结构位移计算演示文稿

结构位移计算演示文稿现在是1页\一共有61页\编辑于星期四1（优选）结构位移计算现在是2页\一共有61页\编辑于星期四2前面所学5种静定结构(梁、刚架、拱、桁架、组合结构)的内力计算可归结为强度问题,而结构力学的另一重要任务是解决刚度问题——结构位移计算。

本章依据虚功原理，先推导出杆件结构位移计算的一般公式，再讨论具体结构的位移。现在是3页\一共有61页\编辑于星期四3□§6-1概述1.变形和位移变形——形状的改变；位移——各截面位置的移动。FA△Ay△AxA′A结构由可变形(固体)材料组成，在荷载作用下会产生变形和位移。F2.位移的分类截面的线位移，截面的角位移，A(△A)△Ay△Ax绝对位移杆件的角位移，AB现在是4页\一共有61页\编辑于星期四4FABCD△C

△D

两截面的相对线位移：△C+△D相对位移两杆件的相对角位移：AC+BD两截面的相对角位移：A+BBAC′D′F广义的位移——角、线位移；相对、绝对位移3.引起位移的原因（1）荷载作用——内力——变形——位移（2）温度变化——结构变形——位移（3）支座位移——几何位置改变——位移现在是5页\一共有61页\编辑于星期四54．计算结构位移的目的

铁路钢板桥和钢桁梁：最大挠度<1/700和1/900跨度吊车梁:允许挠度<1/600跨度；高层建筑:最大位移<1/1000高度；最大层间位移<1/800层高1）校核刚度—不超许用值，以防变形过大，影响正常使用。2）满足施工要求—悬臂拼装架梁:正常使用时最大挠度在跨中，施工时悬臂端挠度最大。

结构的变形(可能与正常使用时完全不同)。B现在是6页\一共有61页\编辑于星期四6设定起拱高度：△3）解超静定问题

平衡条件+变形协调条件(求结构的位移)4）动力计算的需要5．位移计算的有关假定1）线弹性2）小变形3）理想联结现在是7页\一共有61页\编辑于星期四7功=力×作用点沿其方向的位移§6-2变形体系的虚功原理功的定义S⌒FF常力功变力功现在是8页\一共有61页\编辑于星期四8力偶功M=Fd广义力——集中力，力偶，一对力偶；广义位移——沿力方向的线位移，沿力偶转向的角位移。dFF功=广义力×广义位移其他形式的力或力系所作的功也用两个因子的乘积表示：现在是9页\一共有61页\编辑于星期四91)集中力做功2)集中力偶作功4)两等值反向的集中力偶做功3)两等值反向的集中力作功功=广义力×广义位移现在是10页\一共有61页\编辑于星期四102.实功与虚功实功—ABF11△虚功—力在非自身原因（它力、温度改变、支座移动等）产生的位移上所做的功,力与位移非因果关系。W12=F1·△2力在其本身引起的位移上作的功：1△2F2F2现在是11页\一共有61页\编辑于星期四11F11.5F1理想约束的刚体系处于静力平衡时，外力在任何可能的虚位移上所做的虚功总和为零。2ll=1.5F1根据力矩平衡条件F2F13.刚体的虚功原理1.5ΔΔ现在是12页\一共有61页\编辑于星期四12力与虚位移无关，为分析方便，力状态与位移状态分开。

力状态—所有外力(包括反力)处于平衡状态；

位移状态—其它原因(别的力、温度变化、支座移动等)引起的虚位移，约束条件允许的微小位移。

4.变形体的虚功原理ABqFAyFAxFByF1F2AB力状态：静力平衡位移状态：其它原因引起现在是13页\一共有61页\编辑于星期四13M+dMMFN+dFNFNFS+dFSFSq微段上所有力(6内1外)做的虚功:按外力虚功与内力虚功计算:

qkjqi相邻微段k、j、i连续，左右截面位移相等，内力为作用力与反作用力，内力虚功相互抵消，W内=0：dsABqFAyFAxFByF1F2ds现在是14页\一共有61页\编辑于星期四14(2)按刚体虚功与变形虚功计算

BACDB'A'C'D'A''B''C''D''微段ds处于平衡状态，dW刚＝０，故：将ds的虚位移分解：(1)刚体虚位移:ABCDA'B'C'D'由(a)(b)两式，变形体的虚功原理：(2)变形虚位移:A'B'C'D'A''B''C''D''dsABqFAyFAxFByF1F2dsBACD现在是15页\一共有61页\编辑于星期四15变形体的虚功原理：处于平衡状态的变形体产生虚位移时，所受外力在该虚位移上所做的总虚功(外力虚功)，等于各微段截面上的内力在其变形上所做的虚功之和(变形虚功)。适用于任何材料(弹、非弹性，线、非线性)、任何类型的结构；外力与虚位移独立，毫不相干，虚位移由其它原因引起，外力在此虚位移上做虚功。外力虚位移毫不相干外力虚功内力变形变形虚功=两种应用情形：1)虚位移原理——给定力状态，另设一位移状态，用虚功方程求力状态的未知力。

2)虚力原理——给定位移状态，另设一力状态，用虚功方程求位移状态的未知位移。现在是16页\一共有61页\编辑于星期四16FN+dFNFN5．变形虚功的计算B'A'C'D'A''B''C''D''M+dMMFS+dFSFSFN+dFNFNFN+dFNFNdsdu=dsdFS+dFSFSdsM+dMMMM+dMd=kds轴向变形虚功：dW=FNdu=FNdds剪切变形虚功：

dW=Fsds弯曲变形虚功：

dW=Md=Mkds微段变形虚功：dW变=FNdds+Fsds+Mkds=(FNd+Fs+Mk)ds总变形虚功：W变=(FNd+Fs+Mk)ds由变形体的虚功原理：W外=(FNd+Fs+Mk)ds现在是17页\一共有61页\编辑于星期四171.位移计算的一般公式设一刚架因外荷载(F1、F2)、温度变化(t1、t2)及支座移动(C1、C2、C3)等引起位移，求任一截面K沿k-k的位移△K。§6-3位移计算的一般公式单位荷载法△Kkkc2c3c1K′F2F1t1t2K现在是18页\一共有61页\编辑于星期四18ds实际－位移状态△K，ci虚拟－力状态由虚功原理：du、d、ds××△Kkkc2c3c1K′F2F1t1t2KkkKFK=1现在是19页\一共有61页\编辑于星期四19可得：位移计算的一般公式，若计算结果为正，所求位移△K与假设的FK=1同向,称为单位荷载法。实际位移状态的位移、变形虚拟力状态的外力、内力？待求位移虚设单位力外力虚功变形虚功现在是20页\一共有61页\编辑于星期四202力的虚设方法大小—一般虚设单位力；作用点—作用在所求位移的点及方向上；方向—随意假设，若求出的位移为正，与假设方向一致。性质—与所求的位移对应。

据所求位移不同，设置相应的虚拟力状态。求线位移加单位集中力；求转角加单位力矩；求二点的相对位移加一对相反的单位集中力；求二点相对转角加一对单位力矩。

现在是21页\一共有61页\编辑于星期四1.求△Ax虚拟状态A1A2.求A1虚拟状态AA虚拟状态虚拟状态B3.求△AB11B4.求AB11课堂练习给结构设置相应的虚拟力状态，以便用单位荷载法计算位移。现在是22页\一共有61页\编辑于星期四221111ABAB5.求A、B两点相对竖向位移6.求A、B两点相对水平位移17.求C点相对转角位移1/L1/LCCDL8.求CD杆相对转角位移广义力与广义位移对应现在是23页\一共有61页\编辑于星期四§6-4静定结构在荷载作用下的位移计算当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位移△KP。△KP=1.一般公式因没有支座位移，故一般公式为：实际状态的变形虚拟状态的内力由材料力学知：dP=duP=Pds=代入，得：平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式现在是24页\一共有61页\编辑于星期四242.公式简化1.梁和刚架：△K=2.桁架：△K=3.组合结构：△K=

实际计算时，根据结构的具体情况，一般公式可以简化：弯曲变形为主，轴向、剪切变形可略去：只有轴力，同一杆件轴力为常数：现在是25页\一共有61页\编辑于星期四253.计算步骤1）虚设单位力2）求3）求4）代入相应的简化公式求解。现在是26页\一共有61页\编辑于星期四26例6-1求图示刚架A点的竖向移△Ay。E、A、I为常数。ABCqLLA`实际状态虚拟状态ABC1解：1）设置虚拟状态xx选取坐标如图。则各杆弯矩方程为:xxAB段：BC段：2.实际状态各杆弯矩方程：3.代入公式,得：△Ay=()=(-x)(-2qx2)EIdx+(-L)(-2qL2)EIdx注：若同时考虑轴向、剪切变形的影响，则结果见P101。现在是27页\一共有61页\编辑于星期四272.图示桁架结点C水平位移不等于零。。C1EAEA12=C=。FEAEA121.求图示梁铰C左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：CA.CB.CD.MCC.MM=1=1=1F=1课堂练习现在是28页\一共有61页\编辑于星期四283.图示桁架各杆EA相同，结点A和结点B的竖向位移均为零。BAFBA000010000拉压压压10000现在是29页\一共有61页\编辑于星期四29ABABMP图§6-5图乘法下述情况可简化:1）直杆；2）EI=常数；3）和M图其一为直线。

MP(x)dxdAxxyO⌒公式推导梁和刚架在荷载作用下的位移，需积分:设AB直杆MP图任意,则:为直线直杆ds=dx现在是30页\一共有61页\编辑于星期四30ABABMP图MP(x)dxdAxxyO⌒C形心xCyC

=xCtg×形心AyC这种直接在MP图和M图上相乘求位移的方法即图乘法。Vereshagin于1925年提出，当时是莫斯科铁路运输学院学生几何意义-—某截面处的位移=一个M图的面积A乘以其形心对应的另一直线M图的竖标yC，再除以EI，。现在是31页\一共有61页\编辑于星期四31若各杆段均可图乘，则位移公式：注意:（2）竖标yC只能取自直线图形；两图均为直线时，yC可任取；（3）若A与yC在基线同侧则乘积为正；（4）不要漏掉1/EI。

（1）须符合上述前提条件；现在是32页\一共有61页\编辑于星期四322.熟记常见图形的面积和形心直角三角形标准二次抛物线标准二次抛物线顶点——抛物线上切线平行于底边的点；标准抛物线——顶点在中点或端点的抛物线。ll/2lh形心2l/3l/33l/85l/8A1A23l/4l/4顶点顶点现在是33页\一共有61页\编辑于星期四33图（

）BAq例求图示梁(EI=常数，跨长为l)B截面的转角。1MP图解：1.作MP图、2.图乘计算。现在是34页\一共有61页\编辑于星期四34例6-4求刚架C、D两点间距离的改变量，EI=常数。ABCDLhq解：作实际状态的MP图，设置虚拟状态并作11hhyC=h图乘计算：（→←）现在是35页\一共有61页\编辑于星期四351)当yC所属M图为折线，或各段截面不等时，应分段图乘。A1A2A3y1y2y3A1A2A3y1y2y3△=(A1y1+A2y2+A3y3)I1I2I3练习：P1186-5判断正误3.复杂图形图乘时的分解现在是36页\一共有61页\编辑于星期四362）当面积和形心不易确定时，分解成简单图形，分别与另一图形相乘，最后再叠加。MP图abcdly1=2c/3+d/3y2=c/3+2d/3y2y1A1A2现在是37页\一共有61页\编辑于星期四37abcdl两梯形之间图乘的速记公式：a、b、c、d在基线同侧时乘积为正，反之为负。现在是38页\一共有61页\编辑于星期四38练习：21136m1246m1326m2现在是39页\一共有61页\编辑于星期四39＝MAFsAFsBMB3）均布荷载作用下，M图可视为梯形与标准抛物线的叠加。叠加后与原抛物线图形的面积大小和形心位置以及形心处竖标仍然相同。ABLMAMB现在是40页\一共有61页\编辑于星期四40例6-5

求图示刚架A点的竖向位移△Ay。FABCDEIEI2EILLL/2FFLMP图1L解：1.作MP图、2.图乘计算。现在是41页\一共有61页\编辑于星期四41qABCL图1y2y3+解：1.作MP图，图2.图乘计算y1MP图A2A3例6-6求外伸梁C点的竖向位移△Cy。EI=常数。A1现在是42页\一共有61页\编辑于星期四42例刚架EI=1.5×105kN.m2，求△Cy和C。6m6mCAB10kN/m20kN300300MP

45166MCABM111现在是43页\一共有61页\编辑于星期四43课堂练习1.用图乘法可求得各种结构在荷载作用下的位移。（X）2.图示刚架B点的水平位移是：A不定，方向取决于a的大小B向左C等于零D向右laBF0B11现在是44页\一共有61页\编辑于星期四44F2EIEIAll2Fl1112l3

求△Ay和A。现在是45页\一共有61页\编辑于星期四45受弯杆件抗弯刚度EI，压杆抗拉刚度EA，且A=I/(30m2)，求D端的转角。D8kN/m3m2m2mD11-0.50.5016kN.m32-32现在是46页\一共有61页\编辑于星期四46K虚1K实§6-6静定结构温度变化时的位移计算（自学）温度变化时不产生内力，但热胀冷缩将使其产生变形和位移。设结构外侧温升t1，内侧温升t2,求K点的竖向位移△Kt。t1t2任一微段ds,温度变化产生的变形：t1t2t2dst1dsdt伸长：dut=(t1ds+t2ds)/2=tdsdsdsK`dsh式中转角：dt=(t2ds-t1ds)/h=△Kt=剪切角：t=0△Ktds△t=t2－t1h∆tds现在是47页\一共有61页\编辑于星期四47若各杆均为等截面：乘积的正负：当实际温度变形与虚拟内力方向一致为正，不一致则为负。梁和刚架略去轴力影响：桁架可简化为：P110例题6-8自学。现在是48页\一共有61页\编辑于星期四48LLt1t2实解：外侧温变：绘图，AA1虚1代入公式，注意正负号(判断)：L△Ayt1=-10℃-20℃=-30℃内侧温变：t2=0℃-20℃=-20℃t=(t1+t2)/2=-25℃例6-5刚架施工时温度为20℃，求冬季外侧温度为-10℃，内侧温度为0℃时A点位移△Ay。已知L=4m，=10－5，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。现在是49页\一共有61页\编辑于星期四49§6-7静定结构支座移动时的位移计算支座移动会使某些截面产生位移，但不会使其变形，实际状态变形为零计算公式可化简:虚拟状态的支反力实际状态的支座移动

??注:现在是50页\一共有61页\编辑于星期四508m6m6mABC例6-9三铰刚架右支座位移△By=0.06m，△Bx=0.04m，已知L=12m，h=8m。求A。0.04m0.06m实解：虚拟状态如图。ABC1=0.0075rad()虚A仅需求位置移动处的反力现在是51页\一共有61页\编辑于星期四51解：虚拟状态如图。=0.005rad()又例.刚架支座A位移a=3cm和b=1.5cm，求支座C截面转角。AB0.015mCA'4m3m3m6m0.03m虚实ABC11/41/41/6现在是52页\一共有61页\编辑于星期四52制造误差引起的位移计算原理与温度变化位移计算相同，只需将制造误差引起的实际变形视为虚拟状态的虚位移。由一般公式：对桁架：虚拟状态的杆轴力杆件的制造误差现在是53页\一共有61页\编辑于星期四53解：虚拟状态如图。=-0.01a()2、图示桁架，设其制作完工后，各杆均发生1/1000的收缩，则结点C的竖向位移例.桁架制作时两上弦杆均比设计尺寸长了1/100，求结点C

的竖向位移。-0.5-0.51虚拟状态=

。=

。=

。Caaa=

。=

。C仅需求有制造误差杆件的轴力现在是54页\一共有61页\编辑于星期四5412§6-8线弹性结构的互等定理1.功的互等定理

第一状态M1、FN1、FS1、F1、△21F1△2112第一状态的外力在第二状态相应的位移上所作的虚功W12;两组外力F1、F2分别作用于同一线弹性结构上，分别称为第一状态和第二状态。

第二状态M2、FN2、FS2、F2、△12第一状态的内力在第二状态相应的变形上所作的虚功W12i;原因方位△12F2据虚功原理：W12=W12i，现在是55页\一共有61页\编辑于星期四55W12=或W12=W21故F1△12=F2△21F1△12W21=F2△21同理有：结论：在线弹性体系中：第一状态的外力在第二状态相应的位移上所作的虚功W12等于第