平面向量数量积的教案

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向量数量积的物理背景与定义

山东省东营市胜利第一中学郝葆华

一、教学目标

（一）知识与技能目标

1、理解平面向量数量积的含义及其物理意义

2、知道平面向量的数量积与向量在轴上的射影的关系

3、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直、共线关

系

（二）过程与方法目标

经历概念的形成过程，解题的思维过程,让学生亲身体验数形结合思想的指导作用。

（三）情感、态度与价值观目标

通过本节的自主性学习，让学生尝试数学研究的过程,培养学生发现、提出、解决数学

问题的能力，有助于发展学生的创新意识。

二、教学重点和难点

本节的重点是向量的数量积的定义及性质，难点是对向量数量积的定义及性质的理

解和应用.

三、教学方法

倡导“自主、合作、探究”的学习方式,采用自主探究、讲议结合、多媒体辅助教学.

四、教学过程

教学

师生互设计意

教学内容

动图

环节

1、一个力作用于一个物体，力的方向与前进方向有一

个夹角，则力使物体位移所做的功___________

2、已知两个非零向量、,作,，则______称作向量和的夹角，

记作_______，并规定它的范围是________

3、在轴上的正射影的坐标记作__，向量的方向与轴的___所使同学

引

成的角为，则_们通过

导要求同充分的

自4、(1）叫做向量和的数量积（内积），记作，即___________学们在自主参

8分钟与，对

学

之内阅教材知

，

读教识有个

感

材、积初步了

知极思解，带

知考，完着问题

成老师进入下

识

设置的一步的

问题.学习，

以充分

调动学

生的学

习兴

趣。

设

教学

师生活计

教学内容

动意

环节

图

（2），其中是_________，叫做_______，叫做________

引

导感

自知5、叙述平面向量数量积的性质

学知

，识

1、两个向量的夹角

已知两个非零向量、，作＝，＝，则∠ＡＯＢ称作向量和向量

的夹角，记作:

(1）注意求两向量的夹角，须先将两个向量平移至公共起点.

（2）两个向量夹角的范围：0

（3）当＝０时，与同向；

利用多借

媒体展助

当＝π时，与反向。示出不几

同位置何

关系的直

(4)当＝时，与垂直，几组向观

量，借加

记⊥.助几何深

直观对学

概念进生

行强调对

说明。两

向

(1）向量

量同起夹

(5）规定:零向量与任一向量垂直.点角

师的

理

解

（2）范,

生围为

学

习

向

（3）特量

互

殊情况数

量

积

的

动（4）突定

，出一规义

定奠

理

定

基

础

。

解

教学

师生活设计

教学内容

动意图

环节

2、向量在轴上的正射影

（1）概念：已知向量和轴，作，过点分别作轴的垂线，垂

足分别为,则向量叫做向量在轴上的正射影（简称射影）。

师生共

同回顾

自学时

所认识

的向量

在轴上

的正射

影的概

念。

(2)正射影的数量：

加强

即向量在轴上的正射影的数量，记作几何

直

设向量的方向与轴的正向所成的角为，则观，

有利

强调：正射影是一个向量，该射影在轴上的坐标才是一个于学

数量。生理

解概

念。

（3）时，；

时，；

时，；

时,；

时,。

师

生在正射

影的概

念的基

础上给

出正射

互

影的数

量的概

念。

动

,

理

区别

教学

师生活设计

教学内容

动意图

环节

3、向量数量积的定义两个向

概念:叫向量和的数量积（或内积),记作,即有量的数

量积是学习

一个数新概

探究1：两个向量的数量积与数乘向量有什么区别？量，这念与

个数量问题

两个向量的数量积是一个实数，符号由的符号所决定；的大小讨论

而数乘向量是一个向量。与两个相结

向量的合，

探究2：两个向量的数量积与两个实数的乘法有什么区长度及进一

别？其夹角步加

的余弦深学

①书写：实数乘积或;值有生对

关。新概

在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，念的

若，且,不能推出，因为其中cos有可能为0。理解

与掌

②已知实数a、b、c（b0），则ab=bca=c,但是教师提握。

出问

③在实数中，有(ab）c=a(bc），但是题，学

生以小

组为单提出

4、向量数量积的性质位进行问题

探究。引导

（1)如果是单位向量,则学生

去探

；究，

培养

（2)学生

的探

且;索精

神。

师（3）或；

对于探

(4）;究2此

（5）.处重点

强调书

生写的区

别，其

它性质通过

或运算对书

律的区写的

互别学生强

若想不调，

到可在体现

后面例数学

1中展的严

动现.谨

性。

教学

师生活设计

教学内容

动意图

环节

性质的应用：

（2）可解决两向量的垂直问题;学生自

主观察

申：解决两向量共线的问题：性质特培养

点,自学生

主总结自主

且性质的探

应用价究、

师

(3）可求向量的长度；值，也合作

生可以以交流

互（4）可求两向量的夹角,同时也建立了向量与三角的联系；小组为的能

单位进力，

动

（5)建立了向量与不等式之间的联系.行探变

,理

究。“学

解会”

知为

“会

识

学”.

例1、判断正误：

①若，则对任一向量，

有。(√)教师出通过

典

示8个题目

②若，则对任一非零向量,判断帮助

有。(×)题,学学生

例

生进行更准

③若,则、至少有一个为分析、确的

零。（×)判断,认识

探

教师提向量

④若，，问个别的数

则.同学进量

究

（×）行回积，

，答,根并养

掌⑤若，则当且仅当时成立。（×）据回答成缜

情况进密推

⑥对任意向量、、，行强调理的

握有.（×)和纠好习

正。惯。

⑦对任意向量,

知有.

(√)

⑧对任意向量，

识

有。(×）

教学

师生活设计

教学内容

动意图

环节

例2、已知,，

当①，②，③与的夹角是30°时，分别求.教师出

示例让学

题，由生在

学生到掌握

例3、在正三角形中，边长为3,求（1）（2）黑板上向量

板演，数量

最后师积公

生共同式的

强调:点评完基础

典

成。上，

第(2）问是个易错点，此两向量首尾相接，所以两向量的进一

夹角不再为，而应为.步认

例

识两

个向

量垂

探

教师出直、

示例共线

题，由的充

究

学生进要条

，行口头件，

分析，因为

掌

充分展它是

示学生用

的思维“向

握

过程。量

法”

解决

知

解析

几

何、

识

立体

几何

中有

关两

直线

位置

关系

问题

的重

要工

具。

练基础：

1、若，则与的夹角的取值范围是___________。这些

练习

自2、已知,=4，，则=__________。学生独源于

立完课本

3、已知=2,在方向上的正射影的数量为—4，则成,教例、

我

___________.师核对习

答案，题，

实4、已知=3,，且，则在方向上的正射影的数量为________.并关注充分

学生的体现

践数学表以本

,达。为

应本.

用

知

识

教学

师生活设计

教学内容

动意图

环节

通过

反馈

练

习，

学生

自我

检验

所学

自的效

果,

练能力：

找出

问

我1、在四边形中，，且，则四边形是（）

题，

进行

梯形菱形

弥

实

补。

矩形正方形

践2、在中，，，且,则的形状为_________。

，

教材

应以力

做功

练应用：

为背

用景引

1、已知平面上三点、、满足，，，求的值.

入新

知

2、已知一个与水平夹角为的力,的大小为50，拉着一个重

知识，

80的木块在摩擦系数为的水平面上运动了20，求拉力、摩

练习

擦力做的功分别为多少？

以计

识算力

做功

而结

束,

首尾

相

应，