高考数学：有关任意、存在、至少、恒成立问题

PAGEPAGE1有关任意、存在、至少、恒成立问题1．（本小题满分14分）已知函数。（Ⅰ）求函数的单调区间。（Ⅱ）若上恒成立，求实数的取值范围（求f(x)的最大值）（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意的，求证：。解：（Ⅰ）当时，恒成立，则函数在上单调递增；………2分当时，由，则则在上单调递增，在上单调递减．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当时显然不成立；当时，,只需即可．…………．6分令,则，函数在上单调递减，在上单调递增．，即对恒成立，也就是对恒成立，∴解得，…………9分∴若在上恒成立，=1．……………10分分析;即求的取值范围，因为要不大于0，而是小于或等于0，所以只有，解得，(Ⅲ）,………11分由得,由（Ⅱ）得：,………12分则,则原不等式成立．…………14分2（本小题共14分）已知函数（Ⅰ）若，求函数的极值和单调区间；(II)若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.解：（I）因为，…2分当，，令，得， …3分又的定义域为，，随的变化情况如下表：0极小值所以时，的极小值为1.…5分的单调递增区间为，单调递减区间为；…6分（II）解法一：因为,所以，只需…7分令，只要在区间上的最小值小于0即可因为，令，得…9分（1）当时：极大值因为时，，而，只要，得，即…11分（2）当时：极小值所以，当时，极小值即最小值为，由，得，即.………13分综上，由(1)（2）可知，有.………14分3[2011·山东青岛一模]已知函数．(1)若,令函数,求函数在上的极大值、极小值；(2)若函数在上恒为单调递增函数,求实数的取值范围.解：(1)，所以．由得或．所以函数在处取得极小值；在处取得极大值．(２)因为的对称轴为．①若即时，要使函数在上恒为单调递增函数，则有，解得：，所以；②若即时，要使函数在上恒为单调递增函数，则有，解得：，所以．综上，实数的取值范围为．4．（本小题共14分）已知，函数，，.（Ⅰ）当时,求函数在点的切线方程；（Ⅱ）求函数在的极值;（Ⅲ）若在区间上至少存在一个实数，使成立，求正实数的取值范围．解:由求导得，.…………1分（Ⅰ）当时,…………3分所以在点的切线方程是…………4分（Ⅱ）令,(1)当即时(-1,0)0+0-0+↗极大值↘极小值↗………6分故的极大值是;极小值是;…………7分(2)当即时在上递增,在上递减,…………8分所以的极大值为,无极小值.…………9分（Ⅲ）设.对求导，得，……………10分因为，，所以，在区间上为增函数，则.……12分依题意，只需，即，即，解得或（舍去）.所以正实数的取值范围是.……14分5.（本小题满分14分）已知函数.(Ⅰ)若，求曲线在处切线的斜率；(Ⅱ)求的单调区间；（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.转化为.解：(Ⅰ)由已知，………………2分.故曲线在处切线的斜率为.………………4分(Ⅱ).………………5分①当时，由于，故，所以，的单调递增区间为.………………6分②当时，由，得.在区间上，，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.………………8分（Ⅲ）由已知，转化为.………………9分………………10分由(Ⅱ)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.(或者举出反例：存在，故不符合题意.)………………11分当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，，………13分所以，解得.………………14分6．（本小题共14分）已知函数（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若函数在区间（，0）上至少有一个极值，求实数的取值范围。解（Ⅰ）当时， 1分 ， 2分 令得 3分 ∴在（－，1）上单调递增 4分 （Ⅱ）， 5分 =1\*GB3①当时，，易知在处取得极小值，适合题意；=2\*GB3②时，函数在区间（-，0）上至少有一个极值，则说明的图像穿过轴负半轴； 为二次函数，则或 11分解得或 13分 综上，时满足题意 14分7(2011海淀一模理18).（本小题共13分）已知函数，（Ⅰ）若，求函数的极值；（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；(Ⅲ)若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.解：（Ⅰ）的定义域为，………1分当时，，，………2分………3分…………4分（Ⅱ），………6分=1\*GB3①当时，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增；………7分②当，即时，在上，所以，函数在上单调递增.…………8分（=3\*ROMANIII）在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零.………9分由（Ⅱ）可知=1\*GB3①即，即时，在上单调递减，所以的最小值为，由可得，因为，所以；………10分②当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得；………11分③当，即时，可得最小值为，因为，所以，故此时，不成立.………12分综上讨论可得所求的范围是：或.………13分8（本小题满分14分）已知函数,，其中.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（Ⅲ）设函数,当时，若，，总有成立，求实数的取值范围．【解】（Ⅰ）的定义域为，且，…………1分当时，，在上单调递增；…………2分②当时，由，得；由，得；故在上单调递减，在上单调递增.…………4分（Ⅱ），的定义域为…………5分因为在其定义域内为增函数，所以，而，当且仅当时取等号，所以…………8分（Ⅲ）当时，，