（广东专用）高考数学总复习 第十章第四节 课时跟踪训练 理

PAGEPAGE1课时知能训练一、选择题1．以下命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，那么事件M与N互为对立事件；②假设事件A与B互为对立事件，那么事件A与B为互斥事件；③假设事件A与B为互斥事件，那么事件A与B互为对立事件；④假设事件A与B互为对立事件，那么事件A＋B为必然事件，其中，真命题是()A．①②④B．②④C．③④D．①②【解析】对①将一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，那么事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①错；对②对立事件首先是互斥事件，故②正确；对③互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错；对④事件A、B为对立事件，那么这一次试验中A、B一定有一个要发生，故④正确．【答案】B2．某城市2023年的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2023年空气质量到达良或优的概率为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(1,180) C.eq\f(1,19) D.eq\f(5,6)【解析】由表知空气质量为优的概率为eq\f(1,10)，空气质量为良的概率为eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).故空气质量为优或良的概率为eq\f(1,10)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,5).【答案】A3.(2023·惠州质检)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，那么b＞a的概率是()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5) C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)【解析】从{1,2,3,4,5}中选取一个数a有5种取法，从{1,2,3}中选取一个数b有3种取法．∴选取两个数a，b共有5×3＝15个根本领件．满足b＞a的根本领件共有3个．因此b＞a的概率P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).【答案】D4．甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq\f(1,2)，乙获胜的概率为eq\f(1,3)，那么以下说法正确的选项是()A．甲获胜的概率是eq\f(1,6) B．甲不输的概率是eq\f(1,2)C．乙输了的概率是eq\f(2,3) D．乙不输的概率是eq\f(1,2)【解析】记事件A“两人和棋”，事件B“乙获胜”，事件C“甲获胜”，那么A、B、C之间两两互斥，又P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3)，∴P(C)＝1－P(A)－P(B)＝eq\f(1,6).【答案】A5．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚刚想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3}，假设|a－b|≤1，那么称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，那么他们“心有灵犀”的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(5,9) C.eq\f(2,3) D.eq\f(7,9)【解析】甲想一数字有3种结果，乙猜一数字有3种结果，根本领件总数为3×3＝9.设“甲、乙心有灵犀”为事件A，那么A的对立事件B为“|a－b|＞1”，又|a－b|＝2包含2个根本领件，∴P(B)＝eq\f(2,9)，∴P(A)＝1－eq\f(2,9)＝eq\f(7,9).【答案】D二、填空题6．(2023·潮州模拟)一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：组别(0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]频数1213241516137试估计总体落在(10,40]上的概率是________．【解析】样本数据落在(10,40]上的频数为52，∴样本落在(10,40]上的频率f＝eq\f(52,100)＝0.52，因此估计落在(10,40]的概率约为0.52.【答案】0.527．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，那么摸出黑球的概率为________．【解析】摸出红球的概率为eq\f(45,100)＝0.45，因摸出1个球是红球、白球、黑球彼此互斥，∴摸出黑球的概率P＝1－0.45－0.23＝0.32.【答案】0.328．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为eq\f(7,15)，取得两个绿球的概率为eq\f(1,15)，那么取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．【解析】(1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生．因而取得两个同色球的概率为P＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).(2)由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件．那么至少取得一个红球的概率P(A)＝1－P(B)＝eq\f(14,15).【答案】eq\f(8,15)eq\f(14,15)三、解答题9．某企业生产的乒乓球被2023年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进展了抽样检测，检查结果如下表所示：抽取球数n5010020050010002000优等品数m45921944709541902优等品频率eq\f(m,n)(1)计算表中乒乓球优等品的频率．(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保存到小数点后三位)【解】(1)表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率为0.950.10．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，假设和为偶数算甲赢，否那么算乙赢．(1)假设以A表示和为6的事件，求P(A)．(2)现连玩三次，假设以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规那么公平吗？说明理由．【解】(1)甲、乙各出1到5根手指头，共有5×5＝25种可能结果，和为6有5种可能结果，∴P(A)＝eq\f(5,25)＝eq\f(1,5).(2)B与C不是互斥事件，理由如下：B与C都包含“甲赢一次，乙赢二次”，事件B与事件C可能同时发生，故不是互斥事件．(3)和为偶数有13种可能结果，其概率为P＝eq\f(13,25)＞eq\f(1,2)，故这种游戏规那么不公平．11．(2023·广东高考)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分，用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩xn7076727072(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．【解】(1)∵6位同学的平均成绩为75分．∴eq\f(1,6)(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，x6＝90，因此6名同学成绩的方差s2＝eq\f(1,6)[(70－75)2×2＋(76－75)2＋(72－75)2×2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s＝7.(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，其成绩的所有可能的结果为(70,76)，(70,72)，(