北大5年数学自主招生试题

2008

1.求证：边长为1的正五边形对角线长为叵口

2

2.已知六边形AC.BA.CB,中，AC,=AB],BC、=BA[,CAt=CB1,ZA+ZB+Z

C=NA]+NB]+NC]

求证：AABC的面积是六边形AGMCA面积的一半.

3.已知q+&+%=K+b2+&，axa2+。2a3+。3al哂3+b2b3+b3bl，

min(q,q,43)<,求证：maxm[，。[,%)<max(Z?p/?2,/?3).

4.排球单循环赛南方球队比北方球队多9支，南方球队总得分是北方球队的9倍.

求证：冠军是一支南方球队（胜得1分，败得0分）.

5.在O—xyz坐标系内xoy平面系内OWyW2—X2,绕y轴旋转一周构成一个不透光立体，在点（1,0,1）设

置一光源，在xoy平面内有一以原点为圆心的圆C被光照到的长度为27，求曲线C上未被照到的长度.

2010

TT

1.(仅文科做)0<a<—,求证：sina<a<tana.(25分)

2

【解析】不妨设/(x)=x-sinx,则/(0)=0,且当0cx时，/'(元)=1一cosx>0.于是/(工)在0cxem上单调增.

/U)>/(0)=0.即有x>sinx.

同理可证g(x)=tanx-x>0.

g(0)=0,当0<x<2时，g'(x)=」--l>0・于是g(x)在0<x<巴上单调增.

2cos~x2

jr

・••在0cx<耳上有g(x)>g(0)=0.即tanx>x.

注记：也可用三角函数线的方法求解.

2.AB为边长为1的正五边形边上的点.证明：AB最长为避土L（25分）

2

【解析】以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.

⑴当A,B中有一点位于P点时，知另一点位于飞或者6时有最大值为|「周；当有一点位

于。点时，|4却皿=|。尸卜忸闻;

⑵当均不在y轴上时，知4,8必在y轴的异侧方可能取到最大值（否则取A点关于y轴的对称点4,有

网）.

不妨设A位于线段。&上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使|4同

最大的B点必位于线段P。上.

且当B从P向Q移动时，|A同先减小后增大，于是恒可皿=|AP|或|A0；

对于线段PQ上任意一点8,都有忸尺|河3山.于是卜用3=|/?2P|=艮。|

由⑴,⑵知M/max=区2尸卜不妨设为工・

下面研究正五边形对角线的长.

如右图.做/MG的角平分线/"交EG于

易知ZEFH=ZHFG=ZGF/=ZIGF=ZFGH=-.

5

于是四边形〃G/尸为平行四边形・・・.|”G|=1.

由角平分线定理知翳>去愣.解得.竽

3.48为y=l-f上在丁轴两侧的点，求过48的切线与x轴围成面积的最小值.（25分）

【解析】不妨设过A点的切线交x轴于点C,过8点的切线交x轴于点。，直线4C与直线3。相交于点E.如图.设

BQ,y),A*?,y2)>

2

且有y2=1-x2,y]=1->0>x2.

由于y'=-2x,

于是AC的方程为2X2X=2-y2-y；①

8。的方程为2再x=2-H—y.②

联立AC,8。的方程，解得成/一内，1一修勺）.

2（々一』）

得玲。）;

对于①，令y=0,

得嘘一

对于②，令y=0,

于是|以>|=匕2-%1+内~1+X：

2X22X}2X2

SAECO=；|CQ|(1—中2),不妨设/二〃〉0，-x2=Z?>0,则

S2ECD~—(---------1---------)(1+cib)——(2a+2bH-----1----卜a2b+cib~)

4ab4ab

=—(a+6)(2++—)2—•2\[ab.(2++—)(3)

4ab4ab

不妨设J^=s>0,贝lj有

c1/311、1/31111、

SAECD=8(S+25'+-)=-(5++

2s2J3,邪9s

9个

6个

8

I11J_[竺12④

216・金•(-.v)6-(-)9]16=8•(56=8七)29-73

2Jys33

又由当斗=a=—,x=一人=一走，5=无时，

2③，④处的等号均可取到.

83~33

\石

DA=-

in9

注记：不妨设g(s)=—(/+2s+-)事实上，其最小值也可用导函数的方法求解.

2s

由g'(s)=1(3$2+2-!)知当。<S?时g，(s)<0；当!<一时g，(s)>0.

2s33

则g(s)在(0,理)上单调减，在(W，+8)上单调增.于是当s=理时g(s)取得最小值.

4.向量。4与。8已知夹角，|。臼=1,|。8|=2,OP=(l-f)OA,OQ=tOB,OWfWl.|P0在％时取得最小值，问

当时，夹角的取值范围.(25分)

05

【解析】不妨设。4,OB夹角为a,则10Pl=l-f,|OQ|=2f,令

g(/)二|PQ『=(1一/了+4产-2-(l-z)-2rcos«=(5+4cosa)/+(-2-4cosa),+1.

其对称轴为r="2cosa,而/(x)=l±2在(二，+8)上单调增，故_iw上咨

5+4cosa5+4x45+4cosa3

*八-l+2cosa_1.l+2cosa.八1.初户兀2兀

当0＜--------W一时tH，t=---------G(0,-),解得一＜a＜一・

5+4cosa3n5+4cosa523

当TW上空上里＜0时，g⑴在［0,1］上单调增，于是4=0.不合题意.

5+4cosa

于是夹角的范围为止，空］.

23

5.(仅理科做)存不存在0＜x＜巴，使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列.(25分)

2

【解析】不存在；否则有cosx-sinx=cotx-tanx=约七和冰呼口吗)，

sinxcosx

贝Ijcosx-sinx=0或者1=8s'±sin'

sinxcosx

若cosx—sinx=0,有工=四.而此时正，交，1,1不成等差数列；

422

若1=.c°s'+sinA,有(sinxcosx))=l+2sinxcosx.解得有sinxcosx=1土近.

sinxcosx

而sinxcosx=^sin2xe(0,,矛盾！

22

2011年北大等十三校联考(北约)自主招生数学试卷

L已知平行四边形两边长分别是3和5,一条对角线是6求另一条对角线的长度.，

2.求过抛物线y=2x2-2x-l,y=-5x2+2x+3两交点的直线方程.《

3.等差数列％色，…满足牝=-13/=3这个数列的前n项和为S1V数列S?中哪

一项最小？并求出这个最小值."

4.在冲，如果a+力之久,证明NCW6(T。。

5.是否存在四个正实数，它们两两乘积分别是2,3,5,6,10,16.^

6.设C］和C?是平面上两个不重合的固定圆周.设C是该平面上的一个动园，它与

g和弓均相切.间：C的圆心轨迹是何种曲线？证明你的结论.，

7.求k-l|+|2x-l|+..+|2011x-1的最小值一

第7题解答：由绝对值的几何意义联想到林瞧的最小值，如|x-a|+|x-幻的最小值应

该是在数轴上a为两点之间取得，为|a-S|.所以将/(x)整理为，

|X7+|T|+|X-；|+|XT+|XT+|XT+

1----I+IX-----I+■