东南大学数值分析上机作业汇总-1-2023修改整理

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐东南大学数值分析上机作业汇总数值分析上机报告

《

院系：

学号：

姓名：

名目

作业1、舍入误差与有效数(1)

1、函数文件(1)

2、函数文件(1)

3、两种办法有效位数对照(1)

4、心得(2)

作业2、Newton迭代法(2)

1、通用程序函数文件(2)

2、局部收敛性(3)

（1）最大δ值文件(3)

（2）验证局部收敛性(4)

3、心得(5)

作业3、列主元素Gauss消去法(6)

1、列主元Gauss消去法的通用程序(6)

2、解题中线性方程组(7)

3、心得(8)

作业4、三次样条插值函数(8)

1、第一型三次样条插值函数通用程序：(8)

2、数据输入及计算结果(10)

作业1、舍入误差与有效数

设∑

=-=N

jNjS2

2

11

，其精确值为??

???1112321NN.（1）编制按从小到大的挨次11

131121222-?

??+-+-=NSN，计算NS的通用程序；（2）编制按从大到小的挨次()1

21

11111222-???+--+-=NNSN，计算NS的通用程序；

（3）按两种挨次分离计算642101010,,SSS,并指出有效位数；（4）通过本上机你明了了什么

程序：

1、函数文件

functionS=cxdd(N)S=0;i=;

while(i>）：

S=cxdd(80)S=

2、函数文件

functionS=cddx(N)S=0;fori=N:-1:2S=S+1/(i*i-1);end

script运行结果（省略>>）：S=cddx(80)S=

3、两种办法有效位数对照

精确值函数：

functionS=jqz(N)S=*运行结果（省略>>）

4、心得

本题重点体现了数值计算中“大数吃小数”的问题，因为计算机计算的截断特点，从大到小的计算会导致小数的有效数被忽视掉。

从题中可以看出，看出按不同的挨次计算的结果是不相同的，按从小到大的挨次计算的值与精确值吻合，而按从大到小的挨次计算的值与精确值有较大的误差。计算机在举行数值计算时会浮现“大数吃小数”的现象，导致计算结果的精度有所降低。

作业2、Newton迭代法

（1）给定初值x

及容许误差ε，编制Newton法解方程f(x)=0根的通用程序。

（2）给定方程f(x)=x3/3-x=0,易知其有三个根x

1※=3

-，x

2

※=0，x

3

※=3。

①由Newton办法的局部收敛性可知存在δ＞0，当x0∈（δ

-，δ），Newton迭

代序列收敛于根x

2

※，试确定尽可能大的δ；

②试取若干个初始值，观看当x

0∈（-∞，-1），（-1，δ

-），（δ

-，δ），（δ，

1），（1，+∞）时，Newton序列是否收敛以及收敛于哪一个根。（3）通过本上机题，你明了了什么

1、通用程序函数文件

定义f(x)函数

functionf=fun(x)

f=x^3/3-x;

end

定义f(x)导函数

functionf=dfun(x)

f=x*x-1;

end

定义求近似解函数

function[f,n]=newton(x0,ep)

flag=1;

n=0;

while(flag==1)

x1=x0-fun(x0)/dfun(x0);

n=n+1;

if(abs(x1-x0)100000)

flag=0;

end

x0=x1;

end

f=x1;

end

script运行结果

clear;

x0=input('请输入初始值x0：');

ep=input('请输入容许误差：');

[f,n]=newton(x0,ep);

fprintf('方程的一个近似解为:%f\n',x1);

2、局部收敛性

（1）最大δ值文件

flag=1;

k=1;

x0=0;

whileflag==1

sigma=k*10^-6;

x0=sigma;

k=k+1;

m=0;

flag1=1;

whileflag1==1

ifabs(x1-x0)=10^-6)

flag=0;

end

end

fprintf('最大值为：%f\n',sigma);

运行结果为：

最大值为：

即得最大的δ为，Newton迭代序列收敛于根*

x=0的最大区间为（，）。

2

（2）验证局部收敛性

在x0∈（-∞，-1）区间，取以下初值，分离调用函数文件，得到结果如下：

X0X1迭代次数

-10015

-2022

-58

5

结果显示，以上初值迭代序列均收敛于，即根*

x。

1

明显，迭代格式初值的挑选对于迭代的收敛速度是至关重要的，当时值临近真切值的时候，迭代次数削减。

在x0∈（-1，δ

-）区间，取以下初值，分离调用函数文件，得到结果如下：

X0X1迭代次数

9

6

10

15

计算结果显示，迭代序列局部收敛于，即根*

x。

3

在x0∈（δ

-，δ）区间，取以下初值，分离调用函数文件，得到结果如下：

X0X1迭代次数

5

3

3

3

3

5

由的运行过程表明，在囫囵区间上均收敛于0，即根*

x。

2

在x0∈（，1）区间，取以下初值，分离调用函数文件，得到结果如下：

X0X1迭代次数

10

7

9

12

计算结果显示，迭代序列局部收敛于，即根*

x。

1

在x0∈（1

X0X1迭代次数

5

58

2022

10015

结果显示，以上初值迭代序列均收敛于，即根*

x。

3

综上所述：(-∞，-1)区间收敛于，(-1，δ)区间局部收敛于，局部收敛于，(-δ，δ)区间收敛于0，(δ，1)区间类似于(-1，δ)区间，(1,∞)收敛于。3、心得

牛顿迭代法对于初值的挑选要求较高，因此，在牛顿迭代时可现通过容易迭代法寻觅相对精确     一些的值来举行牛顿迭代。

对于方程有多解的问题，Newton法求方程根时，牛顿迭代要考虑局部收敛的问题，迭代序列收敛于某一个根有一定的区间限制，在一个区间上，可能会局部收敛于不同的根。

作业3、列主元素Gauss消去法

对于某电路的分析，归结为求解线性方程组RI=V。

32-13000-10000

-1335-90-110000

0-931-1000000

R=000-3057-70-50

0000-747-3000

00000-304100

0000-50027-2

000-9000-229

VT=[-15，27，-23，0，-20,12，-7,7,10]T

（1）编制解n阶线性方程组Ax=b的列主元Gauss消去法的通用程序；

（2）用所编程序解线性方程组RI=V，并打印出解向量，保留5位有效数字；（3）在本编程之中，你提高了那些编程能力。

1、列主元Gauss消去法的通用程序

函数：

找每列的主元的函数

functionB=zhuyuan(B,t,N,M)

fori=0:N-1-t

ifB(N-i,t)>B(N-i-1,t)

c=zeros(1,M);

forj=1:M

c(j)=B(N-i,j);

B(N-i,j)=B(N-i-1,j);

B(N-i-1,j)=c(j);

end

end

end

举行列消去的函数

functionB=xiaoqu(B,t,N,M)

fori=t+1:N

l=B(i,t)/B(t,t);

forj=t:M

B(i,j)=B(i,j)-l*B(t,j);

end

end

举行三角矩阵下的解函数

functionX=jie(X,B,N,M)

fori=1:N-1

s=B(N-i,M);

forj=N-i+1:N

s=s-B(N-i,j)*X(j);

end

X(N-i)=s/B(N-i,N-i);

end

执行主程序：

N=input('请输入线性方程组的阶数:N=');

M=input('请输入增广矩阵阶数:M=');

b=zeros(1,N);

A=zeros(N,N);

A=input('请输入系数矩阵:');

b(1,:)=input('请输入方程组的右端向量:');

b=b';

B=[A,b];

fort=1:N-1

B=zhuyuan(B,t,N,M);

B=xiaoqu(B,t,N,M);

end

X=zeros(N,1);

X(N)=B(N,M)/B(N,N);

X=jie(X,B,N,M);

X

2、解题中线性方程组

执行程序，输入矩阵A（即题中的矩阵R）和列向量b(即题中的V),如下：请输入线性方程组的阶数:n=9

请输入增广矩阵阶数:m=10

请输入系数矩阵A：

A=[31,-13,0,0,0,-10,0,0,0,-15;-13,35,-9,0,-11,0,0,0,0,27;0,-9,31,-10,0,0,0,0,0,-23;0,0,-10,79,-30,0,0,0,-9,0;0,0,0,-30,57,-7,0,-5,0,-20;0,0,0,0,-7,47,-30,0,0,12;0,0,0,0,0,-30,41,0,0,-7;0,0,0,0,-5,0,0,27,-2,7;0,0,0,-9,0,0,0,-2,29,10];

请输入方程组的右端向量b：[-1527-230-2012-7710]

得到如下结果：

A=

31-13000-10000-15

-1335-90-11000027

0-931-1000000-23

00-1079-30000-90

000-3057-70-50-20

0000-747-300012

00000-304100-7

0000-50027-27

000-9000-22910

x=

3、心得

列主元Gauss最重要的就是如何通过找到最大主元，并交换行，如何举行消去，这需要很精心的循环，和很复杂的嵌套，通过本题的编程，感觉个人对于这种多层嵌套循环的处理能力提高了无数。

通过对软件的编程，也越发理解了Gauss消去法的实质。

作业4、三次样条插值函数

（1）编制求第一型3次样条插值函数的通用程序；

（2）已知汽车门曲线型值点的数据如下：

端点条件为

'

y=，'

10

y=，用所编程序求车门的3次样条差值函数S（x），并

打印出S（i+），i=0,1······9。

1、第一型三次样条插值函数通用程序：

n=input('请输入节点数n:');

n=n+1;

xn=zeros(1,n);

yn=zeros(1,n);

xn(1,:)=input('请输入X的值：');

yn(1,:)=input('请输入Y的值：');

dy0=input('请输入边界条件y(0):');

dyn=input('请输入边界条件y(n):');

d=zeros(n,1);

h=zeros(1,n-1);

f2=zeros(1,n-2);

fori=1:n-1

h(i)=xn(i+1)-xn(i);%求一阶差商

f1(i)=(yn(i+1)-yn(i))/h(i);

end

fori=2:n-1

f2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(xn(i+1)-xn(i-1));%求二阶差商

d(i)=6*f2(i);

end

d(1)=6*(f1(1)-dy0)/h(1);

d(n)=6*(dyn-f1(n-1))/h(n-1);

A=zeros(n);%求M值

u=zeros(1,n-2);

r=zeros(1,n-2);

fori=1:n-2

u(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));

r(i)=1-u(i);

end

A(1,2)=1;

A(n,n-1)=1;

fori=1:n

A(i,i)=2;

end

fori=2:n-1

A(i,i-1)=u(i-1);

A(i,i+1)=r(i-1);

end

M=A\d;

symsx

fori=1:n-1%求节点插值

Sx(i)=collect(yn(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x-xn(i))+M(i)/2*(x-xn(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x-xn(i))^3);

Sx(i)=vpa(Sx(i),4);

end

fori=1:n-1

x=xn(i)+;

S(i)=yn(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x-xn(i))

+M(i)/2*(x-xn(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x-xn(i))^3;

end

disp('S(x)=');%结果输出

fori=1:n-1

fprintf('%s(%d,%d)\n',char(Sx(i)),xn(i),xn(i+1));

disp('··············································');

end

disp('S(i+');

disp('ix(i+S(i+')

fori=1:n-1

fprintf('%d%.4f%.4f\n',i,xn(i)+,S(i))

end

2、数据输入及计算结果

请输入节点数n:10

请输入X的值：[012345678910]

请输入Y的值：[]

请输入边界条件y(0):

请输入边界条件y(n):

S(x)=

-*x^3-*x^2+*x+(0,1)

·············································

-*x^3-*x^2+*x+(1,2)

····