量的进一
夹角不再为,而应为.步认
例
识两
个向
量垂
探
教师出直、
示例共线
题,由的充
究
学生进要条
,行口头件,
分析,因为
掌
充分展它是
示学生用
的思维“向
握
过程。量
法”
解决
知
解析
几
何、
识
立体
几何
中有
关两
直线
位置
关系
问题
的重
要工
具。
练基础:
1、若,则与的夹角的取值范围是___________。这些
练习
自2、已知,=4,,则=__________。学生独源于
立完课本
3、已知=2,在方向上的正射影的数量为—4,则成,教例、
我
___________.师核对习
答案,题,
实4、已知=3,,且,则在方向上的正射影的数量为________.并关注充分
学生的体现
践数学表以本
,达。为
应本.
用
知
识
教学
师生活设计
教学内容
动意图
环节
通过
反馈
练
习,
学生
自我
检验
所学
自的效
果,
练能力:
找出
问
我1、在四边形中,,且,则四边形是()
题,
进行
梯形菱形
弥
实
补。
矩形正方形
践2、在中,,,且,则的形状为_________。
,
教材
应以力
做功
练应用:
为背
用景引
1、已知平面上三点、、满足,,,求的值.
入新
知
2、已知一个与水平夹角为的力,的大小为50,拉着一个重
知识,
80的木块在摩擦系数为的水平面上运动了20,求拉力、摩
练习
擦力做的功分别为多少?
以计
识算力
做功
而结
束,
首尾
相
应,
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