中档解答题特训之-专题篇（6）专题六 概率与统计（二）理科

中档解答题特训之——专题篇专题六概率与统计（二）理科类型一：离散型变量分布列1．市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士﹣﹣12369”的绿色环保活动小组对2014年1月﹣2014年12月（一月）内空气质量指数API进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：指数API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中重度污染重度污染天数413183091115（Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气质量指数API（记为t）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失P∈（200，600]元的概率；（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计100下面临界值表功参考．P（K2≥k）0.150.100.050.0100.0050.001k2.0722.7063.8416.6357.87910.828参考公式：．类型二：回归直线之散点图2．参加成都七中数学选修课的同学，对某公司的一种产品销量与价格进行了统计，得到如下数据和散点图：定价x（元/kg）102030405060年销量y（kg）115064342426216586z=2lny14.112.912.111.110.28.9（参考数据：，，）（1）根据散点图判断，y与x，z与x哪一对具有较强的线性相关性（给出判断即可，不必说明理由）？（2）根据（1）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）．（3）定价为多少元/kg时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn），其回归直线=•x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：==，=﹣n••．类型三：条件概率3．惠州市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到1个新球的概率．参考公式：互斥事件加法公式：P（A∪B）=P（A）+P（B）（事件A与事件B互斥）．独立事件乘法公式：P（A∩B）=P（A）•P（B）（事件A与事件B相互独立）．条件概率公式：．类型四：正态分布4．某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（200，12.22），试计算数据落在（187.8，212.2）上的频率；参考数据若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．（Ⅲ）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系y=，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．

专题五概率与统计（二）理科答案与解析1．（2017•湖南三模）市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士﹣﹣12369”的绿色环保活动小组对2014年1月﹣2014年12月（一月）内空气质量指数API进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：指数API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中重度污染重度污染天数413183091115（Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气质量指数API（记为t）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失P∈（200，600]元的概率；（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100下面临界值表功参考．P（K2≥k）0.150.100.050.0100.0050.001k2.0722.7063.8416.6357.87910.828参考公式：．【考点】BL：独立性检验．【分析】（Ⅰ）由200＜4t﹣400≤600，得150＜t≤250，频数为39，即可求出概率；（Ⅱ）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失P∈（200，600]元”为事件A…（1分）由200＜4t﹣400≤600，得150＜t≤250，频数为39，…（3分）∴P（A）=…．（4分）（Ⅱ）根据以上数据得到如表：非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100…．（8分）K2的观测值K2=≈4.575＞3.841…（10分）所以有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关．…（12分）【点评】本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．2．（2017•湖南模拟）参加成都七中数学选修课的同学，对某公司的一种产品销量与价格进行了统计，得到如下数据和散点图：定价x（元/kg）102030405060年销量y（kg）115064342426216586z=2lny14.112.912.111.110.28.9（参考数据：，，）（1）根据散点图判断，y与x，z与x哪一对具有较强的线性相关性（给出判断即可，不必说明理由）？（2）根据（1）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）．（3）定价为多少元/kg时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn），其回归直线=•x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：==，=﹣n••．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）由散点图可知：z与x具有较强的线性相关性；（2）求得样本中心点（，），则==≈﹣0.10，由=﹣•=15.05≈15，即可求得线性回归方程，则；（3）年利润L（x）=x•=x•，求导，令L′（x）=0，即可求得年利润L（x）的最大值．【解答】解：（1）由散点图可知：z与x具有较强的线性相关性；（2）由==35，==11.55，==≈﹣0.10，由=﹣•=15.05≈15，=x+=15﹣0.10x，线性回归方程为：=15﹣0.10x，则y关于x的回归方程==，∴y关于x的回归方程==；（3）年利润L（x）=x•=x•，求导L′（x）=•（1﹣x•），令导L′（x）=0，解得：x=20，由函数的单调性可知：当x=20时，年利润的预报值最大，∴定价为20元/kg时，年利润的预报值最大．【点评】本题考查线性回归方程的应用，考查利用最小二乘法求线性回归方程，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．3．（2015•惠州模拟）惠州市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到1个新球的概率．参考公式：互斥事件加法公式：P（A∪B）=P（A）+P（B）（事件A与事件B互斥）．独立事件乘法公式：P（A∩B）=P（A）•P（B）（事件A与事件B相互独立）．条件概率公式：．【考点】CM：条件概率与独立事件；C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为事件Ai（i=0，1，2），求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望；（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B．而事件A0B、A1B、A2B互斥，由此可得结论．【解答】解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为事件Ai（i=0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以P（A0）=P（ξ=0）==；P（A1）=P（ξ=1）==；P（A2）=P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为ξ012Pξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=1．（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B，而事件A0B、A1B、A2B互斥，所以P（A0B+A1B+A2B）=P（A0B）+P（A1B）+P（A2B）=++=．所以第二次训练时恰好取到一个新球的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出概率是关键．4．（2017•郑州二模）某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（200，12.22），试计算数据落在（187.8，212.2）上的频率；参考数据若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．（Ⅲ）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系y=，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图即可求出a的值，（Ⅱ）根据正态分布的定义即可求出答案，（Ⅲ）根据分段函数的关系式代值计算即可．【解答】解：（Ⅰ）a=0.1﹣（0.002+0.009+0.022+0.024+0.008+0.002）=0.033，（Ⅱ）S2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.08=150所