榆林市第十二中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精陕西省榆林市第十二中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题含解析榆林市第十二中学2019-2020学年度第二学期理数期中测试卷注意事项:1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题(共12道题，每题5分,总分60分）1。在复平面内，复数(为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A。第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】首先求得复数z，然后求解其共轭复数即可。【详解】由复数的运算法则有：，则，其对应的点位于第三象限。故选：C。【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数，以及复数的几何表示，复数所表示的点所在的象限,属于基础题。2.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，则不同的安排方法共有（）A.40种 B。30种 C.20种 D.60种【答案】D【解析】【分析】根据题意，分析可得,先取后排的原则，有计算可得答案．【详解】根据题意，周一至周五5天中选3天，安排甲、乙、丙3位志愿者共有种安排方法，故选:D．【点睛】本题考查排列、组合的综合问题，在解决此类问题,一般采用先组合后排列的方法，属于基础题。3.（）A。 B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】利用组合数性质化简．【详解】．故选：B．【点睛】本题考查组合数的性质,掌握组合数性质是解题基础，其中变形是关键．4。在曲线上切线的倾斜角为的点是（）A。(0，0） B.（2，4） C。 D。【答案】D【解析】依题意，此时,故选.5。由y＝sinx，y＝cosx，x＝0，x＝π所围成图形的面积可表示为（）A. B。C. D.【答案】B【解析】分析】作出函数图象，得出与上交点，所围图形面积分两块计算．【详解】作出和的一部分图象,如图，在上的交点为，由图象可得所求图形面积为．故选:B．【点睛】本题考查用定积分求曲边梯形面积，一般复杂点就是两个函数图像围成的曲边梯形问题,积分区间的端点有的是由函数的端点给定的，有的要结合图像联立方程求交点的横坐标,求面积的原则是上面的函数减去下面的函数，再找出相应的区间求积分．6。如图所示，A,B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0。8,0。7，那么系统的可靠性是()A.0。504 B。0.994C.0。496 D。0.06【答案】B【解析】试题分析：系统正常工作的概率为,即可靠性为0.994．故选B．考点：相互独立事件同时发生的概率．【名师点睛】1．对于事件A，B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A,B相互独立；2．若A与B相互独立，则P(B｜A)＝P（B），P（AB)＝P（B|A)×P(A）＝P（A)×P（B）3．若A与B相互独立,则A与,与B，与也都相互独立．4．若P(AB)＝P(A）P(B）,则称A，B相互独立．7。用数学归纳法证明“”,从“到”左端需增乘的代数式为()A. B。 C. D。【答案】B【解析】【分析】分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“从到”左端需增乘的代数式.【详解】由题意知，当时，有，当时,等式的左边为，所以左边要增乘的代数式为.故选：.【点睛】本题主要考查的是归纳推理，需要结合数学归纳法进行求解，熟知数学归纳法的步骤,最关键的是从到,考查学生仔细观察的能力,是中档题。8。二项式的展开式中的常数项是（）A.第项 B.第项 C。第项 D.第项【答案】C【解析】【分析】求出二项展开式的通项,令的指数为零，求得的值,进而可得出结果。【详解】二项式的展开式通项为，令，解得。因此，二项式的展开式中的常数项是第项。故选：C.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求解，考查计算能力，属于基础题。9。已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6］内的概率为（）（附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2),则P(μ－σ〈X〈μ＋σ）＝68。3％,P（μ－2σ<X<μ＋2σ）＝95.4％)A。4.6％ B。13.55％ C。27。1% D。31。7％【答案】B【解析】【分析】根据正态分布的性质求解即可.【详解】因为某批零件的长度误差服从正态分布N（0，32）,该误差的均值为，标准差为。故长度误差落在区间（3，6]内的概率为.故选：B【点睛】本题主要考查了正态分布的性质运用,属于基础题。10。某研究机构对儿童记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为,,若某儿童的记忆能力为时，则他的识图能力为（）A9.2 B。9.5 C。9。8 D.10【答案】B【解析】试题分析：由表中数据计算得，将即代入,得，所以回归直线方程为，将代入得，，故选B．考点：线性回归分析．11。有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说:“是乙或丙当选”，乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”,若四位同学的话只有两句是对的,则当选的同学是（)A。甲 B。乙 C.丙 D.丁【答案】C【解析】【分析】根据“四位同学的话只有两句是对的"，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符,则假设成立，从而解决问题.【详解】若甲当选，则都说假话，不合题意；若乙当选，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话,不符合题意；若丁当选，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意；故当选是丙.故选：C。【点睛】本题考查的是推理的应用，主要考查逻辑思维和推理能力,解决此类问题的基本方法是假设法,属于基础题。12。设函数在定义域内可导,的图像如图所示，则导函数的图象可能为（）A. B。C。 D。【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性得到导数的正负，从而得到函数的图象.【详解】由函数的图象可知，当时，单调递增，则，所以A选项和C选项错误；当时,先增，再减，然后再增，则先正，再负，然后再正，所以B选项错误.故选:D。【点睛】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，意在考查学生对该知识的掌握水平，属于基础题.一般地，函数在某个区间可导，,则在这个区间是增函数；函数在某个区间可导，，则在这个区间是减函数。第II卷（非选择题)二、填空题(共4道题，每题5分,总分20分）13。下列说法中正确的序号是__________．①若，其中，，则必有②③虚轴上的点表示的数都是纯虚数④若一个数是实数，则其虚部不存在⑤若,则对应的点在复平面内的第一象限．【答案】⑤【解析】【详解】①若,其中令，则必有，不是，所以①不正确；②,不正确，复数不能比较大小;③虚轴上的点表示的数都是纯虚数，必须除去原点，所以③不正确;④若一个数是实数,则其虚部不存在,不正确，虚部为，不是不存在；⑤若，则，对应的点在复平面内的第一象限，⑤正确。故答案为⑤.14.已知某一随机变量X的分布列如下表：且EX＝6，则a＝________，b＝________.【答案】(1）.0.3（2）。6【解析】【分析】根据随机变量的分布列的性质即可求出，利用数学期望的计算公式即可求出。【详解】由随机变量分布列的性质得,解得,所以，解得。故答案为:；。【点睛】本题考查随机变量的分布列的性质以及利用随机变量的均值求参数，意在考查学生对这些知识的掌握水平，熟记计算公式即可,属于基础题。15。设，，则的大小关系为__________．【答案】【解析】【分析】通过比较的大小，即可判断的大小关系.【详解】解:，，因为，所以，即。故答案为:.【点睛】本题考查了无理数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较平方法等．属于基础题。16。已知为正实数,且，则的最小值为________．【答案】36【解析】【分析】直接利用柯西不等式求最小值及取最小值的条件．【详解】由柯西不等式得当且仅当，即，,时，等号成立；所以当，，时,取得最小值36．故答案为:36。【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题（共6道题，总分70分)17。在一次英语口语考试中,有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算及格，求该考生答对的试题数X的分布列，并求该考生及格的概率．【答案】X的分布列见解析，该考生及格的概率为.【解析】【分析】根据某考生能答对10道中的8道试题，从备选题中任选3道题进行测试，得到答对试题数X的可能取值为1,2,3，然后求得相应的概率,列出分布列，再根据至少答对2道题才算及格,则及格的概率为求解.【详解】X的可能取值为1，2，3，所以，所以X的分布列为：X123p设该考生及格为事件A，则.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列及概率，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.已知函数(a∈R)．(1）若f(x)在x＝3时取得极值,求a的值；（2)在（1）的前提下，求f（x)的单调区间.【答案】（1）3（2）增区间为,减区间为【解析】【分析】（1）先求原函数的导数；再根据f（x）在x=3处取得极值对应的结论即可求实数a的值;(2）先求原函数的导数，根据f'(x）〉0求得的区间是单调增区间,f’(x）〈0求得的区间是单调减区间.【详解】（1),，若f（x）在x＝3时取得极值，则，解得。（2)，，令，解得或,令，解得，所以函数的增区间为,减区间为。【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值、单调性，不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，转化思想，属于中档题.19.某公司招聘员工,先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用;若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用;当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独立.（1）求某应聘人员被录用的概率；(2）若4人应聘，设X为被录用人数,试求随机变量X的分布列.【答案】（1);(2)分布列见解析.【解析】【分析】（1）通过分析知所求的应聘人员被录用的情况包括两位专家都同意通过的情况和只有一位专家同意通过并通过复审的情况，所以分别求概率，利用独立事件的概率求解;（2)先求出每个人被录用的概率，再利用二项分布求出每种情况的概率，列出分布列，利用二项分布的期望公式计算数学期望。【详解】设“两位专家都同意通过”为事件，“只有一位专家同意通过”为事件,“通过复审”为事件．(1）设“某应聘人员被录用"为事件，则，∵，，,∴.(2）根据题意,，表示“应聘的人中恰有人被录用”．∵，，，,，∴的分布列为【点睛】本题主要考查独立事件的概率，考查了离散型随机变量的分布列,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力。20.已知函数（Ⅰ）求不等式≤6的解集;(Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【详解】（Ⅰ)原不等式等价于或或解得或或，不等式的解集为(Ⅱ)∵,若不等式恒成立，只需a＜4,故a的取值范围是21。（1）已知，证明：；（2)已知,证明:．【答案】（1)证明见解析；（2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用作差法证明即可.（2）利用基本不等式证明即可。【详解】(1）因为.因为,故，即。故成立。（2）由基本不等式可得，故.同理有，。相加可得,当且仅当时取等号。即得证.【点睛】本题主要考查了作差法以及基本不等式证明不等式的问题，属于基础题.22.已知函数．（1)当时，求函数的单调区间；（2）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围．【答案】（1)的单调增区间为,单调减区间为;（2）【解析】【分析】(1）当时,直接对求导，利用导数研究函数的单调性，解不等式和，即可求出的单调区间；（2）根据函数在区间上为减函数，利用分离参数法，得出对恒成立，构造函数,根据导数确定在区间上的单调性,从而求出,即可得出实数的取值范围．【详解】解：（1)由题可知，，的