概率论及数理统计必考大题解题索引

-.z概率论与数理统计必考大题解题索引王健题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。【相关公式】全概率公式：贝叶斯公式：【相关例题】1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：〔1〕恰好取到不合格品的概率；〔2〕假设取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。解：设事件表示：“取到的产品是不合格品〞；事件表示：“取到的产品是第家工厂生产的〞〔〕。则，且，两两互不相容，由全概率公式得〔1〕〔2〕由贝叶斯公式得=2.有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：(1)此人来迟的概率；(2)假设来迟了，此人乘火车来的概率。解：设事件表示：“此人来迟了〞；事件分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞机来〞〔，4〕。则，且，两两互不相容〔1〕由全概率公式得〔2〕由贝叶斯公式得=题型二：1、求概率密度、分布函数；2、正态分布求概率密度【相关公式】分布函数求概率密度在连续点求导；概率密度f(*)求分布函数抓住公式：，且对于任意实数，有：。【相关例题】〔1〕设随机变量*的分布函数为：F*〔*〕=〔2〕，是确定常数A。〔3〕设随机变量*具有概率密度f(*)=，求*的分布函数。0,其他解：0，*<0正态分布【相关公式】〔1〕公式其中：假设相关概率运算公式：【相关例题】*地区18岁女青年的血压〔收缩压：以mmHg计〕服从N~〔110,122〕，在该地任选一名18岁女青年，测量她的血压*，求：〔1〕〔2〕确定最小的由*机器生产的螺栓的长度〔cm〕服从参数的正态分布，规定长度在*围内为合格品，求一螺栓为不合格的概率。【题型三】二维随机变量的概率密度和边缘概率密度事件的独立性1.设为由抛物线和所围成区域，在区域上服从均匀分布，试求：〔1〕的联合概率密度及边缘概率密度；〔2〕判定随机变量与是否相互独立。解：如下列图，的面积为因此均匀分布定义得的联合概率密度为1而所以关于和关于的边缘分布密度分别为〔2〕由于，故随机变量与不相互独立。2.设二维随机变量〔，〕的概率分布为求：〔1〕随机变量*的密度函数；〔2〕概率。解：〔1〕时，=0；时，=故随机变量的密度函数=〔2〕3.设随机向量的概率密度为试求:〔1〕常数；〔2〕关于的边缘概率密度。解：〔1〕由归一性所以。的联合概率密度为〔2〕关于的边缘概率密度为即同理可求得关于的边缘分布密度为4.设随机变量〔，〕具有概率密度，求〔1〕常数C；〔2〕边缘分布密度。解：〔1〕由于，故1=所以=1，即〔2〕，即，即【题型四】最大似然估计的求解【相关公式】【相关例题】设概率密度为：的总体的样本，θ未知，求θ的最大似然估计。【题型五】正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验【相关公式】【相关例题】*批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定〔%〕3.253.273.243.263.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在α=0.01下能否承受假设，这批矿砂的镍含量的均值为3.25.2、*种导线，要求电阻的标准差不得超过0.005Ω，尽在一批导线中取样品9根，测得s=0.007Ω，设总体为正态分布，参数值均未知，问在显著水平α=0.05下能否认为这批导线的标准差显著偏大.【证明题局部】1.设事件相互独立，试证明：〔1〕事件相互独立；〔2〕事件相互独立；〔3〕事件相互独立。证明：〔1〕欲证明相互独立，只需证即可。而所以事件相互独立。同理〔2〕由于所以事件相互独立。〔3〕