教学设计2：幂函数

幂函数一、教学目标1.知识目标（1）了解幂函数的概念；（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；（3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。2.能力目标在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。3.情感目标通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。二、教学重点常见的幂函数的图象和性质三、教学难点幂函数的图象和性质的总结四、教学用具多媒体平台，几何画板课件五、教学过程【创设情境】（多媒体投影）问题1.某人买每千克1元的蔬菜，则其需付的钱数p（元）和购买的蔬菜的量（千克）w之间的有何关系？2.正方形的面积S和它的边长a之间有何关系？3.正方体的边长V和它的边长a之间有何关系？4.问题2中，边长a是S的函数吗？5.问题3中，边长a是V的函数吗？6.某人在t秒内行进了1千米，那么他的行进的平均速度v为多少？学生很容易回答出这六个关系式（都是函数关系式）分别是：【提出问题启发建构】问：这六个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？这时，学生观察可能有些困难，老师提示，可以用表示自变量，用表示函数值，上述函数式变成：，便于看出特征它们都是形如的函数。（投影幂函数的定义。）揭示课题：今天这节课，我们就来研究：幂函数深化认知（1）下列函数是幂函数的是：A.B.C.D.（2）幂函数与指数函数有什么联系和区别？引导：有了幂函数的概念后，我们接下来做什么？――――研究幂函数的性质通过什么方式来研究？――――――画函数的图象为使作图高效，我们可先做点什么―――分析函数的定义域、奇偶性（投影）例1.写出下列函数的定义域，并指出奇偶性：探究：①怎样便于看出幂函数的定义域？（写成根式的形式）②观察幂函数的定义域对其奇偶性有什么影响？结论1：只要幂函数的定义域是关于原点对称的（或者说定义域中有负数），则其一定具有奇偶性。【动手实践】请同学们画出下列常见的幂函数的图象，并根据图象将发现的性质填入表格（投影显示表格）定义域值域奇偶性单调性特殊点教师在这期间予以巡视指导，稍后，对学生感觉可能比较难画而不能肯定的四个函数、、和的图象，利用几何画板现场画出。为了不让学生感觉太突然，应该使用画板里的追踪动点轨迹的方式作图，近似于描点作图，这样可以让学生从中感受幂函数的值随变化而变化的情况。然后再作出完整的图象。（图1是在作图象的过程中的情况）师生共同完成上表。图1观察上表，组织学生讨论总结出这几个函数共同的性质：， ， ， ，（1）图象都过点（0,0）和（1,1）；（2）在［0,＋∞）上是增函数。，（1）图象都过点（1,1）；（2）在（0,＋∞）上是减函数。图2【类比联想拓展探究】我们研究的几个常见的幂函数的性质，是否也适合其他的幂函数，一般的幂函数怎样去研究它的性质呢？让同学们讨论、猜想一般的幂函数的图象和性质。诱思：哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象，这时可以通过什么途径来判断？结论2：第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、第三象限可能有，也可能没有图象，这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断（结合结论1）。老师用几何画板画出函数在第一象限内的图象，改变α的值，组织学生观察、分析所得的函数图象，在动态的变化过程中，让学生了解幂函数的性质里本质的、共性的东西。（如图2）。师生共同得出：结论3：幂函数的基本特征可以概括为：（1）α>0时，图象过（0,0），（1,1），在第一象限内图象是上升的；此处提醒同学们注意α>1和0<α<1时图象的区别（可以概括为“快增”和“慢增”）（2）α<0时，图象过（1,1），在第一象限内图象是下降的，与坐标轴无交点；（3）其他象限内的图象可以通过函数的定义域和奇偶性得出。【个例检验】老师通过几何画板利用参数法作出完整的幂函数的图象，检验刚才总结得到幂函数的性质的正确性。然后，在画出图象之前，让学生预测将出现的图象的形状、区域，来检测同学对幂函数性质的了解程度，体验学习带来的成就感，成功带来的愉悦。【目标检测】请同学上黑板作出函数，的草图，并指出单调区间；组织同学评议。例2.比较下列各组数的大小：（1）（2）【变式训练提高能力】比较小结：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性。【总结反思深化认识】先请同学说说本节课学到了什么知识和思想，然后师生共同总结得到共识：要想系统认识幂函数的性质，必须从它的图象着手，重点抓住幂函数在第一象限内的图象特征