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文档简介

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向量数量积的物理背景与定义

山东省东营市胜利第一中学郝葆华

一、教学目标

(一)知识与技能目标

1、理解平面向量数量积的含义及其物理意义

2、知道平面向量的数量积与向量在轴上的射影的关系

3、能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直、共线关

(二)过程与方法目标

经历概念的形成过程,解题的思维过程,让学生亲身体验数形结合思想的指导作用。

(三)情感、态度与价值观目标

通过本节的自主性学习,让学生尝试数学研究的过程,培养学生发现、提出、解决数学

问题的能力,有助于发展学生的创新意识。

二、教学重点和难点

本节的重点是向量的数量积的定义及性质,难点是对向量数量积的定义及性质的理

解和应用.

三、教学方法

倡导“自主、合作、探究”的学习方式,采用自主探究、讲议结合、多媒体辅助教学.

四、教学过程

教学

师生互设计意

教学内容

动图

环节

1、一个力作用于一个物体,力的方向与前进方向有一

个夹角,则力使物体位移所做的功___________

2、已知两个非零向量、,作,,则______称作向量和的夹角,

记作_______,并规定它的范围是________

3、在轴上的正射影的坐标记作__,向量的方向与轴的___所使同学

成的角为,则_们通过

导要求同充分的

自4、(1)叫做向量和的数量积(内积),记作,即___________学们在自主参

8分钟与,对

之内阅教材知

读教识有个

材、积初步了

知极思解,带

知考,完着问题

成老师进入下

设置的一步的

问题.学习,

以充分

调动学

生的学

习兴

趣。

教学

师生活计

教学内容

动意

环节

(2),其中是_________,叫做_______,叫做________

导感

自知5、叙述平面向量数量积的性质

学知

,识

1、两个向量的夹角

已知两个非零向量、,作=,=,则∠AOB称作向量和向量

的夹角,记作:

(1)注意求两向量的夹角,须先将两个向量平移至公共起点.

(2)两个向量夹角的范围:0

(3)当=0时,与同向;

利用多借

媒体展助

当=π时,与反向。示出不几

同位置何

关系的直

(4)当=时,与垂直,几组向观

量,借加

记⊥.助几何深

直观对学

概念进生

行强调对

说明。两

(1)向量

量同起夹

(5)规定:零向量与任一向量垂直.点角

师的

(2)范,

生围为

(3)特量

殊情况数

动(4)突定

,出一规义

定奠

教学

师生活设计

教学内容

动意图

环节

2、向量在轴上的正射影

(1)概念:已知向量和轴,作,过点分别作轴的垂线,垂

足分别为,则向量叫做向量在轴上的正射影(简称射影)。

师生共

同回顾

自学时

所认识

的向量

在轴上

的正射

影的概

念。

(2)正射影的数量:

加强

即向量在轴上的正射影的数量,记作几何

设向量的方向与轴的正向所成的角为,则观,

有利

强调:正射影是一个向量,该射影在轴上的坐标才是一个于学

数量。生理

解概

念。

(3)时,;

时,;

时,;

时,;

时,。

生在正射

影的概

念的基

础上给

出正射

影的数

量的概

念。

,

区别

教学

师生活设计

教学内容

动意图

环节

3、向量数量积的定义两个向

概念:叫向量和的数量积(或内积),记作,即有量的数

量积是学习

一个数新概

探究1:两个向量的数量积与数乘向量有什么区别?量,这念与

个数量问题

两个向量的数量积是一个实数,符号由的符号所决定;的大小讨论

而数乘向量是一个向量。与两个相结

向量的合,

探究2:两个向量的数量积与两个实数的乘法有什么区长度及进一

别?其夹角步加

的余弦深学

①书写:实数乘积或;值有生对

关。新概

在实数中,若a0,且ab=0,则b=0;但是在数量积中,念的

若,且,不能推出,因为其中cos有可能为0。理解

与掌

②已知实数a、b、c(b0),则ab=bca=c,但是教师提握。

出问

③在实数中,有(ab)c=a(bc),但是题,学

生以小

组为单提出

4、向量数量积的性质位进行问题

探究。引导

(1)如果是单位向量,则学生

去探

;究,

培养

(2)学生

的探

且;索精

神。

师(3)或;

对于探

(4);究2此

(5).处重点

强调书

生写的区

别,其

它性质通过

或运算对书

律的区写的

互别学生强

若想不调,

到可在体现

后面例数学

1中展的严

动现.谨

性。

教学

师生活设计

教学内容

动意图

环节

性质的应用:

(2)可解决两向量的垂直问题;学生自

主观察

申:解决两向量共线的问题:性质特培养

点,自学生

主总结自主

且性质的探

应用价究、

(3)可求向量的长度;值,也合作

生可以以交流

互(4)可求两向量的夹角,同时也建立了向量与三角的联系;小组为的能

单位进力,

(5)建立了向量与不等式之间的联系.行探变

,理

究。“学

解会”

知为

“会

学”.

例1、判断正误:

①若,则对任一向量,

有。(√)教师出通过

示8个题目

②若,则对任一非零向量,判断帮助

有。(×)题,学学生

生进行更准

③若,则、至少有一个为分析、确的

零。(×)判断,认识

教师提向量

④若,,问个别的数

则.同学进量

(×)行回积,

,答,根并养

掌⑤若,则当且仅当时成立。(×)据回答成缜

情况进密推

⑥对任意向量、、,行强调理的

握有.(×)和纠好习

正。惯。

⑦对任意向量,

知有.

(√)

⑧对任意向量,

有。(×)

教学

师生活设计

教学内容

动意图

环节

例2、已知,,

当①,②,③与的夹角是30°时,分别求.教师出

示例让学

题,由生在

学生到掌握

例3、在正三角形中,边长为3,求(1)(2)黑板上向量

板演,数量

最后师积公

生共同式的

强调:点评完基础

成。上,

第(2)问是个易错点,此两向量首尾相接,所以两向量的进一

夹角不再为,而应为.步认

识两

个向

量垂

教师出直、

示例共线

题,由的充

学生进要条

,行口头件,

分析,因为

充分展它是

示学生用

的思维“向

过程。量

法”

解决

解析

何、

立体

几何

中有

关两

直线

位置

关系

问题

的重

要工

具。

练基础:

1、若,则与的夹角的取值范围是___________。这些

练习

自2、已知,=4,,则=__________。学生独源于

立完课本

3、已知=2,在方向上的正射影的数量为—4,则成,教例、

___________.师核对习

答案,题,

实4、已知=3,,且,则在方向上的正射影的数量为________.并关注充分

学生的体现

践数学表以本

,达。为

应本.

教学

师生活设计

教学内容

动意图

环节

通过

反馈

习,

学生

自我

检验

所学

自的效

果,

练能力:

找出

我1、在四边形中,,且,则四边形是()

题,

进行

梯形菱形

补。

矩形正方形

践2、在中,,,且,则的形状为_________。

教材

应以力

做功

练应用:

为背

用景引

1、已知平面上三点、、满足,,,求的值.

入新

2、已知一个与水平夹角为的力,的大小为50,拉着一个重

知识,

80的木块在摩擦系数为的水平面上运动了20,求拉力、摩

练习

擦力做的功分别为多少?

以计

识算力

做功

而结

束,

首尾

应,

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