线性代数第四章

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考虑所有的n维行(或列)向量形成的集合,由于这些行(列)向量均可看成1n(n1)的矩阵,可以进行加法运算和数乘运算,并且运算的结果仍然是n维行(列)向量.即该集合关于加法运算和数乘运算是封闭的，在数学上我们称该集合关于这两个运算构成了一个运算系统，这个系统就是我们本章要定义的向量空间.：第四章向量间的线性关系与线性方程组空间2

向量之间关于这两个运算的关系,即所谓的线性关系则是线性代数所要研究的核心内容.利用这些理论去解释线性方程组求解过程,将会发现对线性方程组的系数矩阵施行初等行变换并将其化为行阶梯型时,这些阶梯型矩阵中其元素不全为零的行的数目其实是该矩阵行向量间和列向量间所共有的一个十分重要的数字特征,从而我们能够更深入地了解线性方程组解的结构.3§4.1

向量空间和子空间的定义§4.2

线性组合与线性表出§4.3线性相关与线性无关§4.4向量空间的基和维数§4.5极大无关组和向量组的秩§4.6矩阵的秩§4.7线性方程组解的结构§4.8基变换和坐标变换*4§4.1

定义及性质

一、向量空间的定义如上定义的n维向量也称为n维行向量.n维向量也可以用列的形式写出,称为列向量:

任意n个(实)数a1,a2,…,an

构成的如下的n元有序组(a1,a2,…,an)称为n维(实)向量,每一ai称为此向量的第i个分量.5其中，b1,b2,…,bn 为任意（实）数.如无特别申明，n维向量均为实向量.6通常,记为R所有实数的集合,并记Rn为所有n维行向量的集合或所有n维列向量的集合.现考虑为所有n维行向量的集合的情形（同理可讨论为所有n维列向量的集合的情形）.7向量的相等:两个向量=(a1,a2,…,an)和=(b1,b2,…,bn)相等，当且仅当ai=

bi,i=1,2,…,n,并记为=.零向量:分量全为零的向量称为零向量，记为O=(0,0,…,0)负向量:任一向量=(a1,a2,…,an)的各分量反号得到的向量称为的负向量，记为=(a1,

a2,…,

an)

8向量的和:设=(a1,a2,…,an)，=(b1,b2,…,bn),则与的和为

+=(a1+b1,a2+b2,…,an+

bn)

数乘向量:设=(a1,a2,…,an)，k是任一实数，则数k与向量的积为

k=k(a1,a2,…,an)=(ka1,

ka2,…,

kan)向量的差:设=(a1,a2,…,an)，=(b1,b2,…,bn),则与的差为

=(a1b1,a2b2,…,an

bn)

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显然,关于向量的加法和数乘,定理中运算律成立.我们现在定义：10所有n维实向量的集合Rn中定义了如上的向量加法和数乘向量两种运算,(并满足如下的8条运算律)称为n维实向量空间.1．+=+ （加法交换律）2．+(+)=(+)+（加法结合律）3．+O=4．+(-)=O5．1=6．k(l)=(kl)7.

k(+)=k+k

8.

(k+l)=k+l其中,,,是任意向量,k,l是任意的实数.11特别地我们有：设,是Rn中任意两个向量，则(i)

0

=O，kO=O；k为任意实数；(ii)

如k=O，那么k=0或者=O；(iii)

如+=O，那么=

；(iv)

(1)

=12二.向量子空间定义4.1.3设W是的Rn一个非空子集.如果(i)对任意的,∈W，均有+∈W;(ii)对任意的∈W和任意的k∈R，有k∈W.则称W是Rn的一个子空间.子空间中向量加法和数乘向量满足向量空间定义中的八条运算律.从而将向量空间和它的子空间均称为向量空间.13例1证明:如果W是Rn的一个子空间,则必有OW.例2

设S为R2中所有形如(a为任意实数)

的向量的集合,验证S是R2的一个子空间.例3验证下述集合是Rn(n2)的一个子空间.

14例4验证如下形式的向量的全体构成的集合

不是

的子空间.

明显地，Rn是Rn自身的子空间;另外,只含零向量的子集={O}也是Rn

的一个子空间.15§4.2线性组合与线性表出一、

线性组合与线性表出

定义

设1,2,…,mRn,k1,k2,…,km

为m个数,称向k11+k22+…+kmm为向量组1,2,…,m的一个线性组合.，16

定义

设1,2,…,m,Rn,如果存在数l1,l2,…,lm

使得=l11+l22+…+lmm则称向量

可由向量组1,2,…,m线性表出.，17例4.2.1线性方程组的向量形式:给定一线性方程组令系数矩阵

[aij]mn的列向量组为1,2,…,n,而且令向量=(b1,b2,…,bm)T,则该线性方程组可以表示为以下向量形式：

x11+x22+…+xnn=从而,线性方程组(4.2.1)是否有解当且仅当该方程组的常数项向量是否可由其系数矩阵的列向量组1,1,…,n线性表出.18例4.2.2试判定向量=(1,2,0,2)T是否可由向量组线性表出.1=(1,1,1,0)T,2=(1,1,0,1)T,3=(1,0,1,1)T,4=(0,1,1,1)T19定理4.2.1设1,2,…,m是一组向量，则span(1,2,…,m)是一个向量空间.二、生成子空间*20推论设W是Rn的一个子空间,1,2,…,m是W中一组向量,则W=span(1,2,…,m)（即W由向量组1,2,…,m所生成）的充分必要条件是：W中每一向量可由1,2,…,m线性表出.定理4.2.2设W是Rn的一个子空间,1,2,…,m是W中一组向量,则span(1,2,…,m)W

21注.

若W=span(1,2,…,m),则称1,2,…,m是子空间W的一组生成元,并称W为1,2,…,m生成的子空间.22一．

定义线性相关与线性无关是线性代数中十分重要的概念，是理解向量空间构成的关键性概念.§4.3线性相关与线性无关23

取,为平面

上起点在原点且不共线的两个向量.则,

生成了

的一个子空间.由,

不共线知,对任意的两个不全为零的数k和l,线性组合k+l

不是零向量.否则,如有不全为零的数k和l,使得

k+l=O不妨设l≠0，则有

=(k/l)

从而

与共线(即

是

的

倍),矛盾.因此,等式

k+l=O，

k，lR

要成立,必须有

k0和

l0同时成立.此时称与是线性无关的.

24

另外，由,

生成W知，W中任意向量可由,

线性表出,即存在实数c和d，使得

=c+d

即有

c+d

=O

(4.3.1)从而,有不全为零的数c,d,和1,使得(4.3.1)成立.这时称向量组

,

,

是线性相关的.25设1,2,…,m是向量空间V的一组向量.如存在一组不全为零的数k1,k2,…,km使得

k11+k22

+…+kmm=O (4.3.2)则称1,2,…,m是线性相关的；否则,当且仅当k1,k2,…,km全为零时(4.3.2)式才成立,则称1,2,…,m是线性无关的.26①单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量．单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量两向量线性相关两向量对应元素成比例两向量线性无关两向量不对应成比例．注.27⑤一向量组中存在一个Ｏ向量，则一定线性相关．⑥几何上：两向量线性相关两向量共线；三向量线性相关三向量共面.2829分析.判断1，2，3是否线性相关，即，求是否存在非零常数k1，k2，k3使得k11＋k22＋k33＝0写成方程组的形式为利用行初等变换的方法解此方程组.30(1)

解.因为故1，2，3线性无关.31(2)

解.因为故1，2，3，4线性相关.3233小结：判定给定的一向量组1,2,…,m是否线性相关或线性无关，通常运用“待定系数法”，即设待定系数

满足关系式再根据向量相等则各对应分量分别相等而得到一个关于这m个待定系数（做为未知量）的齐次线性方程组，并进一步求解.如有非零解,则1,2,…,m线性相关.否则,1,2,…,m线性无关.在本章第六节我们还将引入初等变换的方法对向量组的线性相关性进行判定.3435向量组

(m2)线性相关的充分必要条件是此向量组中至少有一个向量是其余向量的线性组合.二.性质证.必要性.∵Ａ线性相关，∴至少有一个系数ki≠0，使得36充分性.所以A线性相关.37设1,

2,…,

m和1,

2,…,

s是两组向量.如果每一i

均可由1,

2,…,

m线性表出,则称向量组1,

2,…,

s可由向量组1,

2,

…,

m线性表出;进一步,如果向量组1,

2,…,

m也可由向量组1,

2,…,

s线性表出,则称两向量组等价.38注线性表出具有“传递性”，即，设向量组1,

2,…,

m也可由向量组1,

2

,…,

s线性表出，而1,

2,…,

s可由1,

2,…,

t线性表出，则2,…,

m也可由向量组1,

2,…,

t线性表出.39设向量组1,

2,…,

m可由向量组1,

2,

…,

s线性表出,即，写成矩阵形式40设向量组1,

2,…,

m可由向量组1,

2,

…,

s线性表出,并且m>s，则1,

2,…,

m线性相关.通俗地：“多的如能被少的表出，则相关”.*如向量组1,

2,…,

m可由向量组1,

2,…,

s线性表出，并且1,

2,…,

m线性无关，则必有ms.此定理可等价地叙述为：通俗地说，“少的不能表出多的无关组”.41推论4.3.1两组线性无关的向量组如果等价则所含向量个数相等.推论4.3.2

多于n个的n维向量组线性相关.证明.由与例3可以得出结论.42434445定理4.3.3一组线性无关的n维向量添加k个同序号分量后得到的n+k维向量组仍然线性无关.（“原无关，添加分量后仍无关”）此定理可等价地表述为:定理4.3.3*

设i=(ai1,ai2,…,aim),i=1,2,…,s是一组线性相关的n维向量.则去掉每一i中第j1,j2,…,jk位上的分量(1<j1<j1<…<jk<m)后得到向量组也线性相关.（“原相关，去掉分量后仍相关”）.46注：“原无关，去掉分量后可能相关”；“原相关，添加分量后可能无关”.

47定理

一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关．证.设向量组中有r个向量线性相关，不妨设线性相关，则存在一组不全为零的数，使得因而存在不全为零的数使得故线性相关.48定理*线性无关的向量组中任一部分向量组也线性无关．49答案：应用定理4.3.5.50例6.若向量组线性相关，而向量组线性无关，则向量可由线性表出，且表示法唯一.证明.51§4.4向量空间的基和维数

向量空间V中一组向量1,

2,…,

m如满足(i)

1,

2,…,

m线性无关;(ii)

V中任一向量可由此向量组线性表出.则称1,

2,…,

m为V中的一个基.5253设1,2,…,s和1,2,…,t均为向量空间W的基.那么必有s=t.证明.由推论直接可得.一向量空间V{O}时,V的任一基所含向量个数称为V的维数;当V={O}时,称V的维数为0.54注.

由此例子可看到,一向量空间的向量是n维的,但此空间的维数却可能小于n.例

取上一节例5中的向量组55§4.5极大无关组与向量组的秩给定一组向量,它们可能是线性相关的,但其部分向量组可能是线性无关的.而确定其部分向量组线性无关向量的最大个数则十分重要.它不但可确定这组向量生成的子空间的维数,而且在定义矩阵的秩,讨论线性方程组解的结构等都起着关键的作用.

56例如,下述五个四维向量显然线性相关.57称一向量组1,2,…,m

的部分向量组i1,i2,…,ir(i1<i2<…<ir)为一极大线性无关组(简称极大无关组),如果(i)i1,i2,…,ir线性无关;(ii)每一j,1jm,

可由i1,i2,…,ir

线性表出.注.由例6可知，(ii)可等价地表示为(ii)’每一j(1jm),

j,i1,i2,…,ir

线性相关.58一向量组的任一极大无关组所含向量的个数称为此向量组的秩.

一向量组的任意两个极大无关组所含向量个数相等.证明.由推论直接可得.59定理4.5.2*

i1,i2,…,ir是向量组1,2,…,m的极大无关组，当且仅当i1,i2,…,ir是向量空间span(1,…,m)的基.注.向量组1,2,…,m与它的任一极大无关组i1,i2,…,ir等价.定理

设向量组可由向量组1,2,…,s线性表出,则向量组60定理4.5.3设向量组1,2,…,m可由向量组1,2,…,s线性表出,则向量组1,2,…,m的秩不大于向量组1,2,…,s的秩.定理

设向量组可由向量组1,2,…,s线性表出,则向量组61例１求向量组

1=(0,2,6,0,8)，2=(1,3,2,0,4),

3=(1,2,5,0,0)，4=(3,8,5,2,11)的秩，一个极大无关组，并将其它向量用此极大无关组线性表出．

解.

626364故向量组1,2,

3,4的秩为3，1,2,

4是一个极大无关组，且有65§4.6矩阵的秩

66定理4.6.1初等变换不改变矩阵的秩.由于任意矩阵的行秩与列秩相等，则统称矩阵的行秩和列秩为此矩阵的秩,并记一矩阵A的秩为r(A).一矩阵A的行向量组的秩称为A的行秩;而其列向量组的秩称为A的列秩.定理4.6.2

矩阵的行秩与列秩相等.由此定理和定理2.4.1(3),我们得到又一个方阵可逆的充分必要条件:推论

一阶方阵可逆的充分必要条件为r(A)=n.

67在一个mn级矩阵A中,任取其中不同的k行和不同的k列(km,n)交叉位上的k2个元素构成的k阶行列式称为A的一个k阶子式.

定理4.6.3

矩阵A的秩为r当且仅当A中存在一个不等于0的r阶子式，并且A中所有r+1子式(如存在)均等于0.

68对于向量组，将此向量组作为列行向量构造一个矩阵A，并对A仅施行初等行变换将其化为行最简形矩阵B，则B保持A的列向量组间的线性关系.从而有:求矩阵的秩以及向量组的秩的方法：对于矩阵，对其施行初等行变换化成行阶梯形，而阶梯形中不全为零的行的个数即为其秩，而这些不全为零的行对应于原矩阵的行的行向量组即为原矩阵行向量组的一个极大无关组.69(i)

如j1,j2,…,jr

是B的不全为零的行的第一个不为零的数所在列的列向量,则A中对应于j1,j2,…,jr的列向量是j1,

j2,…,jr的列向量组的极大无关组；

(ii)如j是B的一个列向量,且j=k1j1+k2j2+…+krjr,则A中对应于j的列向量j=k1j1+k2j2+…+krjr.707172即，1,2,,s可由1,2,,n线性表出，同理可证总之，故1,2,,s的任一极大无关组可由1,2,,n的任一极大无关组线性表出，从而73§4.７线性方程组解的结构

4.7.1.齐次线性方程组的基础解系和通解从第一章我们知道，齐次线性方程组若有非零解，则必有无穷多解．当然，人们不可能逐一写出全部解．但是，这些解之间存在一定的线性关系．由这些线性关系，就可给出齐次线性方程组的通解．74定理４.7.1齐次线性方程组(4.7.1)有非零解的充分必要条件为r(A)<n；而只有零解的充分必要条件为r(A)＝n．75如果向量1,2是齐次线性方程组(4.7.1)解向量，k是任意常数，则1＋2，k1均是(4.7.1)的解向量．推论

n阶方阵A可逆的充分必要条件是r(A)=n．从而，(4.7.1)的全体解向量构成了一个向量空间，称为(4.7.1)的解空间.76定义４.7.1一齐次线性方程组如有非零解，则其解空间的一个基称为此齐次线性方程组的一个基础解系．

设齐次线性方程组(4.7.1)的系数矩阵的秩r<n,则(4.7.1)的基础解系由nr个解向量组成．77此行最简型作为系数矩阵所对应的方程组为，即78令79显然是齐次方程组的一组解，且由于右边的向量组无关，故以上的向量组也是一个无关组.80另一方面，把上述方程组写成向量的形式，这表示，方程组的任意一组解均可表示为向量的线性组合,故其为基础解系.81定义４.7.2设齐次线性方程组(16)的系数矩阵的秩r＜n，而向量组1,2,…,n-r

是其基础解系，则称向量k11+k22+…+kn-rn-r为(16)的通解，其中k1,k2,…,kn-r为任意常数．82例求下述齐次线性方程组的一个基础解系，并写出其通解.解.对系数矩阵作初等行变换83所以84从而基础解系为通解为85解.对系数矩阵作初等行变换补充例1求下列齐次线性方程组的基础解系与通解.86从而基础解系为通解为所以87补充例2求下列以A为系数矩阵齐次方程组的基础解系与通解88所以，基础解系为所以线性方程组的通解为894.7.2.非齐次的线性方程组的解的讨论

设非齐次线性方程组AX=(4.7.5)其中A=(aij)mn,X=(x1,x2,…,xn)T,＝(b1,b2,…,bm)T,并且b1,b2,…,bm不全为零.上述方程组有解时,其解与对应的齐次线性方程组AX=O(4.7.6)的解有着密切的联系.90定义4.7.3

称齐次线性方程组(4.7.6)为线性方程组(4.7.5)的导出方程组．设非齐次线性方程组(4.7.5)有解,并且其系数矩阵A的秩为r<n,0是其一个特定的解向量(称为特解)，而1,2,…,n-r是导出方程组(4.7.6)的一个基础解系，则非齐次线性方程组的全部解(也称为(4