大一高数复习资料全

z.z.高等数学〔本科少学时类型〕第一章函数与极限第一节函数O函数根底〔高中函数局部相关知识〕〔***〕O邻域〔去心邻域〕〔*〕第二节数列的极限0数列极限的证明〔*〕【题型例如】数列(}，证明lim{x}=af(x).g(x)]—0〔定理四〕在自变量的*个变化过程中，假设f(x)为无穷大，则f-1(x)为无穷小；反之，假设f(x)为则lim无穷小，且f(x)。0，则f-1(x)为无穷大

【题型例如】计算：lim[f(x).g(x刀〔或x-8〕1,v|f(x)G)n【证明例如】8-N语言nx—81.由|x-a\<8化简得n>g(8),gG)]2,即对V£>0,3N=g(8)]。当n>N时，始终有不等式愕-a<8成立，「.lim%)—anx-8第三节函数的极限Ox—x0时函数极限的证明〔*〕,

【题型例如】函数fG)，证明limfG)—Ax—x【证明例如】8-5语言 °1,由If(x)-A|<8化简得0<lx-x|<g•・•5—g(8) 0(8),2,即对V8>0,35=g。)始终有不等式f(x)—A<8成立<5时，...limfQ)-Ax—xOx—08时函数极限的证明【题型例如】函数f。)，证明lim―Ax—8【证明例如】8—x语言1,由f(x)-Al•・x=g(8)<8化简得|x|>g邻域[,.•f2,limxfx[lim°x-8U(x,b)内是有界的;(x)在xeD上有界；〕gQ)=0即函数gQ)是x-x0时的无穷小；

g(x)=0即函数g(x)是x-8时的无穷小；〕3.由定理可知limf[lim[f(x).g(°x)-(x).g(x)]=0x—8第五节极限运算法则。极限的四则运算法则〔**〕〔定理一〕加减法则〔定理二〕乘除法则关于多项式p(x)、q(x)商式的极限运算设:p(x)=axm+axm-i+...+aq(x)=bxn+bxn-i+…+b0 1 nn<m2,即对V8>0,3X=g。)不等式If(x)-A|<8成立...limfQ)-Ax-8n>mf(x)0 〔特别地，当lim―-〔不定型〕时，通常分x—x0g(x) 0子分母约去公因式即约去可去连续点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解〕x-3【题型例如】求值lim x-3x2-9【求解例如】解：因为x—3,从而可得x。3,所以原第四节无穷小与无穷大。无穷小与无穷大的本质〔*〕函数f(x)无穷小=limf(函数fQ)无穷大Olimf(O无穷小与无穷大的相关定理与推论六〕〔定理三〕假设fQ)为有界函数，gQ)为无穷小，x—3 x-3式—lim —lim —limx-3x2-9x-3(x+3)(x-3)x—3其中x=3为函数f(x)=±3的可去连续点x2-9倘假设运用罗比达法则求解〔详见第三章第二节〕:解:lim二3=lim1x_3)、=lim—=1x-3x2-9L，x-3(x2-9)x-32x6。连续函数穿越定理〔复合函数的极限求解〕〔**〕

〔定理五〕假设函数f(x)是定义域上的连续函数,则，limf①(x)x-x0=flim中-x-x0【题型例如】一'x-3求值：lim' x-3Yx2-9【求解例如】limx—>3limx-3x-3x2-9[二且

6="6"第六节极限存在准则及两个重要极限。夹迫准则〔P53〕〔***〕第一个重要极限:sinx1lim =1x—0x/跳越间断点(不等)第一类间断点(左右极限存在X—I可去间断点(相等)第二类间断点1二［无穷间断点(极限为8)〔特别地，可去连续点能在分式中约去相应公因式〕()Ie2xx<0【题型例如】设函数f(x)=1 ,应该怎样选［a+xx>0择数a，使得f(x)成为在R上的连续函数？【求解例如】f(0-)=e2.0-=e1=eG+)=a+0+=af(0)=a2.由连续函数定义limfx—0一(x)=limf(x)=f(0)=e(兀・•.VxG0,-I2sinx।sinx<x<tanx,\lim =1x—0xsin(x-x)］、〔特别地，lim 0-=1〕x-x0 x-x0。单调有界收敛准则〔P57〕〔***〕(一1、第二个重要极限：hm11+-〔一般地，limlimf(x)>0〕x)(x)=limf(x)l【题型例如】求值:lim|x-8【求解例如】

第七节无穷小量的阶〔无穷小的比较〕。等价无穷小〔**〕U~sinU~tanU~arcsinU~arctanU~ln(1+U)1.〜(eU-1)21U2~1―cosU■2〔乘除可替，加减不行〕【题型例如】求值.limlnG+x)+xlnG+x)【求解例如】

第八节函数的连续性。函数连续的定义〔*〕。连续点的分类〔P67〕〔*〕:a=e第九节闭区间上连续函数的性质。零点定理〔*〕【题型例如】证明：方程f(x)=g(x)+C至少有一个根介于a与b之间【证明例如［1.2.3.4.〔建立辅助函数〕函数①(x)=f(x)-g(x)-C在闭区间［a,b］上连续；•/P(a)W(b)<0〔端点异号〕••・由零点定理，在开区间(a,b)内至少有一点自，使得中©)=0,即f⑥-g⑥-C=0〔0<1<1］这等式说明方程f(x)=g(x)+C在开区间(a,b)内至少有一个根白第二章导数与微分第一节导数概念。高等数学中导数的定义及几何意义〔P83〕〔**〕【题型例如】函数fQ)=可导，求a,b【求解例如】,/(0)=a2.由函数可导定义：.a=1,b=2ex+1ax+b'(0-)(0+)f(0)=e0+1=2f，(0)=f^(0)=a=1f(0-)=f(0+)=f(0)=b=2Qy)化简得y'=1+ey-Qy)化简得y'=1+ey-y'1「x=6(t)设参数方程j_yj)，求【题型例如】d2ydx2第六节第七节〔建立辅助函数〕令①(x)=f(x)sinx显然函数6(x)在闭区间［。,兀］上连续，在开区间(0,兀)上可导；又..即(0)=f(0)sin0=0即p(0)=6(兀)=0「•由罗尔定理知1.2.3.。拉格朗日中值定理〔*〕【题型例如】证明不等式：当x>1时【证明例如［1.〔建立辅助函数〕令函数f(x)=ex，则对Vx>1,【题型例如】求y=fQ)在x=a处的切线与法线方程〔或：过y=fG)图像上点［a,f(a)］处的切线与法线方程〕【求解例如】.y'=frxc),yr|=fQ)x=a、.切线方程：y-f(a)=f,(a)(x-a)法线方程：y-f(a)=--4(x-a)f(a)第二节函数的和〔差〕、积与商的求导法则。函数和〔差〕、积与商的求导法则〔***〕.线性组合〔定理一〕：(au±Pv)'=au'+Pv'特别地，当a=0=1时，有(u±v)，=u'±v'.函数积的求导法则〔定理二〕：(uv)=uv+uv'.函数商的求导法则〔定理三〕:第三节反函数和复合函数的求导法则。反函数的求导法则〔*〕【题型例如】求函数f-1(x)的导数【求解例如】由题可得f(x)为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且f，Q)w0;：［f-1(x)］=^^。复合函数的求导法则〔***〕 、【题型例如】设y=lnearcsin-x2-1+x2+a2］求y【求解例如】第四节高阶导数， L JOf(n)(x)=rf(nT)(x)]〔或dny=jd(n-1)y]〕〔*〕dxn[dx(n-1)J【题型例如】求函数y=lnG+x)的n阶导数【求解例如】y'=—=(1+x)t,1+xL/ 、4 / 、 / 、y"=[(1+x)1]=(-1)(1+x)2,第五节隐函数及参数方程型函数的导数。隐函数的求导〔等式两边对x求导〕〔***〕【题型例如】试求：方程y=x+ey所给定的曲线C：y=yQ)在点G—e,1)的切线方程与法线方程【求解例如】由y=x+ey两边对x求导1一ei 1一e」.切线方程：y—1=-Q—1+e法线方程：y-1=-G-e)(x-1+e)。参数方程型函数的求导(dy【求解例如】变化率问题举例及相关变化率〔不作要求〕函数的微分。根本初等函数微分公式与微分运算法则〔***〕第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理。引理〔费马引理〕〔*〕。罗尔定理〔***〕【题型例如】现假设函数f(x)在［0,兀］上连续，在(0,兀)上可导，试证明：三己£(0,兀)，使得f(之)cos己+f史)sin己=0成立【证明例如】玉e(0,兀)，使得f(&)cosq+f，(5)sin己=0成立显然函数f(x)在闭区间11,x］上连续，在开区间(1,x)上可导，并且f(x)=ex；2.由拉格朗日中值定理可得，35el1,x］使得等式ex-e1=(x-1)e工成立，又;e5>e1,「.ex-e1>(x-1)e1=e•x-e,化简得ex>e•x，即证得：当x>1时，ex>e•x【题型例如】证明不等式：当x>0时，ln(1+x)<x【证明例如［

.〔建立辅助函数〕令函数f(x)=ln(1+x),则对Vx>0，函数f(x)在闭区间［0,x］上连续，在开区间(0,兀)上可导，并且f，(x)=j+—;.由拉格朗日中值定理可得，3^e［0,x］使得等式1,ln(1+x)-ln(1+0)=———(x一0)成立，1+1化简得ln(1+x)=-^―x，又•.七£［0,x］,1+1尸巧)=-^―<1,,ln(1+x)<1-x=x,+1即证得：当x>1时，ex>e-x第二节罗比达法则。运用罗比达法则进展极限运算的根本步骤〔**〕☆等价无穷小的替换〔以简化运算〕2.判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A.属于两大根本不定型〔0,8〕且满足条件，08f(x) ff(x)则进展运算：lim =lim-yx―«g(x)x—«g'(x)〔再进展1、2步骤，反复直到结果得出〕B.☆不属于两大根本不定型〔转化为根本不定型〕⑴0-8型〔转乘为除，构造分式〕【题型例如】求值：limxa-lnxx—0【求解例如】〔一般地，limxa.(lnx)B=0，其中a,PeR〕x—0⑵8-8型〔通分构造分式，观察分母〕_,―一一」【题型例如】求值：lim-【求解例如】0「(x-sinxJ -1-cosx0「(1-cosxJ「sinx八=lim——7-x——=lim =lim =lim =0L'x―0 ^x2J x—0 2x L'x―0 (2xJ x―02⑶00型〔对数求极限法〕【题型例如】求值：limxxx—0【求解例如】解：设y=xx,两边取对数得：lny=lnxx=xlnx=对对数取x—0时的极限：limx—0(lny)=limlnx=对对数取x—0时的极限：limx—0(lny)=limlnx=limlnx工x(lnx)'1=lim-xx—01limlny_x—0x—0 limlny_x—0x2⑷18型〔对数求极限法〕【题型例如】求值：lim(cosx+sinx—0【求解例如】⑸80型〔对数求极限法〕)【题型例如】求值：lim—x—01xJtanxtanx。运用罗比达法则进展极限运算的根本思路⑴通分获得分式〔通常伴有等价无穷小的替换〕⑵取倒数获得分式〔将乘积形式转化为分式形式〕⑶取对数获得乘积式〔通过对数运算将指数提前〕第三节泰勒中值定理〔不作要求〕第四节函数的单调性和曲线的凹凸性。连续函数单调性〔单调区间〕〔***〕〔**〕【题型例如】试确定函数f(x)=2x3-9x2+12x〔**〕【题型例如】试确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间【求解例如】1....函数f(x)在其定义域R上连续，且可导2.令f(x)=6(x-1)(x-2)=0，解得：x=1,x=21 2x(-8,1)1(1,2)2(2,+8)ff(x)+00+f(x)//、极大值极小值/4...・函数f3.〔三行表〕xJ的单调递增区间为(1,2)单调递减区间为【题型例如】证明：当x>0时，ex>xJ的单调递增区间为(1,2)单调递减区间为【证明例如［.〔构建辅助函数〕设①(x)=ex-x-1,〔x>0〕.p'(x)=ex-1>0,〔x>0〕..(pG)>(p(o)=o.既证：当工>。时，ex>x+l【题型例如】证明：当了>。时，ln(l+x)<x【证明例如】.〔构建辅助函数〕设(p(x)=ln(l+x)—x,〔x>。〕.cpr(x)=--l<0,〔x>0〕1+x①(x)<3(0)=03.既证：当x>0时，ln(1+x)<x。连续函数凹凸性〔***〕【题型例如】试讨论函数y=1+3x2-x3的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明例如［yr=-3x2+6x=-3x(x-2)y"=-6x+6=-6(x-1)'yr=-3x(x-2)=02,令jy〃=-6(x-1)3.〔四行表〕解得:=0x=0,x=21 2x=1x(-8,0)0(0,1)1(1,2)2(2,+8)y，0+/+0y"+/+/y1J(1,3)r54.⑴函数y=1+3x2-x3单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(-8,0),(2,+8);⑵函数y=1+3x2-x3的极小值在x=0时取到f(0)=1,极大值在x=2时取到，为f(2)=5；⑶函数y=1+3x2-x3在区间(-8,0),(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,+8)上凸；⑷函数y=1+3x2-x3的拐点坐标为(1,3)第五节函数的极值和最大、最小值。函数的极值与最值的关系〔***〕⑴设函数f(x)的定义域为D，如果3x的*个邻域MU(x)uD，使得对VxeUM我们则称函数f(x);M令xeM则函数f(x)在闭区间［a,川上的最大值M满足：M=max{f(a),⑵设函数f(x)x,x,x,...,x,f(b)}；M1M2M3Mn的定义域为D,如果3x的*个邻域U(x)uD,使得对VxeU(x)式/(x)>f(x)我们则称函数f(x)在点「x,都适合不等处有极小值0m1m2m3mn 在闭区间la,b」上的最小值m满足：m=min{f(a),x,x,x,...,x【题型例如】求函数f(x)【求解例如】,f(b)};mn在1-1,3」上的最值i.2.3.•.•函数f(x)在其定义域［-1,3］上连续，且可导:f(x)=-3x2+3令f，(x)=-3(x-1)(x+1)=0x-1(-1,1)1(1,3」f'(x)0+0f(x)极小值/极大值2解得：x=-1,x=1=f(1)=2,f(x)2,f(3)=-18=f(3)=-181〔三行表〕4,又.「f(-1)=-2,・•・f(x)max第六节第七节第八节min函数图形的描绘〔不作要求〕曲率〔不作要求〕方程的近似解〔不作要求〕(x)，都适合不等M(x)在点「xf(x)一LM,M」处有极大:,x,x,...,x}M1M2M3Mn第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质。原函数与不定积分的概念〔**〕⑴原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数F(x)的导函数为F'(x),即当自变量xeI时，有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)♦dx成立，则称F(x)为f(x)的一个原函数⑵原函数存在定理：〔**〕如果函数f(x)在定义区间I上连续，则在I上必存在可导函数F(x)使得F'(x)=f(x),也就是说：连续函数一定存在原函数〔可导必连续〕⑶不定积分的概念〔**〕在定义区间I上，函数f(x)的带有任意常数项解』^x=+fxf(x⑶不定积分的概念〔**〕在定义区间I上，函数f(x)的带有任意常数项解』^x=+fxf(x)dx称〔***〕/1Jdx=J a1+1 ,x.「=arctan—+Cx、2^a/1【题型例如】求J<27+1dxa.求2-x2dx〔三角换元〕分部积分法a.C的原函数称为f(x)在定义区间I上的不定积分，即表示为：Jf(x%x=F(x)+C〔J称为积分号，f(x)称为被积函数，为积分表达式，x则称为积分变量〕。根本积分表〔***〕。不定积分的线性性质〔分项积分公式〕第二节换元积分法O第一类换元法〔凑微分〕〔***〕[dy=f'Q)dx的逆向应用〕【题型例如】求J一1一dxa2+x2【求解例如】解』——dx=J-1a2+x2 (1+1-【求解例如】。第二类换元法〔去根式〕〔**〕〔dy=f()dx的正向应用〕⑴对于一次根式〔a丰0,beR〕：axx+b:令t=Jax+b于是x=上一b,a则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式〔a>0〕：：令x=atant〔--<t<—〕，22x ,于是t=arctan-，则原式可化为asect；a⑶对于根号下平方差的形式〔a>0〕：aa2一x2:令x=asint〔一x于是t=arcsm—，则原式可化为acost；a: 八 兀b.<x2-a2:令x=asect[0<t<—〕,_- a ,于是t=arccos，则原式可化为atant；x【题型例如】求J,1dx〔一次根式〕、J2x+1【求解例如】金品>J1-tdt=Jdt=t+C=<2x+1+Cx=112-1t2 2【题型例如】【求解例如】第三节。分部积分法〔**〕⑴设函数u=f(x),V=g(x)具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：Judv=uv-Jvdu⑵分部积分法函数排序次序：”反、对、幂、三、指〃。运用分部积分法计算不定积分的根本步骤：⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；⑵就近凑微分：[v'・dx=dv〕⑶使用分部积分公式：Judv=uv-Jvdu⑷展开尾项Jvdu=Jv,u'dx，判断假设Jv,u'dx是容易求解的不定积分，则直接计算出答案〔容易表示使用根本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果〕；b.假设JV,u'dx依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；假设重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型例如】求Jex-x2dx【求解例如】【题型例如】求Jex-sinxdx【求解例如】/.Jex-sinxdx=exex(sinx-cosx)+C2第四节有理函数的不定积分。有理函数〔*〕P(x)p(x)=axm+axm-1+…+a设：)= L0一十一-一~TmQ(x) q(x)=bxn+bxn-1+...+bTOC\o"1-5"\h\z()0 1 n对于有理函或P-f^,,当P(x)的次数小于。(x)的Q(x)\o"CurrentDocument"P(x) ()次数时，有理函数一^^是真分式；当P(x)的次数eU)() P(x)大于Q(x)的次数时，有理函数一^^是假分式QQ。有理函数〔真分式〕不定积分的求解思路〔*〕

P(x) ()⑴将有理函数一rr的分母Q(x)分拆成两个没有eul公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式(x-a)k；而另一个多项式可以表示为二次质因式Q2+px+q),〔p2-4q<0]；即：Q(x)=Q(x).Q(x)1 2(n)mx1 2(n)mx+n=mx+—Im),,,bc则参工攵p——，q——aa一般地:...n,则参数a=—-⑵则设有理函数华)的分拆和式为:

eu)IM|MIM参数A,A，…,A,《i,《2,…,《,由待定系数法12kINININL1L2Vl〔比较法〕求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解【题型例如】求f―二dx〔构造法〕x+1【求解例如】第五节积分表的使用〔不作要求〕第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质。定积分的定义〔*〕[f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限,[a,b]称为积分区间〕。定积分的性质〔***〕⑴fbf(x)dx=fbf(u)duaa⑵